1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Следовательно, точки О, О„О, лежат на одной прямой. Но О, О, лежат на прямой ЛА', а потому От тоже лежит на прямой АА'. А так как в О~ пересекаются прямые ВВ', СС', то выходит, что все три прямые ЛЛ', ВВ', СС' пересекаются в одной точке, что н требовалось доказать. Случай, когда точки Л, В, С, А', В', С' лежат в одной плоскости, был рассмотрен раньше путем сведения к элементарной геометрии посредством введения бесконечно удаленной прямой. Но можно обойтись без этого с помощью вспомогательного построения, Докажем таким приемом первую часть теоремы Дезарга в случае, когда точки А, В, С, А', В', С' лежат в одной плоскости.
Ига.. пусть эти точки лежат в плоскости а, и п)сть прямые ЛЛ', ВВ', СС' пересекаются в точке О ()энс Ь2). Проведем через нее прямую 1, пересекающую плоскость а, н возьмем на ней две точки Оь О,. Прямые О,А, О,А' лежат в плоскости, проходящей через прямые 1 и АА'. Поэтому они пересекаются в некоторой точке А". Совершенно так же убедимся, что прямые О,В, О,В' и О,С, О,С' пересекаются в некоторых точках В", С".
Так мы получаем две тройки точек А, В, С и А", В", С", а также А', В', С' и А", В", С", лежащие в разных плоскостях, для которых выполнено условие теоремы (прямые АЛ", ВВ" и А'А", В'В" пересекаются в точках О~ н Оэ). 384 часть к |~ееовгхзовхпия.
дгхгиа геометгии Плоскость а пересекается с плоскостью точек А", В", С" по некоторой прямой а. Эту прямую прямая А"В" пересекает в некоторой точке Сь Но по доказанному прямые АВ, А'В' пересекаются с А"В" на Рис. 82 прямой а. Тем самым они пересекаются друг с другом в той же точке Сь Аналогично, на прямой а лежат точка Ао пересечения прямых ВС и В'С' и точка Ва пересечения прямых АС и А'С', Таким образом, все три пары прямых АВ, А'В' и т. д. пересекаются в точках, лежащих на одной прямой, что и требовалось доказать. Доказательство второй части теоремы Дезарга для того же случая мы оставим читателю. П У.
Ь АКСИОМЫ д МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА за5 Гдддд Ч МНОГОМЕРНАЯ ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ $ 1. Аксиомы и-мерного пространства. Векторы и координаты Идея многомерного евклидова пространства очень проста. Иа прямой точка задается одной координатой; на плоскости — двумя координатами, в обычном .(трехмерном) пространстве — тремя координатами. Дальше можно мыслить четырехмерное пространство, где точка задается четырьмя координатами, и вообще и-мерное пространство, где точка задается и координатами, а натуральное число п может быть любым данным. Координаты можно представить себе кдк прямоугольные, так что и координатам соответствует и взаимно перпендикулярных прямых — осей координат.
В четырехмерном пространстве их четыре — к осям х, у, х добавляется ось г; оси пересекаются в начале координат О. Через каждые две оси проходит плоскость, так что есть, в частности, две плоскости ху и гг У них только одна общая точка — начало координат. Таким образом, та аксиома, что две плоскости с общей точкой пересекаются по прямой, отпадает.
Ее нужно заменить другой. А в остальном, можно сказать, аксиомы и-мерной геометрии совершенно сходны с аксиомами стсреометрии. Сформулируем их. Аксиоматнка и-мерной евклидовой геометрии. Основные объекты: 1) точки, 2) отрезки, 3) плоскости. О с н о в н ы с о т н о ш е н и я: 1) точка служит концом отрезка, 2) точка лежит на отрезке, 3) точка принадлежит плоскости, 4) отрезки равнвг. Аксиомы делятся на.
1) линейные, 2) плоскостные, 3) пространственные Линейные аксиомы те же, что в планиметрии; плоскостные аксиомы те же, но, как и в стереометрии, их нужно относить к каждой плоскости. Пространственных аксиом три: Пр. 1 (аксиома плоскости). Каждые три точки принадлежат плоскости. Пр. 2 (аксиома обшей прямой).
Если у двух плоскостей есть две общие точки, то они пересекаются по прямой. 13 А. д. Алекддддров, Н. Ю ГГецвегддв зва чАсть 3. ПРеовРАЗОВАния. ДРЕГие ГеОметрии Пр. 3 (аксиома числа измерений). Существует и и не более взаимно перпендикулярных прямых, т. е, пересекающихся в обгцей точке и обраэуюи)их попарно прямые углы (определение прямого угла то же, что в планиметрии). Можно дать определение: и-мерная евклидова геометрии — это теория, которая строится на указанной аксиоматике; и-мерное свклидово пространство — это множесгво некоторых элементов — «точск», а котором выполнены указанные аксиомы, так что в нем определены отрезки и отношение их к точкам н друг к другу ').
Если и = 2, то пространство — это плоскость и теория — это плагзпметрия; аксиомы Пр. 1, 2 формально выполнены, но оказываются бессодержательными. При и ) 2 существуют точки, не лежащие в одной плоскости (как высказывалось в аксиоме стереометрии), потому что на плоскости нет трех взаимно перпендикулярных прямых. Совершенно так же, как в стереомстрии, в общем случае п ) 3 доказываются теоремы. 1, Через каждые две точки проходит прямая, и притом только одна (впрочем, это следует из одних линейных аксиом).
2 Если прямая илюет с плоскостью две общие точки, то она вся содержится в этой плоскости, Точно так же отрезок, соединяющгзй дее точки плоскости, содержится в ней. Отсюда н из плоскостных аксиом, так же как в $ 6 гл. 1 ч. 2, вытекает важное заключение. Оа всякой плоскости выполняется планиметрия. Далее, так же как в $6 гл. 1 ч.,2, доказывается: через три точки, не лежащие на одной прямой, так же как и чераз две пересекающиеся прямые, как и через прямую и не лежащую иа ней точку, проходит плоскость, и притом только одна. ') Можно снззнть в этом мпожсстне — в прострзиствс— выделены (определены) подмножеств», нззып»емые «отрезками», причем у каждого отрезка из принвдлсжзших сму точек отмечены две — «ионцы», и между отрезками установлено отношение «рвнеиствв», все это подчиииетсн сформулироввнным зисиоизм.
Ч. !. АКСИОМЫ л.МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА 387 (Заметим, что при а = 3 из высказанных аксиом следует, что две плоскости, имеющие хотя бы одну общую точку, пересекаются по прямой, как это сказано в аксиомах стереометрни.) Векторы и координаты. Опираясь на сформулированные начальные выводы, можно определить векторы и операции с ними буквально так же, как это сделано в трехмерном пространстве. Прослеживая определения и выводы главы о векторах (часть 1, гл. П!), можно убедиться, что в них число измерений пространства не играет роли нигде, кроме как в разложении векторов на составляющие.
(Читателю полезно пройти по главе о векторах и убедиться в сказанном.) Таким образом, мы можем в я-мерном пространстве применить без всяких изменений понятие вектора, сложение векторов, умножение на число н скалярное произведение. Пользуясь этим, введем в и-мерном пространстве прямоугольные координаты. По аксиоме числа измерений в пространстве есть п и ве более взаимно перпендикулярных прямых е!, еь . е,. На них зададим единичные векторы е!, е...
ел Онн Взаимно оРтогональны, поэтомУ их сл-с-: ные произведения равны нулю, и мы имеем равенство ~ 1, если !'=Г, е!е! —— ( О, если ! чь!'. где коэффициенты (ае!) — координаты вектора а относительно векторов е!, ..., ел — представляют собой скалярные произведения а на векторы е!. Для доказательства возьмем какой угодно вектор а и рассмотрим вектор с=а — ~ е!(ае!). Г-! (3) Найдем его скалярное произведение на камой-либо из Покажем, что всякий вектор а представляется через эти векторы: л а= ~ е,(ае!), (2) часть з. песовехзовхния.
деггив гвомвтеии векторов ех: се„= ае„— ~~' (е„е,) (ае~). ! (4) Но ввиду равенств (1) все произведения ехе; равны нулю, кроме ехех = 1. Поэтому в правой части равенства (4) остается только член (ехе,) (аех)= аем и мы получаем се, =ае, — аех =О. х,=ге;=-ОМ е; (1=1, 2, ..., и), (5) Это — координаты относительно основного и-вскторника Ое~ ех .. е.; осями координат служат взаимно перпендикулярные прямые, существующнс согласно аксиоме Пр. 3.
Так в и-мерном пространстве оказываются введенными прямоугольныс координаты. Каждой точке М однозначно соответствует набор ее координат (хь хь ..., х„), н разным точкам — разные наборы, так что точки однозначно задаютси своими координатами. Действительно, допустим, точки М, М имеют одни и те же координаты хь хм ..., х,, Это значит, согласно определению координат формулой (5), что Таким образом, выходит, что либо вектор с равен нулю, либо он ортогоналсн всем е,.
Но последнее исключено. Действительно, по аксиоме Пр. 3 есть не более и взаимно перпендикулярных прямых еь ..., е„пересекающихся в общей точке О. Если бы вектор с был отличен от нуля, то отложив его от точки О и проведя вдоль него прямую, мы получили бы еще (и+ 1)-ю прямую, перпендикулярную всем прямым е„ем ..., е.. Это противоречит аксиоме. Следовательно, с = О, и тем самым выполняется равенство (2): всякий вектор а представйм в таком виде через векторы е, ег,, е„. П Пусть теперь М вЂ” произвольная точка и ОМ=г— сс радиус-вектор.
Мы определяем се координаты х; как г калярныс произведения Ч. С АКСИОМЫ л.МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА ОМ е;=ОУ е, ((=1,2, ..., и), т. е, (ОМ вЂ” О йг) е; = О. Так что либо вектор ОМ вЂ” ОМ нулевой, либо он перпендикулярен всем еь Последнее, однако, противоречило бы аксиоме числа измерений. Следовательно, ОМ вЂ” ОйГ=О, т. е. точки М и йг совпадают — это одна точка, что и требовалось доказать, Убедимся егце, что каждому набору чисел хьхм ... ..., х„соответствует точка с такими координатами. Она определяется как конец радиус-вектора ОМ= Х е;х;.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
