1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Пусть поверхность Ф задана уравнениями Н. 4. КЛСЛТЕЛЬНЛЯ ПЛОСКОСТЬ ПОВЕРХНОСТИ 433 причем ~6(ио, Оо)= )з(ио, ио)=(з(ио, Оа) =-О. Рассмотрим проекцию поверхности Ф на плоскость ху. При этой проекции точка с внутренними координатами (и,и) отображается в точку с координатами ),(и,и), )з(и. О). Рассмотрим векторы частных производных (тле д„), =()~)„и т.
д.): ~„= (до~О д„)з, ди)з), ~. =(д.)'н д.)з, д.)з). Поскольку, в силу выбора системы координат, вектоРы ~„(ио, Оо), ),(ио, Оо) лежат в плоскости хУ, то д~)'з(ио, Оо)=д.)з(ззо Оо) =О. Следовательно, в силу линейной независимости вектоРов (. (ио, Оо) и (, (ио, Оо) полУчаем ! вой (ио, оо) ди!з (ио, оа) ~ до(~ (ио, Оо) до)з(ио, ор) Ф О.
Если мы рассмотрим теперь отображение области 'г' в плоскость ху, заданное формулами х = ~, (и, е), У = )з (и, О), то из теоремы об обратной функции будет следовать, что в некоторой окрестности Уо точки (О, 0) определено обратное отображение и = ф~(х* у), О = фз(х у). Теперь ясно, что искомую функцию ) можно определить по формуле ) (х, у) '=)з(ф~ (к, у), фз (х, у)).
То, что ) (О, 0) = О, очевидно. То, что ),(О, 0) = = )„(0,0) = О, следует из того, что в точке (ио, Оо)= =(ф~(0,0), фз(0,0)) частные производные функции 1з обращаются в нуль. Наконец, если параметризация /(и, О) непрерывно дифференцируема л раз, то вместе с ее координатными функциями (н (з л раз непрерывно зифференцируемы функции ф, и фз. Теперь функция ) непрерывно дифференцируема л раз как композиция функций ф,, фз и и раз непрерывно дифференцируемой функции (з. Теорема 2 доказана. П Направления на поверхности. Пусть ( — некоторая прямая, проходящая через точку Р поверхности и лежащая н касательной плоскости Т,Ф.
Будем говорить, что кривая С на поверхности проходит через точку Р 434 чАсть 4. диФФеРенциАльнАя геометвия в направлении прямой 1, если 1 — касательная кривой С в точке Р (рис. 49). Если через точку Р проходят две кривые С, и С,, то углом между ними назовем угол между их касательными в этой точке Очевидно, что угол между кривыми зависит только от их направлений в точке Р (рис. бб). Рассмотрим плоскость, перпендикулярную касательнон плоскости ТРФ и пересекающую ее по прямой 1, которая по-прежнему проходит через Р.
Из доказанной выше теоремы 2 следует, что пересечение Рис. 56 Рис. 55 этой плоскости с достаточно малой окрестностью точки Р на поверхности является гладкой кривой (это график сужения функции 1 из теоремы на прямую 1) Эта кривая называется нормальным сечением поверхности Ф в точке Р в направлении прямой 1. Очевидно, что! — касательная прямая этого нормального сечения. Более общим образом, касательная к кривой на поверхности всегда лежит в пересечении соприкасающейся плоскости кривой и касательной плоскости поверхности (рис. 56).
(Проверьте это!) й б. Первая квадратичная форма поверхности. Измерение длин кривых и углов между ними Длина кривой на поверхности. Пусть Ф вЂ” гладкая поверхность, заданная векторным уравнением г = =1(и,в). Рассмотрим гладкую ьрнвую С на поверхности Ф, заданную внутренними уравнениями и = = вь (1), и = ~рз(1), где 1ен (а, Ь ). Нас интересует длина 5 кривой С. В пространстве кривая С задана векторным уравнением г = ~р(1), где ~р(1) =1(~р~ (1), ~рз(1)). Теперь длину о можно найти по известной и. 5. пеРВАя кВАдаатичнья Фогмь повегхностн 435 формуле, см.
5 1. 4: ь 5 = ~ ~ Ф' (Г) ~ Йд Я Вычислим длину вектора Ф'(1). По формуле (2) $3 Ф'(Г)=1„(Ф,(0, Ф,(г)) Ф',(2)+1„(Ф,(Г), Ф,(Г)) Ф',(О. или, более коротко, Ф =гь(ФП Ф2) 'Ф1+ 22(% Ф2) ' Ф2 Лалес получаем, для краткости опуская 1, (Ф'(г) Г=~Ф'!'=Ф' Ф'= -Р„(ФР Ф,) Ф', + 21„(Ф„Ф,) 1. (Ф, Ф,) Ф',Ф,'+ С (Фо Ф,) Ф,' . Введем обозначения. Положим Е (и, о) = Р (и, о), Р (и, о) = 1„ (и, о) Г„ (и, о), О (и, о) = г~ (и, о), Тогда формула для квадрата длины вектора Ф'(2) примет вид ) Ф'(1) )2 =Е(ФР Ф ) Ф~ + 2Р(Ф~ Фг)ФР2+ О(Ф1 Фг) ЧЪ ' Наконец, подставляя корень из этого выражения в формулу длины, получим: ь Е=~1Е(ФР Ф,)Ф', +2Р(ФП Ф,)Ф,'Ф,'+О(ФП Ф.)Ф,' Й (*) Имея в виду внутренние уравнения кривой С и опу- ская для краткости аргументы у функций Е, Р, О, эту формулу часто записывают так 5 = ~ ~/Е ( —,) + 2Р— — "+ О ( — ") 222 = ь Еи', + 2Ри,о, + Оог йт 2 436 '!Асть 4 д!!ФФсее!!цньлы!Ая Геомвтеия (Но нельзя забывать, что Е, Е и 6 — это не числа, а числовые функции, зависящие от внутренних координат и и е!) Первая квадратичная форма поверхности.
На первый взгляд, формула («) кажется сложнее, чем исгь ходное выражение 5 = 1 ! !р'!Ж. Однако полученная О формула («) имеет следующее важное преимущество: в ней выделены функции Е, Е н 6, которые не зависят от ныбора кривой С, а зависят только от поверхности и ее параметризацнн, Если ищутся длины сразу нескольких различных кривых на поверхности, то удобно сначала найти функции Е, Е и 6, а потом подставлять в формулу («) функции ц!!(!), !рэ(!) и пределы интегрирования, которые отвечают той или другой кривой. Кроме того, эта формула дает возможность говорить о длине кривой на поверхности, когда известны ее внутренние уравнения и функци» Е, г и 6, а точный вид параметризации неизвестен (т, е, не задан точный вид поверхности). Это важно при общем изучении поверхностей (ср.
$ (2). Определение. Функции Е, Р, 6 называются коэффициентами первой квадратичной формы поверхности Ф, а сама первая квадратичная форма ! определяется по формуле )(!р'„!р,')=Е (р,"+2Р ц',ц,'+6 !р,'*. (Другое название — первая основная или первая фундаментальная форма поверхности.) Можно заметить, что матрица является матрицей скалярного произведения в касательной плоскости к поверхности, записанная в базисе у„, у„. Пример.
Для поверхности, заданной явным уравнением х = )(х, у), коэффициенты первой квадратичной формы имеют вид: Е(х, у) = ! + !',(х, у), г" (х, у) = 1„(х, у) („(х, у), 6 (х, у) = ! + 1~ (х, у). и. 5 пеРВАя кВАДРАтичноя ФОРМА пОВеРхнОсти азт Угол между кривыми на поверхности. Пусть С, н С. — две кривые на поверхности Ф, заданные своими внутренними уравнениями и = ф, (г), и = ч а (!): и = Ф (Г), и = Фо (г). Если С, н С, проходят через одну и ту же точку Р =г(иа, и,) на поверхности, то при помощи коэффиниентов Е, Р, 6 первой квадратичной формы можно найти угол 0 между этими кривыми в точке Р (он равен углу между касательными прямыми этих кривых). Если ио = гр1(га)= Чч(та) Во= 5ра(»о)= ага(то), то сов О= созΠ—,(, ) ~„т,( где, как и раньше, ча'=~„.
~р', + ~„' 'ра и ар'=1„5р~ + + ),»р,' — касательные векторы к кривым С, и С,. Положим для краткости гР Ч' (~о)' гР1 т~(~а)' Фз 'Ра('о)' 5Р =5Р ( а) 5Р = ф ( о) 5Р ='т' ( а) Г» = 1~ (ио Во) 1» = 1~ (иа Во)' Е = Е(ио, ио), Р= Р(ио, ио), 6 = 6(ио, оо) Тогда скалярное произведение в числителе рассматриваемой дроби можно найти по формуле Ч'. Ч' = (т~1»+ ЧА) - ( КГ» + Ю.) = =Е ар',ф', + Р(ча',Э', + Ч,'Ч',)+ 6Ч,'Ф,'.
Длины векторов ~р' и ф' находятся по формулам !»'~-АГ»»~ -»»»»~»~-» а»! ='„~ц»,, »~, ! Ч ~ = а/ЕЧ, + 2Рай,ф, + 6Ф; = 'д (5РР айа). Выясним тсперь геометрический смысл коэффиниентов первой квадратичной формы. Е и 6 прелставляют собой квадраты масштабов координатных линий — длины малых дуг координатных и- и и-линий примерно в агЕ н ~6 раз больше соответствующих дуг в области Г.
Геометрический смысл 4за ЧАСТЬ С ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ коэффициента Е сложнее: г =7, 7, =17„1 17,1- созв, где в — угол между координатными линиями. Отсюда у сов в = =. ~/ЕС В частности, чтобы координатные линии в каждой точке были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы Е О. Выясним геометрический смысл выражения ч(Е6 — гх, которое понадобится нам в дальнейшем: Е6 — Ех = Я' — ~ ~' соз' в = Я' з 1п'в = (~ )( ~„)'. Таким образом, число ~7Е6 — Ех равняется площади параллелограмма, натянутого на векторы част- ных производных 1„и 7, б (рис.
О7). Внутренняя геометрия ее.>-г поверхности. Подведем итоги. Как мы видели,для У,, определения длины кривой на поверхности совершенно не нужно знать, Рис 57 что нз себя представляет поверхность. Достаточно знать ее первую квадратичную форму. Это же относится и к углу между кривыми. Как мы увидим в й 1О, площади фигур на поверхности тоже могут быть найдены только по коэффициентам Е, Е и 6. Говорят, что первая квадратичная форма отвечает за внутреннюю геометрию поверхности. (Подробнее см. в 12.) На поверхности внутренние координаты можно выбирать многими способами С точки зрения вычислений было бы разумно выбрать их так, чтобы упростить коэффициенты первой квадратичной формы.
Оказывается, что на всякой поверхности координаты можно ввести так, чтобы Е(и, и) 1, Е(и, п) = О. При этом функция 6(и, о), в принципе, может быть любой положительной. Такая система называется нолугеодезической (см. $15). 11.6 КРИВИЗНА НА ПОВЕРХНОСТИ .другой удобный вид координат в изотермические Р за конфорх1ныв координаты. В этой системе Р(и, в) —= О, Е(и, в) — 0(и, о). Эти координаты замечательны тем. что лежащие в области У прообразы «маленьких (знгур> на поверхности Ф почти подобны им, а углы ме кду кривыми сохраняются.
Наконец, упомянем чебы1иевские координаты: в них Е(и, о) — 6(и, о) = 1. Здесь длины координатьых линий вообще не меняются, а Р(и,в) равняется косинусу угла между координатными линиями: Р= = соз ы. Эти координаты применяются в задачах, связанных с раскроем (ткани, металла и т. п.). 5 6. Кривизна кривой на поверхности. Вторая квадратичная форма Пусть 6) — гладкая поверхность, параметризованная вектор-функцией г(и,п), а С вЂ” гладкая кривая на этой поверхности, заданная своими внутренними уравнениями и = 1р,(!), о = 1р2(1), которым соответствует ее параметризация а1(1)= ~(1р,, 1р2). Пусть Р = 1р(12)— точка на кривой С Най- Ф дем формулу для кри- в визны кривой С в точке Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
