1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 65
Текст из файла (страница 65)
(6) Умножая скалярно на любой вектор е,, получаем ввиду формул (!) ОМВА= ~' (еье;) х~ =хх, т. е. х, и есть координата точки Л(. Подвезем итог, формулируя его как доказанную т тему. Теорема 1 ~о координатах). В и-мерном пространстве .чозсно Рзегти координаты, в которых осями слуасат те и взаимно перпендикулярных прямых, существованиг которгях утверждает аксиома числа измерений. Если еь, е„— единичные векторы вдоль этих прямых и Π— точка их пересечения, то координаты гочки М определяются из скалярного произведения: х; =е;ОМ Этим между точками и наборами чисел хь ..., х„устанавливается взаимно однозначное соответствие.
П Эти же координаты получаются, как и в трехмерном пространствс, если проектировать точку М на оси. Именно, проводим через данную точку М и й-ю ось — прямую е„ вЂ” плоскость и в этой плоскости спроектируем точку М на эту прямую Координата проекции и будет равна х,. Теперь обратимся к длине. Длина (а( вектора а связана с его скалярным пронзведенисм самого на себя: ~ а!а =а'.
399 ЧАСТЬ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. ДРУГИЕ ГЕОМЕТРИИ Вместе с тем по формуле (2) а= ~ е;а;, а, =(ае,). Поэтому, выполняя скалярное возведение в квадрат и пользуясь соотношениями (!), получим (все произведения е,еР 1Ф1, исчезают н остаются только квадраты е-',.
= 1) 1 а Р =- аз = ( ~, е, а,) = ~„а', (7) Отсюда выводится: Теорема 2 (о длине отрезка). Длина отрезка сконцами А(хн ..., х„), В(хп ..., х„'), или, что то же, расстояние 1АВ~ между зтими точками выражается формулой 1АВ1= ь7(х, — х',)'+ ... +(х„— х')л. (8) Доказательство. Если О, как и выше, начало координат, то по формуле (6) л л ОА = ~' е,х,, ОВ= ~ е,.х',. С-1 ! ! Поэтому АВ=О — ОА = 2, е;(х~ х~).
Откуда по формуле (7) почучаем л ) АВ(2= Е (х', — х )2, что и дает формулу (8). П Шар и сфера определяются в п-мерном пространстве буквально так же, каь в трехмерном. Повторите эти определения; напишите уравнение сферы и неравенство, задаюшее шар, в и-мерном пространстве. 2 2. Прямые и плоскости разного числа измерений Параллельные прямые определяются в многомерном пространстве так же, как в трехмерном, и так же доказываются теоремы: 1.
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, ей параллельная, и притом только одна. т ЛРямые и плоскости Разного числА измеРении 391 2. Дае прямые, параллельные одной и той асе прялкой, параллельны друг другу, Доказательство такое же, как в $3 гл. 11, часть 2. Доказательства других теорем из стереометрии, данные в том же параграфе, также переносятся на случай пространства любого числа измерений, поскольку они основаны на применении векторов. Убедитесь в этом, проследив эти доказательства. Однако есть разница в понятии параллельных плоскостей.
В трехмерном пространстве, в отличие от плоскости, прямые не считаются параллельными, если онн всего лишь не пересекаются: они могут скрещиваться. Так жс в многомерном пространстве параллельность плоскостей нли прямой и плоскости ие определяется тем, что они только не пересекаются. Для определения параллельности воспользуемся понятием о параллельном переносе. Он определяется буквально так же, как иа плоскости или в трехмерном пространстве. Это отображение, при котором точки Х переходят в такие точки у, что все векторы .П ванны.
Ниымп с.овачи, все точки переносимой фигуры гс-.сносятсп на один и тот же вектор. Все свойства переноса, установленные в 9 2 главы о наложениях, равно относится к многомерному пространству. Теперь даем определение. Прямые или плоскости параллельны, если одна переводится в другую переносом. Прямая параллельна плоскости, если она не лежит в этой плоскости, но ее можно отобразить в эту плоскость переносом. Легко убедиться, что эти определения в случае трехмерного пространства равносильны обычным. (Докажите это.) Но, скажем, в четырехмерном пространстве Е' прямая может «скрещиваться» с плоскостью — не пересекать ее и не быть ей параллельной.
Например, возьмем в Е" две плоскости Р, © имеющие только одну общую точку О'), и в одной из них — прямую а, не проходящую через О. Она не пересекает другую плоскость и не помещается в нее персносом (убедитесь в этом, рассмотрев проходящую через О прямую Ь!|а). ') Например, плоскость Р, проходящую через осп еь ех, а Я вЂ” через осп ез, еь зэз чАсть 3 пРГОБРАЗОВАиия дРуГие ГеометРии Точно так же две плоскости, имеющие общий перпендикуляр, могут ие быть параллельными, как в трехмерном пространстве две прямые с общим перпендикуляром не обязаны быть параллельными. Через данную точку плоскости в более чем трехмерном пространстве проходит не одна перпендикулярная ей прямая.
В четырехмерном пространстве перпснднкуляры к плоскости образуют плоскость. Так, перпендикуляры в точке 0 к плоскости, проходящей через оси координат еь е„заполняют плоскость, проходящую через ез, е,. (Убедитесь в этом.) Общее понятие плоскости. Если пространство более чем трехмерное (не выполняется аксиома пересечения плоскостей), то в нем наряду с обычными двумерными плоскостями есть другис фигуры, также называемые плоскостями, Определение. Плоскостью, вообще, называется такая фигура, которая содержит по крайней мере три точки, не лежащие на одной примой, и вместе с каждыми двумя своими точками содержит всю содержащую их прямую, но при этом не является всем пространством.
Обычная двумерная плоскость, очевидно, подпадает под это определение '). Теорема Е Всякая недвумерная плоскость представляет собою евклидова пространство, г. е. в ней выполняются аксиомы, Определяюи)гге евклидова пространство, с теми же двумерньгми плоскостями, какие имеются в Объемлющем просгранствез) Через всякие три точки любой данной плоскости проходит содержащаяся в ней двумерная плоскость.
Д о к а з а т е л ь с т п о. Пусть Р— данная плоскость в каком-либо евк.зиноном пространстве и А, В, С— какие-либо трн ес точки. По определению плоскости она содержит прямую АВ, но не сводится к ней. По- ') Обобнган, чол.но определить п.юскость общим условием, что она вместе с любымн двумя точьачя содержит и проходящую через них пряную Тогда «плоскостью» может быть 1) пу. етое множество, 2) одна точка, 3) прямая, 4) все пространство. Первые три возможности исключаются требованием, что п.щскость содержит по крайнсн мере зри точки не на прямой, четвертая — исключена последней огоноркой в определении ') Вообще, фигура может быть евклндовыч двумерным пространством и в этом смысле плоскостью. вовсе ие будучи плоскостью в объемлющем пространстве, как, например, параболи.
ческий цилиндр с точки зрения сто внутрснкей геометрии. пРямые н плОскОсти Рхзиото числх измеРении 393 этом) если точка С оказалась на этой прямой, то можно взять точку О, не лежащую на прямой АВ. Если С не лежит на АВ, то В и есть С. Плоскость Р, по се определению, содержит прячыс АВ и А0. Через этн прямые проходит двумерная плоскость Я, образованная пересекающими их прямыми. Все эти прямые будут содержаться в плоскости Р (в силу определения плоскости). Следовательно, в Р содержится двумерная плоскость Я, проходящая через данные точки А, В, С, что и требовалось доказать.
Итак, первая аксиома евклидова пространства выполнена. Вторая выполняется очевидно, поскольку Она выполняется в объемлющем пространстве для любых двух плоскостей с двумя общими точками. Е) Число измерений плоскости можно определить, как в пространстве, числом взаимно перпендикулярных прямых. Прямую можно считать одномерной плос костью. Плоскость Р можно назвать параллельной плоскости ().
если существует перенос, помещающнй се в Г.пхкость (), т е. такой перенос т, что (Рс: 9. Мы се 'еч Р(Я (но это значит, что ЯР, только если ГР = (,т, так что Я перемещается в Р обратным перенОсОч Г ') . В четырехмерном пространстве есть трехмерные плоскости: каждая из них — это трехмерное евкли-ово пространство. Если две такие плоскости имеют общую точку, то их пересечение представляет двумерную плоскость. (Рассмотрите на примере плоскостей, чнатянутых» на оси координат.) Часть 4 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ В четвертой части мы изучаем кривые и поверхности в трехмерном пространстве.
Основной инструмент для исследования кривых — это естественная параметризация. С се помощью мы даем первоначальные определения большинства вводимых дифференциально-геометрических понятий, а затем уже приводим чисто геометрические определения. Глава о кривых заканчивается «нат>ральными уравнениями», описывающими вид кривой вне зависимости от ее расположения в пространстве. Для исследования поверхностей мы рассматриваем лежащие на них кривые: с их длиной и кривизной естественно связываются первая и вторая основные формы поверхности.
В конце второй главы рассматриваются локально кратчайшие кривые — геодезические. Это аналоги прямых на плоскости, — они играют важную роль при изучении внутренней геометрии на искривленной поверхности. Глава 1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ $1. Элементарные кривые на плоскости и в пространстве. Способы их задания Для изучения кривых необходимо иметь их точное определение. Мы ограничимся здесь тем, что дадим определение элементарной кривой. Множество С (на плоскости или в пространстве) называется элементарной кривой, если оно является образом отрезка при некотором непрерывном взаимно однозначном отображении этого отрезка в плоскость или в пространство. Примеры.
Простейшие элементарные кривые — это отрезки прямых, дуги окружностей, эллипсов, гра- 1. 1. ЭлементлРные кРиВые 395 фнкн непрерывных функций, заданных на отрезке, н т. и. Простые конечнозвенные ломаные тоже будут элементарными кривыми в нашем определении !рис. !). Ооразы концов отрезка называются концами элементарной кривой, а образ любого отрезка, содержашегося в исходном отрезке, называется дугой. Очевидно. что всякая дуга элементарной кривой сама является элементарной кривой.
г~-, и Рис. ! Если элементарная кривая С есть образ отрезка [и, Ь] прн Взаимно однозначном н непрерывном отображении Р: [а, Ь]- )т', то положение любой точки Р на кривой С определяется одним-единственным числом (и— = [а, Ь], образом которо~о эта точка является: Р = Р(!). Переменная г называется параметром кривой С. Разным значениям параметра соответствуют различные точки кривой С. Отображение Р будем называть параметризацией кривой С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
