1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 89
Текст из файла (страница 89)
А твк как М на АС. то, по той же теореме, С на МАГ,что и требовалось доказать. П Теорема 6. Если два отрезка а, Ь имеют две общие точки, то они образуют один отрезок: его концами служат те концы отрезков а, Ь, которвгв не лежат ни на а, ни на Ь. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть отрезки а, Ь имеют две общие точки А, В. Если одна из них служит концом одного из этих отрезков, то они образуют общий отрезок, по аксиоме Пч. Если же точка А не является концом ни одного из отрезков а, Ь, то она лежит иа них обоих. По аксиомам деления Пкм она делит каждый из них на два отрезка с общим концом А.
Пусть аь Ь| — те из этих отрезков, которые содержат точку В, так что у них общий конец А и еще общая точка В. По аксиоме П4, они образуют один отрезок. Поэтому конец одного из них (отличный от А) содержится в другом. Но это — конец отрезка а или Ь. Таким образом, для отрезков а и Ь выполнены условия аксиомы 114, и, стало быть, они образуют один отрезок. Концы этого отрезка не лежат ни на а, ни на Ь, как следует из теоремы 2. Таким образом, теорема 6 полностью доказана, П Так же, как в гл.
1, ч. 2, мы говорим о двух отрезках с общим концом, что один налегает на другой, или что они налегают друг на друга, если один из них содержится в другом. Теорема 7. Если отрезки АВ, АС налегают на один и тот же отрезок АР, то они налегают друг на друга. Доказательство. Пусть отрезки АВ, ЛС налегают на ЛО. Если нри этом, например, АВ:эАО, то тем самым АВ имеет общие точки с АС, кроме А (так как либо АСс АР, либо АР с: АС).
Поэтому, согласно теореме 6, АВ налегает на ЛС. Остается допустить, что ни АВ, ни ЛС не содержат АО, а стало быть, сами содержатся в АО и не совпадают с ЛР. Тогда В и С на АО. И по теореме 4 либо ЛВ:эАС, либо АС:эАВ. А это и значит, что отрезки ЛВ, ЛС налегают друг на друга, что и требовалось доказать. П чАсть к ОснОВАния геометьии П !. Аксиомы равенства отрезков. Ш1 (аксиома откладывания).
Для каждых двух отрезков АВ, СР существует отрезок АЕ, равный СР и налагающий на АВ, Ш» (аксиома меньшего отрезка). Если, отрезок СР содержится в отрезке АВ и не совладает с ним, то он нг равен АВ. П!» (аксиома сравнения). Если отрезки равны одному и тому же отрезку, то они равны друг другу. !ПА (аксиома сложения). Если С на АВ, С~ на АВ, и АС = А~СИ ВС = В,СЬ то АВ = А~ВЬ !Ч.
Аксиома непрерывности. !Чь Пусть всг точки на отрезке АВ разделены на два ненустых класса Р,, Рз так что если Мен Р, и Фен Рь то АМ~ Ай(. Тогда на АВ существует такая точка С, что если М еп Рь то АМ с А С, и если )Ч еп Рм то АФ:э АС АГ С АТ В Гх Рис 1 Поясним наглядно смысл этой аксиомы. Пусть точки внутри отрезка АВ разделены на два класса Рь Рв как сказано в аксиоме. Представим себе, что точка непрерывно движется по отрезку от конца А к концу В. Она проходит сначала по точкам из Рь а потом в по точкам из Р». В каком-то месте должен происходить переход.
Это и будет в точке С. Так как АМ АРАС для всех точек М из Рь то, значит, до С точка движется по точкам М из Рь а потом — по точкам Л из Р», так как Атт'~ АС. (К какому классу относится сама точка С вЂ” безразлично; ее можно относить к любому нз ннх или к обоим сразу.) Переход происходит в точке С. Если бы ее не было, т. е. аксиома не выполнялась, то при переходе от Р~ к Ра происходил бы «скачок».
Аксиома и выражает, что этого иет, что отрезок «непрерывен» (рис. 1). Замечание. Среди перечисленных линейных аксном нет аксиомы, которая обеспечивала бы существование хотя бы одного отрезка и даже хотя бы одной точки. Например, аксиома (, говорит, что для каждого отрезка есть две точки, служащие его кои- ь к хлгввсх отгазков цами, но это гарантирует существование этих точек, только если существует отрезок. Поэтому все линейяыеаксиомы имеют условный характер в том смысле, что еслк есть хотя бы две точки или хотя бы один отрезок, то аксиомы -говорят не о пустом множестве... Аксиома, гарантирующая существование точек и отрезков, появится в качестве первой плоскостной аксиомы: существуют три точки, не принадлежащие одному отрезку.
С этой аксиомой условный характер линейных аксиом снимается. $2. Алгебра отрезков В этом и следующем параграфах мы, иа основе аксиом, высказанных в $ 1, обоснуем измерение отрезков. То есть мы докажем в качестве теорем то, что раньше в гл. 1, ч. 2 было принято в аксиоме измерения. Измерение основано на сравнении и сложении отрезков, а также делении отрезка на равные части (деление масштаба нужно для более точного измерения).
Эти операции и составляют содержание «алгебры отрезковэ. На ее основе само измерение излагается в следующем параграфе. Теорема 1. Отношение равенства отрезков рефлексивно, симметрично и транзитивно, т, ел !) а=а, 2) если а=Ь, то Ь=а, 3) если а=Ь и Ь =с, то а= с. Д о к а з а т е л ь с т в о. Равенство отрезков сими~ рично по понятию, так как говорится: отрезки равны друг другу. Пусть теперь а= Ь н Ь = с. По симметричности также с= Ь, т. е, получаем, что отрезки а, с равны одному и тому же Ь, и, стало быть, по аксиоме 111з, а = с: равенство транзитивно. Докажем рефлексивность. Пусть а — данный отрезок.
Отложив вдоль него от какого-то его конца отрезок Ь, ему ррвный, получим а Ь, и, по симметричности, Ь = а. По транзнтивности: а = а. П Аксиому 1П, откладываняя отрезка можно дополнить утверждением о единственности откладываемого отрезка; именно, выполняется Теорема 2. При данных отрезках АВ и МУ существует не более одного отрезка АС, налезающего на АВ и равного МУ. 562 чАсть 6.
ОсновАния Геоьтетгии Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, есть два отрезка АС, А0, налегающих на АВ и равных Мтч'. По ак- сиоме сравнения онн равны друг другу, а по тео- реме 7 $1 налегают друг на друга, т. е, либо АС~ с АР, либо ЛР сЛС. Но если, скажем, г)С содер- жнтся в АР н не совпадает с АО, то, по аксиоме И1а меньшего отрезка, он не равен ЛР. Получается про- тнворечне. Следовательно, двух отрезков АС, АР быть не может, и теорема доказана. П Это позволяет формулировать аксному отклады- вания 1111 с дополнением о единственности: Вдоль любого отрезка от любого из его концов можно отложить отрезок, равный донному, и притом только один, Теорема 3. Всякий отрезок можно продолжить за любой из концов, т.
е. для всякого отрезка АВ суще- ствует отрезок АС, составленный из АВ и ВС. При этом продолжить можно на отрезок ВС, равный лю- бому заданному. Доказательство. Пусть дан отрезок АВ. Возьмем на нем точку О. По аксиоме деления отрез- ка, 0В с: АВ. Отложим вдоль ОВ отрезок ОС, рав- ный АВ (по аксиоме П11). Точка С не может при- надлежать отрезку РВ; иначе получалось бы, что отрезок РС, равный АВ, содержится в АВ, вопреки аксиоме Ш, о меньшем отрезке.
Отрезки АВ, РС имеют общие точки О, В н, сле- довательно, образуют один отрезок. Это отрезок АС (по аксиоме 114). Вдоль отрезка ВС можно отложить от точкн В отрезок ВЕ, равный любому данному. Вместе с АС он образует (по аксиоме 11„) один отрезок АЕ, н от- резок АВ оказывается продолженным на отрезок ВЕ, равный данному. П Сложенне отрезков.
Отрезок а называется суммой отрезков Ь, с, если он составлен из зтнх отрезков или нз отрезков, нм равных; в записи: и = Ь + с млн а = с + Ь, потому что когда отрезок а составлен нз отрезков Ь и с, то порядок их не указывается. Определенная таким образом операция сложения обладает следующими свойствами. 1. Суммы равных отрезков равны, т. е.
если а = = Ь+ с, а, = Ь1+ с1 и Ь = Ьь с = с,, то также а = = аь Это утверждается аксиомой сложения П1,. ь а клгевть оттезков Рис. 2 а+Ь=Ь+а, (а + Ь) + с = а + (Ь + с). Первое заключено в определении. Второе очевидно, если отрезки а, Ь, с обозначать АВ, ВС, СР. Тогда а+ Ь=АС, (а+ Ь)+ с=АС+СР=АР, а+(Ь+ с) =АВ+(ВС+СР) =АВ+ ВР=АР, П Определение. Если для отрезков а, Ь существует такой отрезок с, что а =Ь+ с, то мы говорим, что а Поэтому можно считать, что запись Ь+ с обозначает любой такой отрезок а, что а = Ь + с; все такие отрезки равны. П 2.
Любые два отрезка можно сложить, т. е. какие бы не были отрезки Ь, с, существует такай отрезок а, что а = Ь + с. Действительно, любой отрезок Ь можно продолжить за любой из концов на отрезок, равный данному отрезку с (теорема 3). П З.Если а=Ь+с и а,=а, то а,=Ь+с, т. е.
если отрезок а составлен из отрезков Ь, с и а1 = а, то отрезок а, составлен из отрезков, равных Ь, с. Действительно, пусть отрезок а = АВ составлен из Ь = АС и с = ВС, и пусть отрезок а~ — — А~В~ равен АВ. Отложим вдоль него отрезок А~Си равный АС, а затем приложим к А1С, отрезок С,Вь рава ный СВ (рис. 2). Получим отрезок А~Вм равный АВ (по аксиоме сложе- ах ния).
Он отложен вдоль л с, у1 А1Вь а стало быть, совпадает с ним (по теореме 2 о единственности откладывания отрезка). Таким образом, выходит, что А,В~ =А~С, + СВь т. е. а|=Ь+с, поскольку отрезки А,С~ и С~В~ равны Ь и с. П Доказанное свойство можно выразить так: если точка С на АВ и отрезок А~В, равен АВ, то на нем есть такая точка Сь что А,С~ —— АС, В,С, = ВС. 4. Сложение коммутативно и ассоциативно (перечестительно и сочетательно), т. е. ЧАСТЬ 6. ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ больше Ь или, что то же, Ь меньше а; в записи а ) Ь илн Ь а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
