1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Таким образом, равенство (~р",~р', л) = 0 равносильно такому равенству: ((и»+ Е)и»9 +Ь»9 ° )и+У»9 н) ()и )». А) Это равенство можно рассматривать как обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка относительно функции ф(г). Теперь нз теоремы сушествования н единственности решениИ обыкновенных дифференциальных уравнений следует, что через каждую точку в любом направлении проходит единственная геодезическая (если интересующее нас направленне совпадает с направлением вектора ~„то мы можем поменять ролями координаты и н о). П Рис 93 Прямые на плоскостн, очевидно, являются геодезическими. Нетрудно убедиться, что на цилиндре геодезическнмн являются окружности, винтовые лннин н прямые, а на сфере геодезическими являются окружности больших кругов.
Поскольку через каждую точку зтнх поверхностей в каждом направленнн проходит линия одного нз указанных типов, то других геодезических на плоскости, цилиндре и сфере нет (рнс. 93). й (5. Полугеодезическая параметрнзацня поверхности. Экстремальное свойство геодезнческнх Определение. Параметрнзация т(и,о) гладкой поверхности Ф называется нолугеодезической, если все координатные линии одного семейства являются геодезическими н в каждой точке поверхности коорди- натные липин ортогональны (рис. 94). П. 1И. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ПОВЕРХНОСТИ 4П Способ построения полугеодезической параметризации усматривается из определения.
Пусть Ь вЂ” произвольная гладкая кривая на поверхности Ф, а ~р(с)— ее регулярная (дважды дифференцируемая) параметризация. Через каждую точку Р = ф(4) кривой Ь проходит вполне определенная геодезическая Сп ортогональная кривой Ь (рис. 95). Будем считать ее Рис. 94 Рис. 95 ориентированной таким образом, что в точке Р касательные векторы кривых Сс и Ь образуют с вектором нормали к Ф правую тройку. Введем иа кривой С~ естественную параметризацню фиь в которой фр>(0) = ф(1).
Теперь мы можем рассмотреть вектор- функцию я(з, т), определенную в некоторой окрестности Ф' отрезка (а, Ь) в плоскости з( по формуле а (з, () = фп,(з). Из теоремы о зависимости решений дифференциаль. ного уравнения от коэффициентов и начальных данных следует, что я(з, г) — гладкая вектор-функция, а нз теоремы об обратном отображении следует, что Рис. 96 й: (р' — «К' есть регулярная параметризация некоторой окрестности йи кривой Ь в поверхности Ф. Тем самым мы построили в окрестности кривой Ь систему внутренних координат з, Ь в которой сама кривая Ь будет задаваться уравнением и = О, а геодезическая Сп — уравнением 1 = (и (рис. 96).
472 ЧАСТЬ А ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Чтобы убедиться в том, что у(э,1) есть полугеодезическая параметризация, осталось проверить ортогональность координатных линий в каждой точке, т. е. равенство г" =— О. Так как любая кривая Сн— геодезическая, то вектор ор,", (э) всюду направлен по нормали к поверхности. Но, очевидно, д,. (э, 1,) = = ~р,", >(э). Поэтому у„еч ем О. Как мы знаем (см.
$ 13), у„йЧ = Р, — Е~/2. Но при любом 1о Е(э' ~о) В~(э' ~о) 1'та>(э)1 в силу естественности параметризации фа,; поэтому Е,=О и Ео=а„а, + Е,(2==0. С другой стороны, по построению, Е(0, 1) а= О. Поэтому Е(э, 1) — = О, и, следовательно, построенная параметризация у(э, 1) действительно полугеодезическая. П Еще раз отметим, что в построенной параметризации Š— 1, с — = О. Как нетрудно убедиться, всякая параметризация, удовлетворяющая этому условию, заведомо является полугеодезической.
Теорема. Дуга геодезической кривой С между точками А и В будет кратчайшей среди всех кривых, лежащих на поверхности, с концами в этих точках, если точки Л и В достаточно близки. А Д о к а з а т е л ь с т в о. с Применим описанную выше конструкцию к случаю, когда кривая ь ортогональна геодезической Рис. 97 С в точке А. Мы получим в (возможно, очень маленькой) окрестности ег точки А полугеодезическую параметризацию, которой соответствует система внутренних координат э, Е В этой системе кривая Е будет задаваться уравнением э = О. Если точка Л имеет координаты (0,!о), то кривая С будет задаваться уравнением 1 = 1о. Пусть точка В имеет координаты (О,эо) (рис. 97).
Рассмотрим любую другую кривую С с концами в А и В. Для простоты предположим, что С вЂ” гладкая кривая, целиком лежащая в окрестности Й. Пусть и= ~р~(т), в = ~ро(т) — ее внутренние уравнения, где тон[а,(3]. При этом, очевидно, ~р~(а)=0, Н. Рь ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ПОВЕРХНОСТИ 473 ф!(О) = за. Если 5(С) и 5(С) — длины кривых С и С, то мы получаем неравенство: а в 5(С) =~ /(ф (т))~+ 6 ° (ф (т)]з 4(т~ )~ ~ф (т)(4(т) а а в ~ р',(т) 4(т =~ р,(б) — р, (а) ~ =~а,~=5(С). а Ясно, что 5(С) = 5(С) тогда и только тогда, когда фт(т)= — О ф,(т) ) О, т. е.
С=С. Теорема доказана. П Заключительные замечания! поверхности постоянной гауссовой кривизны. Пользуясь полугеодезической параметризацией и формулой Гаусса, можно доказать, что если у двух поверхностей в каждой точке гауссова кривизна ранна одному и тому же числу К ) О, то эти поверхности локально изометричны: любой достаточно малый участок первой поверхности изометричен некоторому участку второй, и наоборот. Поэтому на поверхностях постоянной гауссовой кривизны К = 0 «в малом» выполняется сферическая геометрия (при К ) 0) или планиметрия (при К = =0). При К «= 0 на поверхности реализуется «в малом» геометрия Лобачевского, подробно излагаемая в последней главе учебника.
С виду эти три геометрии совершенно различны, что проявляется, например, в поведении суммы углов треугольника. Если на евклидовой плоскости она равна я, то на сфере всегда больше, а на плоскости Лобачевского всегда меньше п, причем в обоих случаях отличие от п прямо пропорционально площади треугольника. Объяснение этому дает теорема Гаусса — Боннэ. Она утверждает, что если а, О, у — внутренние углы треугольной области о, ограниченной на гладкой поверхности тремя геодезическими, то а + (3 + у = и + ~ ~ КЫ5.
Ь Для поверхности постоянной гауссовой кривизны второе слагаемое в правой части равно произведению гауссовой кривизны иа площадь треугольника Л. Приведенную формулу легко обобщить на случай геодезического многоугольника. Часть 5 ТОПОЛОГИЯ С первыми топологическими понятиями мы уже встречались во второй части книги, где определялнсь внутренние и граничные точки множества и т. п. При общем изучении топологии за основу, оказывается, удобнее всего взять понятие открытого множества. Здесь мы начинаем с того, что определяем топологическое пространство н изучаем его «геометриюа исходя из аксиом. После того, как введены гомеоморфизмы, изучаются важнейшие топологические свойства пространств и множеств — связность и компактность.
В заключение описывается классификация связных компактных двумерных многообразий, к которым относятся такие интересные объекты, как лист Мебиуса, бутылка Клейна, проективная плоскость и сферы с ручками. !'аааа ! ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА И НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ $1.
Топология в множестве Пусть Х вЂ” произвольное множество. Топологической структурой или топологией в множестве Х называется совокупность Й его подмножеств, для которой выполнены три условия: а) Объединение любого семейства множеств, принадлежащих совокупности Й, также принадлежит совокупности Й; б) пересечение любых двух множеств, принадлежащих совокупности Й, также принадлежит совокупности Й; в) пустое множество И и все множество Х принадлежат совокупности Й. Множество Х с выделенной топологической структурой Й называетси гопологическим пространством и ь ь топология в множества 475 обозначается (Х, ег) или просто Х, если ясно, о какой топологической структуре идет речь.
Элементы множества Х называются *очками пространства (Х,Я). Множества, входящие в выделенную совокупность Я, называются открытыми в Х множествами '). Условия а) — в) называются аксиомами топологической структуры. Они выражают следующие основные свойства открытых множеств: а) объединение любого семейства открытых множеств открыто; б) пересечение любых двух открытых множеств открыто; в) пустое множество и все пространство открыты.
Заметим, что, как следует из б) по индукции, б') пересечение любого конечного числа открытых множеств открыта. Запишем аксиомы а) — в) еще и прн помощи формул. а) Пусть ((т',),, — семейство множеств (1„, где индекс а пробегает множество индексов !. Если (У ен ен И для каждого индекса а из т', то и Ц (т',ен аа. вы! б) Если ()ь (Уа ен й, то и ()~ П ()а ~ ().
в) И, Хаий. Наконец, утверждение б') означает, что если (Уь л Уь..., (l„я(), то и П (У, я(2. [ 3 Рассмотрим простейшие примеры топологических пространств. 1. Если (г совпадает с множеством всех подмножеств множества Х, то топологическое пространство (Х,(а) называется дискрегно~м. Мы видим, что в дискретном пространстве все множества открыты. 2. Если Я содержит всего два множества: О и Х, то топологическое пространство (Х, (а) называется ангидискретным пространством нлн пространством с тривиальной топологией. В антидискретном пространстве только два открытых множества: пустое множество и все пространство.
(Дискретное пространство можно сравнить с мешком гороха, где ') Буква Я соответствует букве О, с которой начинаются слова: открытый, ореп (англ.), онеп (неы.у, оптетт (франк.), все оаначаатщие одно н то же. 476 ЧАСТЬ 5 ТОПОЛОГИЯ каждая горошинка — сама по себе, а антидискрстное — с запутанным клубком ниток или тарелкой спагетти. Здесь роль точек играют отдельные горошины и макаронины.) 3.
Пусть Х есть луч (О, +ОО), а й состоит из 8, Х и всевозможных лучей (а, +СО), где а О. Для совокупности Й аксиомы б) и в), очевидно, выполнены, а аксиома а) просто означает, что объединение любого семейства таких лучей снова есть луч. Пространство (Х, чг) называется стрелкой. Дискретная и антидискретная топологии сами по себе не слишком интересны, но мы постоянно будем пользоваться ими в качестве простейших примеров. Дополнения открытых множеств имеют специальное название. Множество г г Х называется замкнутым в пространстве (Х, й), если его дополнение Х",Р открыто, т. е. Х', г" еп ().
Примеры. (. В дискретном пространстве все множества замкнуты. 2. В аитидискретном пространстве только два замкнутых множества: пустое множество и все пространство. 3. В стрелке замкнуты пустое множество З', весь луч (О, + СО) и отрезки вида (О,а], где а ) О. Перечислим свойства замкнутых множеств, вытекающие из аксиом топологической структуры. Теорема. а) Пересечение любого набора замкнутых множеств замкнуто. б) Объединение любых двух замкнутых множеств зал~кнута.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
