1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Компактное множество А в метрическом пространстве М ограничено. Доказательство. Нам нужно указать шар, целиком содержащий множество А. Пусть а~М— произвольная точка. Всевозможные открытые шары В,(т) с центром в этой точке образуют, очевидно, открытое покрытие всего пространства М и, в частности, множества А. Так как множество А компактно, то у этого покрытия найдется конечное подпокрытие.
Пусть, например, Ае В,(т,) () ... ЦВ,(т») для некоторых гь ..., г» ) О. Тогда в качестве искомого шара можно взять наибольший из шаров В,(т;): ясно, что А ~ В,()г), где тг = шах(гь ..., г»). Таким образом, в метрическом пространстве компактные множества замкнуты и ограничены. В качестве следствия получаем одно важное свойство компактных множеств на числовой прямой. Теорема 5. Компактное подмножество А числовой прямой»ч содержит свои точные верхнюю и нижнюю грани. Доказательство. Так как множество А компактно, то оно ограничено и обладает конечной точной верхней гранью с: с = зпр А = эпр х еп )ч.
Числа, »ял меньшие числа с, верхней гранью для множества А уже не будут. Это значит, что в сколь угодно малой окрестности точки с имеются точки множества А. Следовательно, точка с является точкой прикосновения множества А. Так как множество А компактно, то оио замкнуто и должно содержать точку с.
Аналогично доказывается, что множество А содержит свою точную нижнюю грань. П Компактные множества в евклидовом пространстве. По-доказанному, все они замкнуты и ограничеяы. (Этим и объясняется название «компактное» множество.) Оказывается, верно и обратное: из замкнутости и ограниченности множества в евклидовом пространстве следует его компактность. Для доказательства нам потребуется важный частный случай этого утверждения — компактность куба. Теорема 6. и-мерный куб в евклидовом пространстве и» компактен. Доказательство. Рассмотрим для простоты изложения случай плоскости: и = 2.
Пусть Кч— 516 ЧАСТЬ К ТОПОЛОГИЯ единичный квадрат. Докажем от противного, что множество Ка компактно. Если это не так, то найдется такое открытое покрытие Г квадрата Кы из которого нельзя выделить конечное подпокрытие. Разобьем квадрат Ка на четыре квадрата со стороной 1/2. По крайней мере один из ннх не может быть покрыт конечным числом множеств из покрытия Г (в противном случае мы нашли бы для каждого нз этих квадратов конечное подпокрытие покрытия Г, и в совокупности эти подпокрытия дали бы конечное покрытие квадрата Ке). Обозначим квадрат, для которого из покрытия Г нельзя выделить конечное покрытие, через Кь Разделим и его на четыре квадрата, уже со стороной 1/4.
Тот квадрат, для которого из Г нельзя выделить конечное подпокрытие, обозначим через Кь Повторяя эту процедуру, мы получим бесконечную последовательность вложенных квадратов Кы Кь Кь ..., каждый следующий из которых по размерам вдвое Рас. 1В меньше предыдущего, и нн один из них не покрывается конечным числом множеств из Г (рис. !8). Однако общая точка этих квадратов покрывается некоторым множеством из Г, а с ней должны покрываться этим множеством и все квадраты К; с достаточно большим 1. (Действительно, пусть общая точка лежит в открытом множестве 0 из Г вместе со своей а-окрестностью, где, скажем, а ) !/2А. Тогда все квадраты К~ с 1) и лежат в этой а-окрестности и тем более— в множестве У.) Противоречие.
П Следствие. (Критерий компактности в евклидовом пространстве.) Для того чтобы л~ножество А в евклидовом пространстве !!' было компактно, необходимо и достаточно, чтобы Оно было замкнуто и ограни- ГЕНО. Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость этих условий нам уже известна. Докажем их достаточность. Так как множество Л ограничсно, то оно содержится в некотором кубе. Л поскольку всякий куб в евклидовом пространстве компактен, то множество Л ком- и.
к компактность пактно как замкнутое подмножество компактного пространства. П Примеры. Шары и сферы в евклидовом пространстве компактны. Компактность и отображения. Вернемся к компактным пространствам. Нетрудно убедиться, что компактность пространства является его топологическим свойством. Имеет место даже более сильное утверждение. Теорема 7. Непрерывный образ компактного пространства компактен, т. е, если Г: Х- У вЂ” непрерывное отображение и пространство Х компактно, то и множество )(Х) компактно.
Доказательство. Если открытые ь~ножества У, аен1, покрывают множество )(Х), то их прообразы множества ) (У ), покрывают пространство Х. В силу непрерывности отобран<ения ( это покрытие открыто. Следовательно, из него можно выделить конечное подпокрытие. Пусть, например, Х=г (У,,)() ... ()г (У, ). Но тогда, очевидно, ) (Х) с: У,() ()гл',, н множества 1/.о в =!, ..., й, образуют искомое конечное подпокрытие исходного р (и.)....
П Следствие. Топологическое пространство, гомеоморфное компактному пространству, само является компактным. Таким образом, компактность является топологическим свойством. Доказательство. Пусть Г": Х- У вЂ” гомеоморфизм и пространство Х компактно. Тогда пространство У компактно, как образ компактного пространства Х при нспрерыаном отображении ).
П Попутно мы получаем еще одно следствие из доказанной теоремы. Оно выражаст важнейшее свойство компактных пространств и множеств, исключительно полезное при доказательстве различных теорем существования. Теорема 8, Непрерывная числовая функция на компакгнол» пространстве ограничена и обладает наибольшим и наименьшим значениями. Другими словами, если (; Х вЂ” ь вс — непрерывная функция и пространство Х компактно, то найдутся две такие точки хь хэ я Х, что Дх~) < ((х) ( ((хв) для любой точки хеХ.
5'. 8 чАсть к топология Д о к а з а т е л ь с т в о. Множество ((Х) компактно как образ компактного пространства Х при непрерывном отображении г. Следовательно, оно содержит свои точные нижнюю н верхнюю грани !П((((Х) ) = = а и ацр (((Х) ) = Ь. Пусть а =((х~) и Ь = Г(х,). Тогда, очевидно, точки х, и хг — искомые. Теорема 8 доказана.
Б Критерий гомеоморфизма. Следующая наша цель состоит в доказательстве важного критерия того, когда непрерывное отображение является гомеоморфизмом. Сначала дадим одно определение. Непрерывное отображение называется замкнутым, если при этом отображении образы замкнутых множеств замкнуты. Ясно, что всякий гомеоморфизм есть замкнутое отображение, и наоборот, если непрерывное обратимое отображение замкнуто, то это гомеоморфизм. Теорема 9.
Непрерывное отображение компактного пространства в каусдорфово всегда замкнуто. Другими словами, если (; Х-~ У вЂ” непрерывное отображение, пространство Х компактно, а пространство т" хаусдорфово, то для лю- У бого замкнутого множества 1 А с: Х множество ((А)с: у замкнуто. С) Доказательство. Эта У -ФЮ теорема немедленно следует из трех доказанных ранее теорем. Действительно, множество А компактно как замкнутое подмножество компактного пространства Х. Множество ((А) компактно как образ компактного множества А при непрерывном отображении (, Наконец, множество ((А) замкнуто как компактное подмножество хаусдорфова пространства у.
П В качестве следствия мы получаем важный критерий гомеоморфизма. Теорема 10. Непрерывная биекиия Г компактного пространства Х на хаусдорфово пространство У является гомеоморфизмом. Дока з а тел ьство. В силу теоремы 9, отображение ( замкнуто, а, как отмечалось пятью абзацами НЬ Ь МНОГООБРАЗИЯ С КРАЕМ Н ВЕЗ КРАЯ $19 выше, если непрерывная биекция замкнута, то это— гомеоморфизм. С) Пример.
Любая непрерывная биекция отрезка [О, 1) в себя есть гомеоморфизм. Этот факт довольно очевиден наглядно. График отображения в этом случае — кривая без разрывов (рис. 19). И она же даст нам график обратного отображения, если ее отразить относительно прямой х = у. Глава 1П МНОГООБРАЗИЯ $1. Топологические многообразия с краем и без края Понятие многообразия является одним из важнейших в математике. Интересно, что, в сущности, это понятие, а также понятия размерности и края встречаются уже у Евклида.
Начнем этот параграф цитатой из Евклида («Начала», Книга 1): Определения. 1. Точка есть то, что не имеет частей. 2. Линия же — длина без ширины. 3. Края же линии — точки. б. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину. 6. Края же поверхности — линии. Точки, линии и поверхности — все это примеры многообразий. Фактически, многообразие — это такое топологическое пространство, в окрестности каждой точки которого можно ввести систему координат. Для более точного определения нам понадобится одно весьма специфическое топологическое свойство — локальная евклндовость. Пусть и — неотрицательное целое число. Через 1(+ будем обозначать замкнутое полупрос1ранство в евклидовом и-мерном пространстве 1«л, состоящее из точек, первая координата которых неотрицательна (рис.
20): П+ — — ((хь ..., х ) ен П": х~) О). (Заметим, что 1(' = йа состоит из одной точки.) часть а тОИОлОГия Определение. Топологическое пространство Х называется локально евклидоаым размерности и, если всякая его точка хс обладает окрестностью К гомеоморфной л-мерному евклидову просзранству К" или полупространству !4+ (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
