1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Прямые, проходящие вдоль противоположных сторон шестиугольника, вписанного в коническое сечение, пересекаются в точках, лежащих на одной прямой. Переведите в теорему элементарной геометрии и докажите. Теорема 4. Если точка А лежит вне конического сечения, то через нее проходят две касательные к нему. Пусть р(А) — прямая„проходящая через точки 3ВР.
ЧАСТЬ 3. ПРЕОВРАЗОВАНИЯ ДРУГ11Е ГЕОМЕТРИИ касания. Теорема утверждает: для точек А, лежащих на прямой, не пересекающей комическое сечение, прямые р(А) проходят через одну точку, Исторические замечания. Изучение центрального проектирования возникло в связи с потребностью правильного изображения предметов, как мы вх видим,— а перспективе, можно сказать, в проекция на плоскость зрения (упрощенно можно считать, что изображение предметов на сетчатке глазз получается проектированием по лучам света с центром проекции в центре зрачка). Перспективным (линейной перспективой) и называется способ изображения пространственных фигур на плоскости посредством центрального проектирования.
Глядя вдаль, мы видим параллельные линии сходящимися в общую точку: плоскость равнины, простирающейся перед взором, проектируется на плоскость зрения. Теория перспективы возникла из потребностей архитектуры и живописи. Некоторые ее законы были иэ. вестны еще древнегреческим геометрам. Ев занимались крупнейшие художники Возрождения Леонардо да Винчи (1452 — 1519) и Альбрехт Дюрер (!47!— 152!); ими были написаны книги о перспективе. Основы проектнвной геометрии заложил французский инженер, архитектор и математик Жерар Дезарг (1591 — !66!).
Вму принадлежит принципиальная заслуга — понятие о бесконечно удаленных точках, он же открыл н доказал одну из основных теорем проективпой геометрии — теорему Дезарга, которую мы только что доказали. Проективная геометрия была развита и оформилась как особая область геометрии в работе французского инженера и геометра Жака Виктора Понселе (1788 — 1867) «Трактат о проектнвных свойствах фигур», вышедшей в !822 г. Понселе был офицером напочеоновской армии, попал в плен и написал свой трактат в 1813 — 1814 гг., находясь в плеву в Саратове. Достойно внимания, что эта область геометрии ие только возникла из потребностей практики, но и была обязана своим развитием художникам, архитекторам и инженерам, Только позже ей было дано самостоятельное аксиоматическое обоснованяе. !Ч.з.
ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ КАК СВЯЗКА ПРЯМЫХ 333 $2 Проектнвная плоскость как связка прямых. Координаты Когда плоскость дополнена бесконечно удалеинынн точками, то между ее точками и прямыми, проходящими через центр проекции О, устанавливается взаимно однозначное соответствие, Прямые, параллельные плоскости, тоже «пересекают» ее, ио в бесконечно удаленных точках.
Множество всех прямых, проходящих через одну точку О, называется связной нрллмял с центром О. Установленное взаимно однозначное соответствие то- ЧСК ДОПОЛНЕННОЙ ПЛОСКОСТИ И ПРЯМЫХ СВЯЗКН ПОЗВО- ляет рассматривать вместо точек — прямые связки, вместо дополненной плоскости — связку прямых. (Выгода состоит в том, что в связке все прямые равноправны, на плосности Тке нужно еще условиться считать бесконечно уда- 0 ленные точка равноправными с обычныин и определять, в каком смысле опн считаются равноправными.) Прямые, проходящие через центр О в точки прямой на вроектируе- Рвс.
73 мой плоскости (включая бесконечно удаленную точку), покрывают плоскость, проходящую через центр О (рис. 73). Поэтому если мы вместо точек дополненной плоскости рассматриваем лрямыс связки с центром О, то роль прямых будут играть плоскости, проходящие через О, — «плоскости связки». Так мы приходим к оиределеиню.
Проектваной плоскостью называется связка прямых в евклндовом (или аффиииом) пространстве при условии, что прямые связки считаются точками, а плоскости связкн— прямыми. Прн таком взгляде строение самих прямых не играет роли. Выступая как точки, онн становятся тем, что, по определению Евклида, «не имеет" частей». Каждая нз них фигурирует как нечто целое. Такой зя4 ЧАСТЬ 3 ПРЕОБРАЗОВАНИ55. ЦРУГИЕ ГЕОМЕТРИИ взгляд служит прекрасной иллюстрацией отвлеченного понимания геометрии, когда она относится к объектам «произвольной природы». В данном случае роль точек играют прямые связки в евклидовом пространстве.
Теперь мы можем по-новому определить, что понимается под проективными преобразованиями и проективной геометрией. Ороективной геометрией на проективной плоскости называется аффинная геометрия связки прямых. При этом прямые связки рассматриваются как точки этой геометрии без всякого внимания к их внутренней структуре.
Проективным преобразованием проективной плоскости называется аффинное преобразование связки (сохраняющее ее центр), точнее: отображение множества прямых связки на себя, происходящее при каком-либо аффинном ее преобразовании. (Это определение равносильно данному выше, гласящему, что проективные преобразовании — те, которые отображают прямые на прямые, т. е. плоскости связки — на плоскости связки. Докажите!) Хотя представление проективной плоскости в виде связки прямых позволяет дать точные определения без особых оговорок о бесконечно удаленной прямой, все же замена плоскости связкой делает наглядные представления более сложными. Поэтому рассуждают обычно на плоскости и рисуют соответствующие рисунки. Однако каждый способ рассмотрения имеет свои преимущества, и ими можно пользоваться совместно.
В следующем пункте мы рассмотрим с этой точки зрения конические сечения. Конические сечения. Может быть, самый яркий пример, поясняю5цнй проективную точку зрения, по которой фигуры, проектинно преобразуемые друг в друга, представляют не более как разные экземпляры одной и той же фигуры, дают конические сечения. С проективной точки зрения между ними мало разницы. Разница между ними обусловлена только тем, как они располагаются относительно бесконечно удаленной прямой.
Эллипс не имеет с нею ничего общего, параболы она касается, а гиперболу она пересекает, Но в проективном смысле особой бесконечно удаленной прямой просто нет. Ведь все прямые рав- Ш. К ПРОБКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ КАК СВЯЗКА ПРЯМЫХ 355 ноправны. Поэтому не различаются и конические сечения. Раскроем эти краткие замечания более точно. Воспользуемся представлением проектнвной плоскости связкой прямых. В связке прямых с центром О круговой конус с вершиной О, вообще конус второго порядка с вершиной О, представляет собой вполне определенную фигуру, а его сечения разными плоскостями — это конические сечения. В чем нх различие? Пусть коническое сечение К получено в пересечении конуса С с плоскостью а (рис. 74). Плоскость б, проходящая через центр О параллельно и, представляет в связке ту прямую, ко- к торая оказывается бесконечно к удаленной иа плоскости а (прямые, лежащие в плоскости (), па- с раллельиы плоскости а).
Следовательно, конические сечения различаются тем, какая плос- Рис. 74 лость связки играет в ней роль бесконечно удаленной прямой. Итак, конические сечения — КВП, не вырождающиеся н не распадающиеся на прямые, — представляются в связке конусамн второго порядка. Все эти «н' сы преобразуются Олин В др) той аффинными прссбрз ованиячн связки, По«тому с точки зрения проеьтивной гсомстрни они эквивалентны — «проектнвно равныъ. Никаких конических сечений разных типов в проективной геометрии нет.
Разные конические сечения есть на обычной (евклидовой или аффннной) плоскости. Эта плоскость возникает из проективной, когда выделяется прямая, которая считается бесконечно удаленной. В связке это соответствует тому, что в ней выделяется плоскость связки, представляющая в связке выделяемую прямую. В зависимостн от расположения этой плоскости относительно конуса н получаются разные случаи соответственно разным коническим сечениям. Случай, когда плоскосгь не Имеет с конусом общих точек, кроме вершины, соответствует эллипсу; если плоскость касается вав чАсть з. пРБОЬРАЗОВАиия.
дРуГие ГеОметРии конуса — это соответствует параболе, а когда плоскость пересекает конус — гиперболе. Когда в евклидовом пространстве конус пересекается разными плоскостями, получаются, скажем, разные эллипсы. Но все эллипсы аффинио эквивалентны. Их различие появляется только в евклидовой — метрической геометрии. То же верно для других типов конических сечений. Одиородные координаты. Введем в пространстве аффиииые ИООРдннаты хь хм хе с началом в центРе связки О Если а — прямая связки и А(аь а„, а,)— какая-либо ее точка, отличная от О, тв координаты любон точки Х(хьхьхз), отличной от О, иа пРЯмой а представляются в виде х, =Гаь х,=га,, х,=!а,, ! чь О.
Таким образом, каждая прямая связки задается координатами хь х„хх, не равными одновременно нулю и определенными с точностью до произвольного общего множителя, отличного от нуля. Это выражают, говоря, что прямую задает отношение этих координат: (х~. хе. хз). Так определяемые с точностью до множителя координаты называются однородными, И так как прямая связки — это точка проективной плоскости, то эти же однородные координаты служат координатами точек проективной плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через начало, имеет вид а х, + а х + ах,=О (а~~+а~~+ а~чь О). (!) Это же представляет уравнение прямой иа проективной илоскостн в однородных координатах.
Поскольку однородные координаты определены с точностью до множителя, то соотношение между ними может иметь смысл только, если Оно само однородно, т. е. сохраняется при умножении входящих в кето координат на любой множитель, отличный от нуля. Например, равенство х~ + хе = ! в однородных координатах бессмысленно, так как не сохраняется при умножении хь хг на какое-либо ! Еь О (Ф!). Связь с обычными координатамн на плоскости. Выясним связь однородных координат с обычными 1т.к ОРОВктивнАя плоскОсть кАк сВязкА пРямых зат аффннными илп прямоугольными координатами иа ил ос кости. Рассмотрим связку прямых с центром О. Возьмем какую-нибудь плоскость а, не проходящую через О, н введем на ней координаты х, у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
