1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Оказывается, что так определенная площадь и для немногоугольных фигур обладает теми же свойствами, какие определяют площадь многоугольных фигур, т. е. выполняется Теорема !!. Определенная только что площадь обладает свойствами инвариантности и аддитивности: 1. Если фигура Р имеет определенную площадь 5(Р), то всякая равная ей фигура Р тоже имеет определенную площадь, и притом равную 5(Р). 2. Если фигура Р составлена из фигур Рь Р» с определенными площадями 5(Р~), 5(Р»), то она тоже имеет определенную площадь 5(Р) и 5(Р)=5(Р~)+ + 5(Р»). Выразим условие, при котором фигура имеет определенную площадь, несколько иначе. Если многоугольная фигура Н содержится в фигуре Р, то многоугольная фигура 6, содержащая Р, получается прибавлением к Н некоторой многоугольной фигуры К в «разности» 6 — Н.
Эта фигура, очевидно, содержит границу фигуры Р (рис. 21, 22). Ее площадь равна разности площадей фигур 6 и Н: 5(К) = 5(6) — 5(Н). Стало быть то, что площади фигур 6 и Н могут быть сколь угодно близки н тем самым фигура Р имеет определенную площадь, равносильно тому, что чАГть 6. ОснОВАния ГеОметРии площадь фигуры б — Н может быть сколь угодно малой. То есть граница данной фигуры Р может быть заключена в многоугольную фигуру сколь угодно малой площади.
И можно сформулироватьс фигура имеет определенную площадь тогда и только тогда, когда ее границу можно заключить в многоугольную фигуру сколь угодно малой площади. Но если фигура может быть заключена в многоугольную фигуру сколь угодно малой площади, то ее площадь равна нулю (как, например, равна нулю площадь отрезка). Рис. 23 Рис. 22 Это позволяет выразить полученное условие существования у фигуры определенной площади так. Теорема 1. Фигура имеет определенную площадь тогда и только тогда, когда площадь ее гранины равна нулю. И можно пересказать теорему 11: Теорема 11а.
Площадь фигур с определенной площадью обладает теми же свойствами ! — 4, как, в частности, площадь многоугольных фигур. Эта теорема будет доказана в следующих параграфах. К определению площади можно подойти, исходя из способа ее измерения с помощью квадратных сеток (рис. 23).
Это обобщает тот прием, каким находят площадь прямоугольника или измеряют площадь практически с помощью палетки. Коротко можно сказать: Площадь фигуры можно определить как величину, измеряемую площадью квадратов сетки, содержащихся в фигуре и покрывающих фигуру, если у этих чисел есть общий предел. н с опьвделенив площкди Это определение одинаково для многоугольных н других фигур и равносильно данным выше. На его основе и будут дальше доказаны теоремы 1, П.
Замечание 1. То условие, что фигура имеет определенную площадь, если площадь ее границы равна нулю, мало наглядно и, что более существенно, само использует понятие площади. Однако заменить его другим не удается, и можно указать только те или иные более частные условия, когда оно выполняется. Следующее условие будет все же достаточно общим. Назовем криволинейным отрезком такую фигуру— кривую,— которая в подходящих координатах представляется уравнением у =)(х) с непрерывной функцией 1, заданной на каком-либо замкнутом промежутке.
В ф 8 будет доказана Теорема )1!. Всякая фигура, ограниченная конечным числом криволинейных отрезков, имеет определенную площадь; для таких фигур выполняется все то, чтобыло сказано о площади многоугольнык фигур. Замечание 2. Приведем пример фигуры без определенной площади. Представим себе прямоугольник, составленный из двух квадратов Р, Я с общей стороной. Пусть на одной стороне квадрата Р введена координата х. Представим себе также фигуру »1, состоящую из всех лежащих в этом квадрате отрезков, параллельных другой его стороне и имеющих концы в точках с рациональными значениями координаты х. Эти отрезки плотно «штрихуют» весь квадрат.
Фигура Р, составленная из квадрата 9 и фигуры )х, содержится в прямоугольнике Р+ )г, содержит квадрат Я, но большей многоугольной фигуры не содержит. Эта фигура Р не имеет определенной площади. В этом примере фигура Р имеет часть )с довольно необычного «патологического» строения. Но можно привести примеры областей, которые не имеют определенной площади. Эти примеры строятся не так просто, и мы их здесь приводить не будем.
Полезно, однако, знать, что даже не всикая область имеет определенную площадь в смысле принятого выше определения. Это можно понять практически. Представим себе земельный участок, ограниченный с одной стороны оврагом с сильно изрезанным краем. Для владельца участка зигзаги края неудобны, и площадь участка чАсть я. ОснОВАния ГеОМеТРИи он будет измерять без них, Но землеустроитель может настаивать на том, чтобы учитывать и площадь «зигзагов». Таким образом, практически оказывается, что площадь можно оценивать по.разиому, Математическая идеализация и приводит к областям, не имеющим определенной площади из-за особенностей границы. Замечание 3. Подобно тому как для многоугольных фигур площадь естьфункция со свойствами 1 — 4, так можно сказать, что, вообще, площадь других фигур — зто функция с теми же свойствами.
Однако для того, чтобы функция была определена, нужно указать область ее задания, в нашем случае — множество тех фигур, для которых она определена, но характеризуется другими свойствами, о чем мы здесь говорить не будем. й 2. Определение площади измерением Представим себе, что плоскость разбита прямыми на единичные квадраты подобно клетчатой бумаге.
Эти квадраты в свою очередь разбиты на меньшие равные квадраты, те на еще меньшие, и т. д. Так мы представляем себе последовательность все более уменьшающихся квадратных сеток, покрывающих плоскость. Эти сетки мы перенумеруем: первая, состоящан из единичных квадратов, вторая, третья и т. д. Единичному квадрату и, соответственно, всем квадратам первой сетки припишем площадь, равную единице: 8(Е,) = !. Если в и-й сетке единичный квадрат разделен на У„ квадратов, то каждому квадрату п-й сетки приписываем площадь 5(Е„) = —. 1 и л Фигуре, составленной из квадратов сетки, приписывается площадь, равная сумме их площадей.
(Мы говорим здесь «площадь» для краткости, хотя имеем в виду численную площадь; строго говоря, пока речь идет о числах, приписываемых фигурам в качестве их численной площади,) и, ь опяаделанив площади измеаанивм ва! Пусть теперь Р— какая-либо фигура. Сопоставим ей две фигуры из квадратов и-й сетки: Р„, Р,((, е— первые буквы слов (п(ег)ог — внутренний, ех(ег(ог— внешний). Фигура Р, состоит из всех квадратов и-й сетки, внутренности которых содержатся в Р (рис.
23). Фигура Р'„состоит из всех квадратов и-й сетки, внутри которых есть точки из Р (рис. 23). Площади этих фигур обозначаем 5(Р„'), 5(Р",). Очевидно, каждый квадрат из Р входит в Р... и поэтому Р„' Р'., 5(Р!) «5(Р'.). (!) Перейдем к (и+ !)-й сетке. Каждый квадрат и-й сетки, входящий в фигуру Р„*, разобьется иа квадраты (а+ !)-й сетки.
Внутренности их будут также содержаться в фигуре Р, н, стало быть, все они будут входить в фигуру Р,+ ь Поэтому Р,+, -э Р„(к квадра- 1 ! там из Р„могут прибавиться квадраты, содержа! щиеся в квадратах из Р„). Соответственно 5(Р' ) ~5(Р,',). (2) Квадраты, входящие в фигуру Р',+ь т. е.
содержащие внутри точки из Р, будут, очевидно, содержаться в квадратах, составляющих фигуру Р„. Поэтому Р +~ с: Р'„, соответственно 5 (Р'„) 5 (Р'). (3) Таким образом, переходя от первой сетки ко второй и т. д., мы получаем две последовательности чисел 5(Р„') и 5(Р',). При этом, ввиду (2), 5(Р() «5(Р,').=5(Р.') « ... Эта последовательность ограничена (так как все квадраты фигур Р„' содержатся в единичных квадратах, покрывающих фигуру Р). Таким образом, последовательность чисел 5(Р~) неубывающая и ограниченная.
Поэтому она имеет предел; обозначим его 5;(Р), т. е, положим 5, (Р) = Иго 5 (Р„'). (4) чдсть в основания геометеии Это число 5;(Р) мы назовем внутренней площадью фигуры Р. Расмотрим теперь последовательность чисел 5(Р'„). Из (3) следует, что 5(Р)) ~ )5(Рз) ~) 5(Рз).=-... Таким образом, числа 5(Р,') образуют невозрастающую последовательность, и притом ограниченную, так как все эти числа ) О. Поэтому последовательность имеет предел; обозначим его 5,(Р), т, е.
положим 5,(Р) 1ип 5(Р„'). (5) и.+ Это число 5,(Р) назовем внешней площадью фигуры Р. Внешняя площадь всякой фигуры не меньше внутренней: 5,(Р) = 5,(Р). (6) Действительно, согласно (!) 5(Р,) ) 5(Р~) при всяком и. Поэтому такое же неравенство будет между пределами этих чисел, т. е. выполняется (6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
