1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 94
Текст из файла (страница 94)
Здесь мы представляем его несколько иначе. Аксиоматика фигуры. Основные объекты: 1) точки, 2) фигуры. Основное отношение; точка принадлежит фигуре; в обозначении А еи г" и т. п. Аксиомы. 1. Фигура определяется своими точками, т. е, если имеются фигуры Р~ и Р, такие, что киждая точка, принадлежащая одной из них, принадлежит также другой и обратно, то Р1 и Рз — одна и та же фигура 2. Точка есть фигура; она принадлежит себе; и никакие другие точки ей не принадлежат. 3. Для всякого условия, налагаемого на точки, существует фигура, содержащая все точки с данным ь т.
пОнятие ФигуРы 577 условием и никакие другие. При этом имеется в виду условие, которое: !) выражается через понятия, фигурирующие в принятой аксиоматике геометрии, и 2) является проверяемым для каждой точки — выполняется оно для нее или нет. (Эта аксиома фигурировала в $5 гл. ! ч.
2 под номером 5). При нашей аксиоматике, например, то условие, что «точка принадлежит данному отрезку», считается проверяемым. Смысл этих аксиом был разъяснен при их изложении выше ($5 гл. 1 ч. 2). Аксиома 3 выражает по существу то же, что и определение геометрического места. Однако, как было там же отмечено, в ней содержится некоторая неопределенность: какие условия считаются «в принципе проверяемыми». Уточним это, сформулировав аксиому 3 для элементарной геометрии с нашей аксиоматикой. Условие, налагаемое на точки, назовем элементарным, если оно может быть выражено в понятиях аксиоматикн так, что его проверка для каждой точки проходит в конечное число шагов: прн каждом шаге либо устанавливается одно из основных отношений, либо производится «построение» из тех, какие допущены аксиомамн.
Такими построениями являются проведение отрезка, откладывание отрезка или угла, равного данному (это мысленное построение есть не что иное, как фиксация существования указываемого объекта). Аксиома 3' (аксиома геометрического места в элементарной геометрии). Для всякого элементарного условия, налагаемого на точки, существует фигура, содержащая все гочки с данным условием и никакие другие.
В предыдущем изложении аксиом фигуры ($5 гл. ! ч. 2) среди них были !) «аксиома отрезка»о том, что отрезок есть фигура, 2) аксиомы об операциях с фигурами, как их объединение и др. Теперь эти аксиомы представляются иначе — не как аксиом ы. То условие, что точка М принадлежит данному отрезку АВ, считается проверяемым, оно, стало быть, элементарно.
Поэтому согласно аксиоме 3' точки отрезка АВ образуют фигуру, обозначим ее АВ. Вместе с тем отрезок АВ определяется своими точками чАсть а. ОснОВАния ГеОметРии (теорема 3 % 1). Это позволяет отождествить фигуру АВ с самим отрезном АВ и сказать: <отрезок есть фигура» ').
Объединение и пересечение конечного числа фигур представляет собой фигуру, потому что условие, проверяемое в конечное число шагов для каждой из данных фигур, очевидно, проверяемо для них всех так же в конечное число шагов. Если число фигур бесконечно, то для них всех проверяемость условия само собой не обеспечена и требует особой проверки.
Но, например, круг можно определить как объединение всех отрезков (на плоскости) с общим концом О, равных данному — радиусу. Принадлежит ли точка М данному кругу, проверяется очевидно; проводим отрезок ОМ и вдоль него откладываем радиус. Дополнение фигуры, очевидно, есть фигура, поскольку при определении фигуры проверяется, выполняется для точки условие или нет; если нет, то точка и принадлежит дополнению. В понятии элементарного условия можно иметь в виду не обязательно принятую нами аксиоматику, но и любую другую, которую можно назвать чисто геометрической, т.
е. такую, в которой не фигурируют ни действительные числа, ни величины... Например„если основным объектом считается прямая, то «построение» может состоять в «проведении» прямой через две точки. Рассмотрим примеры, связанные с нашей аксиоматикой.
Окружность, круг, прямая, луч, полуплоскость определяются элементарными условиями. Эллипс с фокусами Рь Рт можно определить как геометрическое место таких точек М, что из отрезков, равных Р~М, РаМ, составляется данный отрезок АВ. Это условие очевидно проверяемо: достаточно отложить отрезки, равные Р,М, РтМ, вдоль отрезка АВ от точек А, В. Эллипс можно также определить условием, что отношение длины отрезка Р~М к расстоянию точки М до директрисы равно данному числу. Это условие не элементарно, так как требует измерения длины, которое может нс осуществиться в конечное число шагов.
') Совернзенно аналогична можно сказать, что «плоскость есть фнгура». ьа. ВеличинА Но то же условие можно сформулировать иначе: отношение отрезка Р~М к перпендикуляру МУ, опущенному на директрису, равно отношению данных отрезков. Такое условие проверяемо построением. В общем, аксиома 3', как она сформулирована, выражает понятие фигуры в элементарной геометрии и позволяет дать следующее определение. Элементарной геометрией называется теория, предмет которой составляют фигуры, определяемые элементарными условиями (как они были только что определены). Можно, конечно, понимать «проверяемое условие» в более общем смысле, когда оно не будет элементарным, не проверяется в конечное число шагов, как, например, условие, требующее предельного перехода.
Мы могли при прежде принятой аксиоматике с понятием численной длины считать проверяемым то условие, что отрезок имеет данную численную длину при данном масштабе. Вообще, понятие проверяемого условия, а значит и понятие фигуры, допускает разные градации. Но первая и основная из них та, которая установлена определением элементарного условия и соответствующим ему понятием фигуры. $ 8. Величина Понятие величины является основным в точном естествознании; подавляющее большинство законов физики говорит о зависимостях между теми или иными величинами. Простейшая из величин — это длина; из практики она вошла в геометрию.
Как понятно каждому, длина обладает следующими свойствами, которые мы сформулируем на интуитивном уровне без строгости. Е Длины можно складывать (длины складываются, когда один отрезок прикладывается к другому). 2. Если к данной длине прибавляется еще длина, то получается ббльшая длина. 3. Результат сложения — сумма длин — не зависит ни от порядка сложения, ни от того как объединяются слагаемые (коммутативность и ассоциативность).
4. Длина может непрерывно изменяться. ЧАСТЬ 6. ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ 580 Эти свойства длины, если их выразить точно В общем виде как аксиомы, дают аксиоматическое определение общего понятия величины (или, уточняя, — аддитивной, положительной скалярной величины; «адднтивной» потому, что для нее определено сложение' ), <скалярной» вЂ” чтобы отличить от векторных величин). Аксиоматическое определение величины, Величиной называется элемент множества (совокупности) «однородных Величин», в котором определена операция, называемая сложением, и выполняются следующие ее свойства (операция обозначается знаком +). 1.
Аксиомы сложения. 1,. Для каждсчх двух величин а, Ь существует такая однозначно определенная величина с, что с = = а + Ь (иначе говоря, операция сложения сопоставляет каждой парь величин а, Ь определенную величину с — «их сумму»). 1тьа+Ь=Ь+а. 16 (а+ Ь)+ с = а + (Ь + с). 11. Аксиома неравенства. 11. Для каждых двух величин а, Ь верно одно из трех; либо ) ) а = Ь; либо 2) существует такая однозначно определенная величина с, что а = Ь+ с, либо наоборот: 3) существует такая величина д, что Ь = 4 = а + д.
В случае 2) говорят, что а больше Ь: а > Ь; п случае 3) — что Ь ) а. (Это вполне соответствует обыденному понятщо; больше та величина, которая получается, когда к данной что-то прибавляют.) Когда а = Ь+ с, то полагают также с = а — Ь, т. е. если а ) Ь, то существует однозначно определенная величина — разность с=а — Ь.
1! 1. Аксиомы непрерывности. 1!1ь Для всякой величины есть меньшая. 111,. Всякая ограниченная сверху последовательность вели аин имеет точную верхнюю границу, т. е. если для последовательности величин аь а,, а,, ... есть такая с, что все а, ( с, то либо среди величин ') Есть велнчнны, для которых сложение не определено, например температура. Прнбавляют не температуру, а колнчество тепла. Заряд — величина, которая бывает положительной н отрнцательной. 1.
В. ВЕЛИЧИНА 581 а„есть наибольшая, либо существует такая величина а, что все а„( а и при всякой величине Ь найдется такое и, что а ( а, + Ь (нли, что то же, а — а„( Ь). Замечание. Если аксиому 1П~ заменить на противоположную,— ту, чтосредн величин существует наименьшая,— то получим определение дискретной величиньц измеряемой натуральными числами, как численность совокупности предметов. Выполняется следующая важнейшая теорема. Теорема ! (об измерении величин). Величинам (любого данного типа) можно взаимно однозначно сопоставить положительные числа так, что суммам величин будут отвечать суммы чисел.
Такое соответствие однозначно определяется выбором той величины е, которой сопоставляется число 1. Такое сопоставление чисел величинам называется измерением, а величина е — единицей измерения или масштабом. Доказательство этой теоремы, по существу, аналогично доказательству теорем о численной длине в 53. П В планиметрни есть три величины: длина, угол (как величина) и площадь. Им можно дать следующиеопределения,совершенно сходные друг с другом.
Длиной отрезка называется величина, отнесенная отрезкам так, что выполнены два условия: !. У равных отрезков длина одна и та же. 2. Если отрезок а составлен из отрезков а~ и аь то его длина равна сумме их длин. г(лощадью фигуры, составленной из многоугольников, называется величина, относимая таким фигурам, с двумя условиями: 1. У равных фигур площадь одна и та же.
2. Если фигура Р составлена из двух фигур Рь РВ (т. е. служит их объединением, но эти фигуры не имеют общих внутренних точек), то площадь фигуры Р равна сумме площадей фигур Рь РВ. (Определение площади для немногоугольных фигур сложнее и будет дано в гл. 1!.) Величиной угла называется величина, относимая углам так, что выполнены два условия: !. У равных углов величина одна и та же. 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
