1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 61
Текст из файла (страница 61)
(Ради простоты можно представлять их прямоугольными, а начало их Π— расположенным в основании перпендикуляра, опущенного из О на плоскость а (рис. 75).) Введем в пространстве координаты хь хь хз с началом А в центре связки О. Ось хз направим из О через О, а оси хь х, проведем параллельно осям х, у. Тогда плоскость хз — — О параллельна плоскости а, 0 и мы можем считать, что ХА плоскость а представ- Ю1 ляется уравнением х» = = 1. В плоскости хв= О ряс.
Тз координаты хь х» вводим так лсе, как х, у — на плоскости а, т, е, переносим нх значения по прямым, параллельным осн хз. Тогда точки плоскости а имеют координаты х~ — — х, хз — — у, хэ =!. Теперь перейдем к однородным координатам, т. е. ° ведам произвольный множитель (ФО, так что дли точен плоскости будет х. =гх, х,=[у, хз=~ (1 чь О). (2) «р у= —. х= — ' «ь ' Прямые связки, параллельные плоскости а, «пересекают» ее в бесконечно удаленных точках. Онн лежат в плоскости хз = О. Поэтому хз =О представляет уравнение той прямой, которая на плоскости а оказывается бесконечно удаленной. Это и соответствует тому, что по формулам (3) при х, = О, грубо говоря, координаты х и у становятся бесконечными. Илн, выражаясь более корректно, значение хз недопустимо, а зто н значит, что на плоскости а нет бескояечио удаленной прямой.
Она зва ЧАСТЬ 3 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. ДРУГИЕ ГЕОМЕТРИИ присоединяется к а введением однородных координат с допущением х, = О. Формулы (3) задают переход От аффинных координат х, у к однородным. Достаточно в формулы х, хз с х, у подставить вместо них —, — и для удобства хз ' хз избавиться от знаменателя. Эти жс формулы задают переход от однородных координат хь кз, хз к аффинным х, у (когда исключается значение х, = О, соответствующее бесконечно удаленной плоскости), Теорема 5. Проективное преобразование проективной плоскости представляется в однородных координатах линейным (однородным) преобразованием вида з к, = апх, + а„х, + а„хгп хз = аих~ + а зяз + азз"з к» =азг»~+ аз з + аззхз' ! ип и,з ио и„ио изз чн О.
(4) из~ из изз ипх+ и~зу+ и~з х— ! ии и!2 и!31 из~ ии изз~ ~ О, из~ изз изз из|» + иззу + изз из, х + иззу + изз у из|» + иззу + изз Докажите! Проектианое аффннное отображение области. Если рассматривать отображение ограниченных областей на ограниченные области, так что никакая бесконечно удаленная точка не вмешивается, то проективное отображение можно определить очень просто. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Проектнв нос преобразование проективной плоскости, когда она представлена как связка прямых, является, по определению, аффинным преобразованием связки, сохраняющим ее центр. Если начало аффинных координат положено в центре связки, то аффинные преобразования представляются в координатах формулами вида (4) Аффинные координаты с началом в центре связки являются однородными координатами на проективной плоскости (представленной связкой прямых). Этим теорема 5 доказана.
П Теорема 6. Проективное преобразование плоскости представляется в иффинных координатах как дробно- линейное, т. е. 1т. 2. пРОектианАя плОскОсть кАк сзязкА пРямых 369 Проективное отображение ограниченной области— зто такое ее взаимно однозначное отображение, при котором отрезки отображаются на отрезки. Лффинное отображение, напомним, подчиняется доголнительному требованию, что параллельные отрезки отображаются на параллельные (теорема П1.2.5). Доказательство мы не приводим. КВП на проективной плоскости.
Кривые второго порядка задаются в однородных координатах однородными уравнениями второй степени (зто ясно по свойству однородных координат и из перехода в уравнении КВП от прямоугольных координат к однородным координатам); т. е. в таком уравнении слева стоит квадратичная форма; Н 1 + 22 2 + ЗЗ 3 + 12 Г 2 + 23 2 3 + 31 3 1 По теореме, доказанной в $ 2, гл. Ч, ч. 1, квадра. тичную форму можно линейным преобразованием привести к «сумме квадратов», так что уравнение примет вид: а х-".
4- а „х;, + а„х1 = О. П",Оизвезем е1це линейное преобразование ', ан ! х,, х,'= ЗДа„~ х„х,'= Да,~ 'х,. Тогда уравнение примет вид /2 г2 22 е,х, + е х + езх3 — — О, где е,, еь е, равны +! или — 1, или О, в зависимости от знака а1П ам, аз3. Умножение на — ! не нарушает уравнения, поэтому можно считать, что число положительных квадратов не меньше числа отрицатель. иых и, разумеется, переменные можно обозначать произвольно.
В результате получаем пять возможных случаев: !) х2+ х2+ х'=О, 2) х +х — х2=0, 3) х2+ л2 — О, 4) х' — х' — О, 5) х2 — О. Первое уравнение представляет пустое множество, так как все однородные координаты не могут равняться нулю. Второе представляет коническое сечение — конус в связке прямых, зтв часть з. пгеовехзовхния. дю ие геометгни Третье уравнение, хз+ хз =О, представляет в связке одну прямую — ось хз, т.
е. точку !О, О, х,) на проективной плоскости. Следующее уравнение 4) представляет на проек. тинной плоскости пару пересекающихся прямых х, + хз =О, х, — хз = О. Последнее уравнение 5) представляет в связке плоскость «з =О, т. е. прямую на проектявиой плоскости. Те же случаи получаются яз выводов $ 7 гл П ч. ), где рассматривались КВП на евклидовой плоскости: три конических сечения теперь объединены, также объединены пересекающиеся и параллельные прямые; параллельные пересекаются в бесконечно удаленной точке. Замечанве.
Однако тут есть особенность. Рассмотрим второе уравнение, оно представляет коническое сечение. В нем значение хз — — О невозможно, так как если х =О, то х',+х,'=О, и должно быть х, = = ха = О, т. е. все три координаты — нули, что исключено, Итак, «зчьО, а потому можно разделить на хз и получить из формулы 2) хз+ уз — 1 Это окружность или эллипс в подходящих аффинных координатах. А где гипербола с параболой? Разделив х, х, иа хз и положив х = —, р= —, получим: кз ' хз х' — уз= ), т. е.
уз+ ! — х'=О. Это гипербола. Но исключено значение хз =О, котоРое в самом УРа апенин х', + хзз — х' = О возможно. Исключая значение хз — — О, мы делаем прямую «а=0 бесконечно удаленной, а так как значение хз = О возможно, то кривая пересекает бесконечно удаленную прямую. А где жс все-такн нарабола? Положим х — ха =хз, Тогда уравнение 2) станет хз — х х =О. пс 3 п»ннцип двоиственности Или, полагая у= —, х= —. кк кк ' кк ' у =х. Заметим еще, что в $1 гл.
П, ч. 1, рассматривая КВП на евклидовой плоскости, мы получили пустое множество прн двух уравнениях х'+ у'+ 1 = О, хк+ 1 = — О. Первое соответствует уравнению 1). А второе3 к, В однородных координатах, полагая х = —, локк ' лучин хк+ х'=О. Это точка (О, хк, 0), а не пустое множество! Однако эта точна лежит на бесконечно удаленной прямой х,= О. Поэтому ее на евклидовой (и на аффннной) плоскости нет. Обычная точка получается сжатием окружности (или эллипса) к центру. Точка на бесконечно удален- ной прямой получается, если «раздвигать» гиперболу, беря ее вещественную полуось а- оо и мнимую полу- ось Ь = сопи!, например Ь = 1.
Это можно понимать ка. с катне к бесконечно удаленной точке. ф 3. Принцип двойственности В связке между прямымн н плоскостями имеется нростое взаимно однозначное соответствие: каждой прямой соответствует перпендикулярная ей плоскость, н каждой плоскости — перпендикулярная ей прямая. Др1тнми с.ювамн, можно сказать: в связке имеется взаимно однозначное соответствие прямых и плоскостей по их взаимной перпендикулярности (рис. 76).
Если прямая а лежит в плоскости 6, то перпендикулярная ей плоскость а проходит через прямую Ь, перпендикулярную плоскости (1, Это значит, что если и и а соответствуют друг другу по перпендикулярности и а содержится в плоскости р, то а проходит через прямую Ь, соответствующую плоскости (рис. 77). Таким образом, указанное сопоставление прямых и плоскостей устанавливает соответствие между тем, что прямая лежит в плоскости, и тем, что плоскость проходит через прямую. Для того, чтобы выразить это соответствие более четко, вводят термин «инпидентность». Прямая ЗТЕ ЧАСТЬ 3, ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.
ДРУГИЕ ГЕОМЕТРИИ инцидентна плоскости, если лежит в ней; плоскость инцидентна прямой, если содержит эту прямую, Таким образом, они друг другу инцидентны. Отношение инцидентности взаимно. Это позволяет выразить отмеченное свойство соответствия прямых и плоскостей очень просто: соответствие прямых и плоскостей по перпендикулярности сохраняет инцидентность. Рис. 76 Рис. 77 Если от связки перейти к проективной плоскости— если толковать связку как проективную плоскость, то прямые связки представят точки, а плоскости связки— прямые.
Соответствие прямых н плоскостей связки будет соответствием точек и прямых проективной плоскости. Инцндентность будет инцидентностью точек и прямых, и она сохраняется при данном соответствии: точкам, лежащим на прямой, соответствуют прямые, проходящие через точку, и обратно. Такое соответствие называют коррелятивнГям или полярным — полярностью. Прямая, соответствующая точке, — это ее поляра; точка, соответствующая прямой — ес полюс. При этом можно иметь в виду любое соответствие точек и прямых, сохраняющее инцидентность, не обязательно устанавливаемое так, как это мы сделалн, сопоставляя в связке прямые и плоскости по взаимной перпендикулярности. Мы только указали конкретный внд полярного соответствия и, что самое главное, доказалн этим, что такое соответствие существует. (Кстати, на обычной плоскости его нет! ) 1ч з пгинцип двоистввнности 373 Существование полярного соответствия приводит к замечательному выводу, называемому принципом двойственности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
