1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Основные уравнения теории поверхностей В этом параграфе мы выведем замечательную формулу Гаусса, которая выражает гауссову кривизну поверхности только через коэффициенты первой квадратичной формы этой поверхности и их частные производные первого и второго порядка. Уже из самого факта существования такой формулы можно сделать несколько очень важных выводов. Первый вывод — инвариантность гауссовой кривизны относительно изгибаний. Теорема Гаусса (1(теогегаа едгедшгп ')). Если одна гладкая поверхность получается из другой при помощи изгибания, то гауесовы кривизны этик поверхностей в соответственных гочкак совладают.
Другими словами, гауссова кривизна поверхности не меняется при изгибании. П Таким образом, гауссова кривизна относится к внутренней геометрии поверхностей. Как мы знаем, тип точки на поверхности определяется гауссовой кривизной поверхности в этой точке. Поэтому точку, например, эллиптического типа нельзя превратить изгибанием в точку гиперболического или параболического типа (рис. 85 — 87). Другой вывод касается сферического отображения поверхности.
Ясно, что при изгибании сферические изображения всей поверхности и различных фигур на ней могут меняться. Однако площадь сферическою изображения фигуры при изгибании не меняется. Это следует из того. обстоятельства, что площадь сферического изображения области И на поверхности совпадает с абсолютной величиной ее полной кривизны, которая выражается интегралом ~ ~ Кс(5, ср. $ !1. А указанный интеграл, в силу теоремы Гаусса, прн изгибании не изменяется (рис.
88). (Чтобы эти рассуждения имели силу, необходимо предположить, что сферическое отображение является взаимно однозначным в области й и той области Й, которая соответствует ей при изгибании.) ') еегеейа (лат.) — славная. отличная, превосходная. 4в4 члсть 4. дИФФеРЕПциАЛЬнлЯ ГРОМетРИЯ Формула Гаусса. Перейдем к выводу формулы Гаусса. Пусть гладкая поверхность Ф задана параметрическим уравнением т = 1(и, с). Тогда ее гауссова кривизна в точке Р = 1(и, о), как было показано в $9, вычисляется по формуле ЬМ вЂ” Мз К(и, г) = ео с с и~ из из и и ь, ь, ь, с с и с~ сз сз и| из ии (а, Ь, с) (а', Ь', с') = ь! Ьз Ьз с, сз сз с Ь с ЬЗ '3 и! ь, ь, ь, . и,' с, с, с, из ((а.а') (а Ь') (а е') (Ь ° и') (Ь Ь') (Ь е') (е а') (е Ь') (с с') Лемма доказана.
П (Напомним, что коэффициенты Е, Р, 6, Е, М, М первой и второй квадратичной форм являются функциями от переменных и, о.) Как мы знаем, для коэффициентов Е, М, М имеются формулы и-,и,ы и е...и.и) „и...и и) Отсюда получаем формулу для гауссовой кривизны в точке Р: 1 (1ии. 1и. 1и) (1ии. 1и 1и) (1ии 1и 1и) о) (Еа — р )3 Чтобы преобразовать числитель к удобному для нас виду, воспользуемся следующей простой леммой из векторной алгебры. Лемма.
Пусть даны векторы а, Ь, с, а', Ь', с'~ 3(3. Тогда имеет место равенство, связываюи(ее их скалярные и смешанные произведения: (и а') (а Ь') (а е") (а, Ь, с) (а', Ь', с') = (Ь а') (Ь Ь') (Ь е') (е а') (е Ь') (с е') Доказательство. Проверим эту формулу в координатах. Пусть вектор а имеет координаты аь аз, аз, вектор а' имеет координаты а'„а', а' и т. д.
Тогда требуемое равенство получается в результате несложных преобразований П. 13. ФОРМУЛА ГАУССОВОЯ КРИВИЗНЫ 466 Г / ()ии')оо) (1ии')и) бии'Ь) К(и, и) =,, $~ Уи')оо) ()и'(и) (Ги'Го) (ЕΠ— яо)о $ ~ Ио уоо) (Ь уи) (То ° )о) Чио ' (ио) (Рио ' уи) Чио ' Ь) ( 1 — (ги гио) (1» ' Уи) (г» ' 1о) (Ь ' Рио) (1» ' 1и) (1» ' 1») Пользуясь тем, что алгебраические дополнения левых верхних элементов выписанных определителей совпадают, и тем, что 1,.1» = Е, 1» 1» = Е, 1, 1, = О, получим окончательно (гии Роо )ио) (Уии 1») (1»и ' 1») «О )=-по=-о о-( о'и» (Го ' гоо) «О (Рио.
Ь) ((ио 1») — 0» оооо) Е «" (го( ) я Для того чтобы получить выражение гауссовой кривизны, включающее только функции Е, Р, б и их частные производные, достаточно выразить функ.ии 1»и 1», 1» 1»., 1». '1», 1. 1.», 1»и 1.. 1» 1»о н через частные производные функций Е, Е, 6. Начнем с того, что, продифференцировав по и и по О соотношения 12=Е, 12=0, 1 .1 =Е, получим следующие тождества: 1 1»и ° 1» = » Еи, 1ио ' 1» о ~и ! 1»и 1. + 1. 1»о = Р,. 1 1и 1ио о Ео> 1» ° 1,„= — ««„, 1 1» '1»о+ 1ии '1» Еи Вычитая из последних двух равенств соответственно второе и третье равенства, получим: 1»и 1„=ń— д Е„ 1 1» 1оо ~о и ~и. 1 Применяя лемму к выражениям (1»и~ 1и~ 1») (1»ов 1,1,) и (1 „1»,1»)', получаем такую довольно гро« моздкую формулу для гауссовой кривизны: чав часть е диеоееенцихльнхя геометеня Далее, поскольку И„„У„=1„„, 1,+1 1,„, ($„.
1.)„=1„.„1„+1-",„, 1 =е — — е — — а, ии 2 иэ 2 ин Подставляя все эти выражения в полученную нами ранее формулу для гауссовой кривизны, мы приходим наконец к формуле Гаусса: 1 хь..!=,~ „х 1 1 Г ! Еи (Еии + 0ии) Еи ~ли Ео) 2 2 ~ 2 Ео Ои 1 ŠŠ— 0ц 1 2 0 1 — Е„ 2 1 0а 2 1 — Е„ 2 1 0и 2 Основные уравнения теории поверхностей. Еще одно важное следствие из формулы Гаусса состоит в том, что коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхности не являются независимымн. Как мы видели, формула Гаусса позволяет выразить функцию 1.й! — М' через функции Е, Р, 6 и их частные производные.
Напрашивается вопрос: существуют ли еще какие-нибудь зависимости между коэффициентами первой и второй квадратичных форму Ответ на этот вопрос положительный. Имеются две формулы Петерсона — Майнарди — Кодацци, выражающие линейные комбинации частных производных функций Е, М, й! через сами эти функции и через функции Е, Р, 6 и их частные производные: Е. — М„= р~Е, М, й1; Е, ..., 6.), ̄— У„= ф(г., М, !!1; Е, ..., 6,). Других зависимостей между Е, Р, 6, Е, М, Л! нет.
и. и. геодгзичвскхя кгивизп х Оказывается, что если в плоской области г' заданы шесть функций Е, М, У, Е, Р, б, для которых выполняются уравнения Петерсона — Майнарди — Кодацци, функция ь)х' — Мх удовлетворяет уравнению Гаусса и функции Е, ЕΠ— Рх всюду положительны, то указанные шесть функций являются коэффициентами первой и второй квадратичных форм некоторой гладкой поверхности, определенной нмн однозначно с точностью до положения в пространстве. Это теорема Бонна. 5 14. Геодезическая кривизна н геодезнческне кривые Определение. Пусть С в кривая на гладкой поверхности Ф, а й — вектор кривизны в точке Р этой кривой. Вектор й раскладывается в сумму двух векторов йх н й„, первый нз которых лежит в касательной плоскости ТгФ, а второй ей перпендикулярен. Каь мы знаем,длнна вектора й„равна абсолютной величине нормальной кривизны кривой С в точке Р: (й.
)=! й,! Длина вектора й назы- Ряе Вэ вается геодезикескок кривизной (без знака) кривой С в точке Р и обозначается через йх: ! йя!= йх. В силу перпендикулярности векторов йх и й„ имеем: й'= й~+ й'„, где й = (й! — кривизна кривой С в точке Р (рнс. 89). В качестве упражнения предлагаем чнтателю доказать, что геодезнческая кривизна кривой С в точке Р равна кривизне проекции этой кривой на касательную плоскость ТгФ. В частностн, на плоскости геодезическая кривизна всякой кривой в каждой точке совпадает с ее кривизной (рис.
90). 468 ЧАСТЬ 4. ДНФФЕРЕ1ЩИАЛЫ1АЯ ГЬОМ1 ТРНЯ Если кривая С парамстризована вектор-функписй ор(!), причем Р = ор(оо), то, как нетрудно видеть, ес геодезическая кривизна в точке Р может быть вычислена по формуле )(Чо ()о). Чо ()о). а)! ! ч' (1 ) !' где л — вектор нормали к поверхности в точке Р.
Геодезические кривые. Оказывается, что геодезическая кривизна относится к внутренней геометрии. (Мы оставим этот факт без доказательства.) Ввиду Рис. 90 Рис 91 этого особый интерес представляют кривыс на поверхности, геодезическая кривизна которых в каокдой точке равна нулю. Такие кривые называются геодезическими. Они являются аналогами отрезков прямых на плоскости, кривизна которых в каждой точке равна нулю. Из-за важности геодезических для внутренней геометрии укажем несколько'их свойств, каждое из которых может быть взято за определение. Если кривая С является геодезической, то; а) вектор главной нормали кривой С в каждой точке совпадает с вектором нормали к поверхности (с точностью до знака) (рис.
9!); б) соприкасающаяся плоскость в каждой точке кривой С проходит через нормаль к поверхности; в) спрямляющая плоскость кривой С в каждой точке совпадает с касательной плоскостью к поверхности; г) кривая С в каждой точке имеет наимсньшу1о кривизну среди всех кривых, проходящих через эту 11. И. ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ КРИВИЗИА чав же точку в том асс направлении (т. с. она является чнанпрямсйшсй» среди этих кривых); д) Гели ф(1) — парамстрнзация кривой С, то (фи(1), ф'(1), и) == О.
Как известно, через каждыс две точки на плоскости проходит единственная прямая. Для геодезических на поверхности это свойство, вообще говоря, может нс выполняться. Две точки могут соединяться двумя, тремя, даже бесконечным числом геодезических, а могут и нс соединяться ни одной. Однако выполнено другое, родственное свойство, а именно: Теорема. Через каждую точку в каждом направлении проходит единственная геодезическая. (Поскольку любая дуга геодезической сама есть геодезическая, то единственность требует пояснений. Под единственностью мы имеем в виду то, что любые две достаточно короткие геодезические, проходящие через одну и ту же точку в одном и том же направлении, являются дугами одной и той же большей гсодезиче- Ф ской, рис. 92.) '-1тобы доказать это, со- Риа 92 ставим дифференциальное уравнение геодезической. Пусть 1(и, о) — параметризация поверхности Ф.
Будем искать внутренние уравнения геодезической в виде и = С о = эр(г). Тогда парамстризация геодезической будет иметь вид г =ф(т) =у(С ф(т)). Далее, по обычным формулам, ф (1) =1 (С ф(1))+1. (1 ф(т)) т' (!) ф (~) 1ии (Г 1)1 (1)) + сии (1 ф (1)) ф (1) + +1»и(т иг(')) Ф (1)+ 1. (1. ф(1)) Фи(1). Для краткости опуская аргументы 1 и ф(1) у функций, можно записать: (Гр", р' и) =9-+ 2~„„ф'+~„ф" + 1ф", ~„+ ~„ф', и)= = ((„„+ 2(„„ф'+ у„„ф', Т,+у„ф', и)+(у,1р", („+ у,ф', и). 4то чАсть с диФФеРеициАлъиАЕ ГЯОметРия Последнее слагаемое равняется — фи Д„,~„ п).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
