1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 69
Текст из файла (страница 69)
37). Полученные нами ранее вы- Ь ражеиия для производных по ес- т тествснному параметру вектор- функций т и Ь представляют со- и бой две из трех формул Френе (называемых также формулами Г3 Френе — Сер ре) . Эти формулы дают разложение по базису Френе (т,л, Ь) производных от вхо- ь а дящих в него векторов: (з) = й (з) л (з), и' (з) = — й (з) х (з) + х (з) Ь (з), Рис. 31 Ь ($) = — х (8) л(5).
Первая и третья формулы нам уже известны. Вторая формула из них следует: л' = (Ь Х 1) = Ь )( т + Ь Х У' = = — х (л к, г) + Ь (Ь Х л) = Ь вЂ” Ьт. Иногда, имея в виду уравнение кривой т = л(з), к числу формул Френе относят н формулу х = г'. $ 7. Вычисление кручения Пусть по-прежнсму й(з) — естественная параметризация гладкой кривой С, имеющей в каждой точке ненулевую кривизну. Для вычисления кручения кривой С воспользуемся формулами Френе: й' (з) = т, й" (з) = Йл, у'" (з) = (Ьл)' = й'л + йл' = = Ь'л+ Ь( — йг+ хЬ) = — йзг+ Ь'л+ Ьхй.
Рассмотрим теперь смешанное произведение (и'. П", й""). Так как смешанное произведение не изменится, если прибавить к одному сомножителю или вычесть 420 ЧАСТЬ 4. Д!ГФФЕРЬНЦИАЛЬГГАЯ ГСОМЕ ГРИЯ нз него линейную комбинацию двух других, то (а'(а), а" (), а'"(а)) =И, йп, — й'~+ й'и+ йхЬ) = = — (~, йа, йх(Г) =йа(з) х(з). Окончательно получаем х= В этой формуле й и х являются функциями пара- метра з.
Мы нашли короткую формулу для вычисления кручения кривой, но ею можно пользоваться, только если кривая снабжена естественной параметризацисй, а это бывает на практике крайне редко. Выведем формулу для кручения при произвольной параметри- зации. Пусть Г (~) — произвольная, а я(з) — естественная параметризации кривой С, связанныс заменой пара- метра з=ф(Г) = ~ (~'(т) )ГГТ. Тогда непосредственным О вычислением убеждаемся в том, что Г(0=а'(з). ф'(Г), Г(1) =а" (з). (ф'й)7+В'(з) ф" (~), Г" (Г) = а"'(з).
(ф'(Г)1'+ба" (з) ф'(Г) ф" (Г)+ а'(з) ф"'(1). Отсюда слсдует, что (Г Г", Г') =(й' й"" й" ) ф при этом 1р'=((''(. Пользуясь этим и тем, что й = .. . из формулы для кручения в естествен- ! /' Х Г' ( )Г(' ной параметризации получаем окончательно (Г. Г, Г'") 1/'ХГР ' Это формула для вычисления кручения в произволь- ной парамстризации.
$8. Натуральные уравнения кривой С каждой гладкой кривой, кривизна которой во всех точках отлична от нуля, мы связали три функции; а(Г), Й(1), ИЩ, которые могут быть найдены по | 8 1|ьтугхлы|ые уьлв!|ения кг||воп 421 прокзвольной парамстризации ((г) этой кривой, Спрашивается; определяют ли эти функции полностью кривую и нет ли между ними каких-либо соотношений? Мы можем наложить на них только тривиальные ограничения. Функции эти непрерывны, кроме того, А(~) ) О, з'(1) ) 0 при любом Е Легко видеть, что от трех функций можно перейти к двум, взяв за параметр длину дуги з. Тогда Ь(в) н и(з) будут функциями, связанными непосредственно с кривой (и направлением иа ней).
Нам остается узнать, определяют ли они кривую однозначно и нет ли между ними каких-либо соотношений (таких, ьак з|п'= соз и з|п'+ + соэт = 1) Теорема. Пусть С, и Сх — две гладкие кривыс, имеющие одинаковую длину, и в1(з), йэ(з) — их естественньш параметриза|4ии, Если в соответствующих точках эти кривь|е имеют одинаковые кривизну и кручение: Ь! (з) =— — Ьэ (з), я, (з) = — х, (з), то существует наложение, переводящее кривую С| в кривую Сь Другими словами, кривизна и кручение определяют кривую с точностью до положения в пространстве. с, Д о к а з а т е л ь с т в о.
Совместим наложением реперы френа обеих кривых в начальных точках, соответствующих значе- ь нию параметра з = 0: т пусть у!(0) = й|х(0), Ю~(0) = (э(0), п|(0) Ряс 38 = пэ(0), Ь|(0) = Ьз(0). В этих условиях требуется доказать, что кривые совпадают: у!(з) вх(з). Мы будем рассматривать ~1, 1х, п|,пь Ь|, Ьь Ьь Ьм кь хт как функции параметра з, но для краткости всюду опустим аргумент (рис. 38). рассмотрим фхнкцию $(з), определенную по формуле 8(з)=С!.~ +п,.п.+Ь, Ь.
Докажем, что эта функция — постоянная. Для этого продифферснцирусм ~(з), пользуясь формулами Я 22 часть а днеьаьянциьльнья гаомвтяия Френе, и приведем подобные: в'(з)=1', С +1, У;+л', ла+л, л,,'+Ь', Ь,+Ь,.Ь;= = Ь,НА + Ь,Ал, — (ЬА — н,Ь,) лт — (Ьтса — найт) л,— — к~и~ба — наЬ,л. = О. Следовательно, с(з) =— в(0) = 3. Это означает, что $,(з)= (а(з), т. е. я',(з)ив л й,'(з). Поскольку у вектор- функций й~(з) и й,(з) в каждой точке равны производные и совпадают их начальныс значения (д,(0)= = йа(0)), то эти функции равны; й,(з) = — Рт(з). Теорема доказана.
П Можно показать, что между кривизной и кручением нет нетривиальных соотношений. Более точно, для любых непрерывных сйункций А(з) и а)(з), определенных на отрезке (О, 5), первая из которых положительна, существует гладкая кривая С, кривизна и кручение которой определяются этими функиияльи: Ь = Ь (з), н = т1(з), Доказательство этого факта мы не приводим. Оно использует теорему существования решения у системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Соотношения Ь = й(з), н = п(з) называются натуральными уравнениями кривой С.
Их достоинство заключается в том, что онп никак нс зависят от выбора координат. Как мы уже знаем, кривая С ими определена однозначно с точностью до положения в пространстве. Глава 11 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ $1. Элементарные поверхности в евклидовом пространстве. Способы их задания Пусть Ф вЂ” множество в евклпдовом пространстве На. Множество Ф называется элементарной поверхностью, если при проекции на некоторую плоскость оно взаимно однозначно и взаимно непрерывно отображается на открытую область в этой плоскости (рис. 39).
Примеры. 1. Любая плоская область является элементарной поверхностью. Н !. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 423 2 Сфера не является элементарной поверхностью, хотя таковой Г>удет всякая достаточно малая сферическая область. Если мы фиксируем плоскость, фигурирующую в опрсделении элементарной поверхности, то получим возможность явно водить элементарную поверхность !Р. Пусть П вЂ” рассматриваемая плоскость. Введем в пространстве декартову систему координат хуг так, чтобы плоскость П совпадала с координатной плоскостью ху. Тогда проекция на плоскость П точки с координатами х, у, 7 будет иметь координаты х, у,0. Рнс. 39 Рнс. 40 Если область (! ~ П вЂ” образ элементарной поверхности Ф при проекции на П, то множество Ф будет графиком некоторой непрерывной функции ((х,у), определенной в области О.
Поэтому множество Ф можно задать уравнением 7=!(х, у). Такое задание называется явным, а само уравнение называется уравнением элементарной поверхности Ф в явном виде (рис. 40). Для многих целей элементарную поверхность Ф удобно рассматривать как образ области (т' при ее отображении в пространство мв, которое точке с координатами х, у ставит в соответствие точку с координатами х, у, ((х, у).
Это пример параметрического задания элементарной поверхности Ф. Вообще, если элементарная поверхность Ф является Образом плоской области )/ при непрерывном взаимно однозначном отображении Р: )т-+. Йз, то это отображение Р называется нараметризакией элемен.
тарной поверхности Ф. Элементарная поверхность, 424 ЧАСТ! З ЛПЗФФЕРЕИЦИАЛЫЗАЯ ГЕОМС ГРИЯ снабженная параметрнзапией, называется параметризованной элелзентарнои поверхностью Координаты в плоскости й', в которой лежит область )л, будем для определенности обозначать буквами и и и, Значениями двух параметров и и и полностью определяется положение любой точки Р на поверхности: Р = = Р(и,и). Числа и и и будем также называть внутренними координатами точки Р. Если точка Р имеет координаты х, у, г„то при изменении параметров и и о координаты х, у, г тоже будут меняться — каждая из них является некоторой функцией от и и ьк х=),(и, о), у=)и(п, и), г=)з(сс, в), (() где )ь ),, )з — непрерывные числовые функции, заданные в области 1/.
Функции )ь )з, 5 полностью описывают параметризацию Р и называются ее координатнзями функциями. Соотношения х = )зь у = )з, г = )з называются уравнениями параметризованной элементарной поверхности Ф (рис. 41). Ряс 4! Для нас основной интерес будут представлять элементарные поверхности, обладающие параметризацией с некоторыми дополнительными свойствами. Пусть Р: У-з- )сз — параметризация элементарной повеРхности Ф, а 4з, )з, 4з — ее кооРдинатные фУнкции. Если, во-первых, функции )з, Ь, 1з непрерывно дифференцируемы и, во-вторых, при каждом значении параметров и и и в точке (и,;) не обращается в нуль по крайней мере один из трех определителей дГ| д)з ди ди дз'з ддз'з ди ди д)з д)з ди ди д)1 зТГ'з ди ди д) ~ дГе ди ди д), д(з ди ди то параметризация Р называется регулярной.
и ! зльменткнные повеехности 425 Элементарная поверхность, обладающая регулярньй парамстрнзацией, называется гладкой. При необходимости мы будем требовать от поверхности без дополнительных оговорок повьниенной гладкости, т. е. с) шествования у функций )ь (м ), непрерывных частных производных всех порядков до п включительно, прп некотором и ) 2.
В случае явно заданной элементарной поверхности имеется простой достаточный критерий гладкости. Ряс. 42 Если г = )(х, д) — явное уравнение элементарной поверхности Ф, то для того, чтобы Ф была гладкой, достаточно, чтобы функция ~ была непрерывно диффе.
ренцируемой, (Обратное, вообще говоря, неверно.) Рассмотрим произвольное взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение ~р некоторой плоской области В' на область У (рис. 42): ф: В' - У, К, и) (и, е), где и =~у~(с, П), и=~уз(~,4~). Если Р; У-+-)(' — параметризация элементарной поверхности Ф, то сквозное отображение 6: ((т- Кз, определенное по формуле б(ь,Ч) = Е(В($, П), гре(в,з))), также будет параметри.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
