1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 62

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 62)

Всякому верному утверждению о точках и прямых проективной плоскости, касаюи(емуся их инциденции, соответствует также верное утверждение, в котором точки и прямые меняются местами с сохранением инцидснции. Короче: каждой теореме отвечает двойственная ей по полярности теорема.

Доказав одну, мы «даром» получаем вместе с нею и другую — ей двойственную. Пример тому дает теорема Дезарга. Сформулируем ее — первую из двух доказанных выше, см, теорему 1, $1. Пусть даны две тройки точек А, В, С и А', В', С', не лежащих каждая на одной прямой — не инцидентных каждая с одной прямой,— причем точки троек поставлены в соответствие: Л с Л' и т.

д. Пусть прямые ЛЛ', ВВ', СС' пересекаются в одной точке, иначе говоря, прямые, инцидентныс с точками Я и Л', В и В'. С и С'. инцидентны с одной точкой Р. Тогда, утверждает теорема. точки пересечения трех прямых: АВ с А'В'. ВС с В'С', СА с С'А' лежат на одной пря. мс'. 1!паче говоря, трн точки, инцидентные с прямычи АВ, А'В' и т, д., инцидентиы с одной прямой, Сформулируем двойственное утверждение. Пусть даны две тройки прямых а, Ь, с и а', Ь', с', ие инцидентные каждая с одной точкой (т. е. не проходящие каждая, через одну точку), причем прямые троек поставлены, в соответствие: а с а' и т. д. Пусть точки пересечения прямых а с а', Ь с Ь', с с с' лежат на одной прямой (инцидентны с одной прямой р), Тогда три прямые, проходящие через точки пересечения прямых а с Ь и а' с Ь' и т, д,, проходят через одну точку — иначе говоря, эти три прямые инцидентны с одной точкой, Читатель узнает в атой формулировке теорему, обратную предыдущей, — вторую часть теоремы Дсзарга.

По принципу двойственности она уже доказана, когда доказана предыдущая теорема. Доказывая ее, мы «зря старались», не зная еще принципа двойственности. Общее полярное соответствие. Мы определили полярность, отправляясь от соответствия прямых и плоскостей связки по взаимной перпендикулярности. 374 чАсть 3. пРеОБРА308Ания, дРггие геометгии Но это можно обобщить, прнменяя к данной полярноста любое проектнвяос преобразованне.

Действительно, проектнвное преобразование сохраняет ннцндентность, переводя точки в точки н прямые в прямые. Если его добавнть к полярному преобразованню, то получится преобразование, опять сохраняющее ипцндентность н сопоставляющее точкам прямые, а прямым — точкн, т. е. Получается полярность. В связке это соответствует тому, что к сопоставлению прямых и плоскостей по взаимной перпендикулярности применяется аффннное преобразование.

Дополменне к прннцнпу двойственности. Соответствие между прямыми и плоскостями связки по нх взаимной перпенднкулярностн очевидно взанмно непрерывно. (Просто угол между плоскостями равен углу между перпендикулярными нм прямыми, так что когда один нз них стремится к нулю, то и другой стремится к нулю.) Когда прямая связки опнсывает плоский угол между двумя прямыин а, Ь, то перпендикулярная ей плоскость зачерчнвает двуграияый угол между оютветствутащнмн плоскостями и, й (а вернее, два взаимно вертикальных двугранных угла).

На проектнвной плоскости плоскому углу отвечает отрезок с конками в точках А, В, соответствующих прямым а, Ь. Двугранному углу отвечает угол между пряными — часть плоскости, зачерчиваемая прямой, поворачивающейся вокруг данкой точкн от одного положения к другому. Двойственность гладкнх кривых. Гладкая кривая имеет в каждой точке касательную прямую н является огнбающей семейства своих касательных. Ее можно рассматрнвать двояко: как определяемую своими точкамн нля как определяемую прямыми.

Касательная — это прямая, «проходящая через две бесконечно близкие точки кривойэ, а точка огибающей семейства прямых — это точка «пересечения двух бесконечно близкнх прямых семейства» Ьолее точно, касательная к кривой в точке А — это прямая, служащая пределом прямых, проходящих через точку А и другую точку кривой — М, когда М «стремнтсяэ к А. Точка огнбающей кривон на прямой а семейства — это точка, служащая пределом точек, лежащих иа прямой и и другой прямой т семейства, наз пгннцип даоиственностн зтз когда пг стремится к а.

В зтнх определениях ясно видна их двойственность, так что по принципу двой. сгвенностн можно переходить от одного взгляда на кривые к другому — двойственному. Это вовсе не значит, что любая гладкая кривая сама себе двойственна в том смысле, что полярное преобразование переводит ее точки а касательные и обратно.

Но это значит, что полярность сопоставляет выпуклой кривой выпуклую кривую, меняя ролями точки и касательные. (!ростейший пример двойственности для кривых представляют виисанные и описанные многоугольники. Впнсанныв многоугольник задается вершинами — точками, лежащими на кривой; описанный многоугольник задается сторонами — прямыми, касвюнзнмися двойственной кривой. По двойственности сторонам и диагоналям вписанного многоугольника соответствуют точки пересечения сторон описанного многоугольника, и обратно. Рассмотрим для примера теорему Паскаля.

У шестиугольника, вписанного в коническое сечение, точки аересечения прямыл, проходящих вдоль противоположных сторон, лежат на одной прямой. двойственной ей будет такая теорема. У шестиугольника, описанного вокруг кривой„двойственной коническому сечению, диагонали, соединяющие протввояам~аые аершинее. пересекаются в одной точке. (Читатель вровервт двойственность этого утвержде. инт теореме Паскаля )У. !.3.) Оказывается, как мы сейчас докажем, что кривая, двойственная коническому сечению, сама является коннческнч сечением.

Теорема, двойственная теореме Паскаля, называется теоремой Ьрианшона (по имени доказавшего ее математика). Ее достаточно формулировать для окружности (поскольку все конические сечения в окружность проективно преобразуются): У шестиугольника, описанного около окружности, диагонали, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке. Автополяриость конических сечений. Конические сечения не только двойственны друг другу, но более того: Теорема !. Каждое коническое сечение полярно самому себе, короче, автополярно, т, е. существует полярное преобразование, которое сопоставляет 37б чАсть 3. пРеОБРАЗОВАния. лРкгие ГеолтетРии каждой точке конического сечения его касательную в этой точке, и обратно, Доказательство.

Рассмотрим в связке пря- мых круговой конус гхо, у которого прямой угол рас- твора — угол между противоположными образую- щими, т. е. лежащими в одной плоскости с осью конуса. Плоскость, проходящая через вершину перпен- дикуяярно образующей, касается конуса по противо- положной образующей. Стало быть, соответствие пря- мых и плоскостей по взаимной перпендикулярности сопоставляет образующим конуса его касательные плоскости, и как очевидно и обратное: касательным плоскостям — образующие. Тут образующей сопоставляется плоскость, касаю- щаяся конуса вдоль другой образующей — противопо- ложной. Но если заменим в связке все прямые на симметричные им относительно осн конуса, то обра- зующие конуса заменятся на противоположные.

В ре- зультате получим соответствие прямых и плоскостей, при котором каждой образующей конуса соответ- ствует плоскость, касательная к конусу вдоль той же образующей. Далее можно аффннным преобразованием всей связки превратить конус Ко в любой данный конус второго порядка К '), В результате получим полярное соответстиие, при котором каждой образующей ко- нуса К соответствует его касательная плоскость, ка- сающаяся вдоль этой образующей. Рассматривая связку как проектнвную плоскость, мы получаем на ней полярное соответствие точек и прямых, при котором конус К представляет кониче- ское сечение, у которого полученная полярность сопо- ставляет каждой точке касательную прямую в этой же точке.

Так как конус К вЂ” любой конус второго порядка, то он представляет любое коническое сечение ') Конус Ке, у которого угол раствора прямой, заластся в подходяшнк координатах уравнением «'+ уе. а' = О. уравне. «2 ре а нне — + — — — = 0 задает конус второго порядка об. о' Ь' с' «ч к снего вида.

Преобразованном «' = —, р' = — ', а' = — он о' Ь' с и реводатся в Кк 1т 3 пРинцип даонствен!юстп 377 Таким образом автополярность любого конического сечения доказана. Е) Полярность, связанная с коническим сечением. Выясним, как при данном коническом сечении К установить на всей плоскости то полярное соответствие, при котором точкам данного конического сечения К соответствуют касательные в них же. Пусть К вЂ” данное коническое сечение. Его касательные в точках А, В пересекаются в некоторой точке Р. Так как точки А, В соответствуют прямым а, Ь, то точка Р, где пересекаются эти прямые, соответствует прямой Р, проходящей через А и В.

Точка Р— это полюс прямой 'р, а прямая р — поляра точки Р (рис. 78). Для наглядности можно представлять себе, Рис. 79 Рис 78 что коническое сечение К вЂ” окружность, Так как через каждую точку Р вне конического сечения — вне его внутренней области (кан вне круга) — проходит лье касательные к нему, то данное построение сопоставляет каждой внешней точке Р прямую р, пересекающую коническое сечение. Если Р,, Р,— две точки вне конического сечения и с( — проходящая через них прямая, то ей соответствует точка 9, где пересекаются поляры рь р, точек Рь Рь Эта точка лежит внутри конического сечения. Прямая с( будет ее полярой.

Характеристики

Список файлов книги