1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 81

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 81)

Пусть, например, иПА = И. Это значит, что множество А содержится в замкнутом множестве Х и. Но тогда н его замы- канне с(А тоже содержится в Х,и, т. е. с! А П и = И. Полученное противоречие и доказывает теорему 3, П Теорема 4. Объединение в двух связных множеств, л имеющих ло крайней мере одну общую точку, связно. Доказател ь с т в о. Пусть А,  — связные подмножества топологнческого пространства Х, имеющие непустое пересечение: А П П В чн И (рис. 6).

Предположим, что нх объединение С = А (1 В несвязно. Это значит, что С ~ и Ц *г', где и я У вЂ” открытые множества, имеющие общие точки с множеством С, причем пересечение всех трех множеств и, 'г' н С пусто: ипс~и, упса и, ипупс=и. Тогда из связности множеств Л н В следует, что каждое из ннх целиком содержится в одном нз множеств и н )г н не пересекается с другим (для проверки вернитесь к определению связного множества). Но пусть, например, А с и.

Если теперь В с: и, то С П У = И, а если В с )1, то А П В ~ и П !г П С = И. В обонх случаях получаем противоречие. Теорема 4 доказана. П Эту теорему теперь ничего не стоит обобщнть на случай произвольного семейства связных множеств, имеющих непустое пересечение. 500 часть 5 тополог!!я Теорема 5.

Объединсние семейства связных множеств, имею!!!их оби!ую точку, само связно, Доказательство. Пусть !Л„) ! — произвольное семейство связных множеств в топологическом пространстве Х, а точка хе — общая для всех множеств Л,: х„си Д Л,. Согласно нашему критерию аос связности, для доказательства связности множества Д А, достаточно указать для двух его точек а и Ь ч;с содержащее обе эти точки связное подмножество множества !) А„. Если, например, ач:— А„и Ьс:— Аа н сс для некоторых индексов а, бе=/, то таким множеством будет множество АиЦАа Его связность следует из предыдущей теоремы, поскольку множества А и Ар оба связны н имеют обсцую точку хч, ьз Компоненты топологического пространства. Особый интерес представляют максимоллньсе связные подмножества топологцческого пространства. Для них существует специальное название (п даже несколько). Определение. Компонентой связности пространства Х называется всякое его связное подмножество, не содержащееся нн в каком строго большем связном подмножестве пространства Х.

Теорема 6. Две компонснгы связности либо не пересс каются, либо совпидасот. Д о к а з а т е л ь с т в о. Объединение двух пересекающихся компонент по-доказанному есть связное множество, которое к тому же содержит обе зти компоненты. По определению, компоненты должны совпадать с иим и, значит, друг с другом.

С) Теорема 7. Каждая точка содержится в некоторой компоненте связности пространства. До к а з а тел ь с т в о. Достаточно заметить, что среди всех связных множеств, содержащих данную точку, существует наибольшее: зто объединение всех таких множеств. Оно связно в силу доказанной выше теоремы 5. П Эти две теоремы в совокупности означают, что всякое топологическое пространство является объединением своих попарно непересекающихся компонент связности, Другими словами, компоненты связности образуют разбиение пространства. Компоненты связ- ~ь ь связность ности пространства называются также его связными компонентами или просто компонентами. Теорема 8. Компонента связности яеляется замкнутым множеством.

Л о к а з а т е л ь с т в о. Замыкание компоненты связности есть связное множество, содержащее эту компонснту. По определению, компонента должна совпадать с ним, Следовательно, она замкнута. П Примеры. 1. У антидискретного пространства, как и у любого связного пространства, всего одна компо. пента связности — все пространство. 2. В дискретном пространстве каждое одноточечное подмножество образует отдельную компоненту. 3. В множестве рациональных чисел ь), лежащем на вещественной прямой, каждая точка образует отдельную компоненту.

Это, кстати, пример того, когда компоненты не открыты. Связность н непрерывные отображения. Вернемся к связным пространствам. Представляется естественным, что поскольку понятие связности определяется чисто в топологических терминах, то связность должна быть топологичсским свойством. Мы докажем сейчас гораздо более сильное утверждение, Теорема 9.

Непрерывный образ связного пространства сеязен. Другими словами, если (: Х-~- У вЂ” непрерывное отображение и пространство Х связно, то множество )(Х) тоже связно. Лака з а тел ьст в о. Предположим противное. Пусть множество ((Х) несвязно: ~(Х)~ У() У, где (г и У вЂ” открытые множества в У, которые имеют не- пустые пересечения с множеством ((Х), причем пересечение всех трех множеств О, У и ((Х) пусто: и()((Х) ~ И, У П)(Х) ~ И, (У() У()((Х) =и. Это значит, что )' — '((Г)чь И, ~ '(У) чн И и ~-'(0() () У) = И. В силу непрерывности отображения ( множества (-' (0) и (" — ' ( У) открыты, а из того, что г(Х) с: У() У, следует, что (-'(У)() 1-'(У)= Х. Таким образом, мы получили разбиение пространства Х на два непустых открытых множества (-'(0) и (-'(У), в противоречие со связностью пространства Х.

Теорема 9 доказана. О Следствие. Топологическое пространство, гомеоморгрное связному пространству, само является бей часть а. топология связным. Таким образом, связность является тонологичесным свойством. Доказательство Пусть )': Х-»У — гомеоморфизм и пространство Х связно.

Тогда пространство У связно, как образ связного пространства Х при непрерывном отображении 7. П Замечание. Разумеется, поскольку понятие связно. сти определялось в чисто топологических терминах— на языке открытых множеств,— то оио является топологическим. А так как гомеоморфизм устанавливает взаимно однозначное соответствие между топологическими структурами двух пространств, то связность должна сохраняться при гомеоморфизмах, т. е. она является топологнческим свойством. Для того читателя, которому все это уже понятно, доказательство предыдущего следствия не нужно.

Но, заметим, наше «очевидное» объяснение занимает больше места, чем упомянутое доказательство1 (Это тот случай, когда «по длинной дороге езды три дня, а по короткой — н за месяц не доедешь».) В подобной ситуации мы еще не раз окажемся на протяжении этой главы. й 2. Линейная свизность Несмотря на то, что определение связности очень просто, его непосредственная проверка в конкретных случаях, например, для множеств в евклидовом пространстве, несколько затруднительна.

На помощь приходит другое, более сильное, но проще проверяемое топологическое свойство — линейная связность. Путь. Прежде всего дадим определение пути в топологическом пространстве. Путем з в топологическом пространстве Х называется непрерывное отображение з: (О, 1]-»Х отрезка (О,1) в пространство Х. Точка а=в(0) называется началом пути з, а точка Ь = з(! ) — его концом. Говорят также, что путь в соединяет точки а и Ь1) (рис.

7). Рпределеиие. Топологическое пространство называется линейно связным, если любые две его точки можно соединить путем. ') Отметим некоторую разницу с привычным употреблением слова «путь». Обычно под путем понимают дорогу, а мы имеем в виду скорее движение по этой дороге, т.е. прохождение пути. и. к линвиняя связность Примеры. !. Всякое антидискретное пространство линейно связно. 2.

Дискретное пространство, в котором больше одной точки, линейно несвязно. 3. Евклидова пространство К" линейно связно: любые две точки а, о ~ )с" можно соединить равномерным прямолинейным путем (т. е. воспользоваться Рис. т Рис. 8 хорошо известной нам параметризацией отрезка) 5: [О, 1] К", 5(1) = (! — 1) а +то. Определение. Множество А в топологическом пространстве Х называется линейно связным, если оно линейно связно в индуцированной топологии как подпространство, т.

е. если топологическое пространство (А, йл) линейно связно. Поскольку отображение в подпространство непрерывно тогда и только тогда, когда непрерывна композиция этого отображения с включением подпространства А в пространство Х, то мы видим, что множество А в топологическом пространстве Х линейно связно тогда и только тогда, когда любые две его точки а, вен А можно соединить путем 5: [О, 1]- Х, целиком лежащим в А (т. е, 5(1)енА для любого 1~ [0, 1] ) (рис. В). Линейную связность различных множеств часто нетрудно проверить непосредственно. Примеры.

1. Любой интервал иа прямой линейно связен. 2. Всякое выпуклое множество в евклндовом пространстве линейно связно. В частности, любой шар 0" линейно связен. Свойства путей. Линейная связность во многом аналогична связности (это видно уже из названия этих свойств). Поэтому неудивительно, что свойства ЧАСТЬ $. ТОПОЛОГИЯ 504 5 '(1) =5(1 — 1). Можно сказать, что обратный путь 5-' состоит в прохождении пути 5 в обратном направлении (рнс. 9). 5, ь 5~ 'еа Рис. В Рис. !О Если точку а можно соединить путем 5~ с точкой Ь, а точку Ь вЂ” путем за с точкой с, то точку а можно соединить путем с точкой с. Это можно сделать прн помощи произведения путей 51 и зт.

Характеристики

Список файлов книги