1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Паралле.тьное проектирование Будсх! считать всякую прямую параллельной самой себе'). диалогично, будем считать отрезки, лежащие на одной прямой, параллельными. Определение. Параллельным проектированием на плоскость и вдоль прямой а, пересекающей сх, называется отображение, сопоставляющее точке Х ту точку ') Это необходимо, ногда рассматривается какое-либо мномество параллельных прямых а, Ь, с н т. л. Известно, что если аИЬ и ЬИс, то аИс. Поэтому если аИЬ, ЬИс, то сйа, и мы логнчеснн приходим к тому, что а И а.
Когда мы говорим о прямых, параллельных данной прямой а, то естественно, включать в них ее саму и говорить, что все они друг другу параллельны. Вэь члсть з пьеогглзовлггггя дгэгие гвометшш Х', в которой проходящая через Х прямая, параллельная а, пересекает плоскость а (рнс. 56). О прямой а говорят, что оиа задает направление проектирования. Основные свойства параллельного проектирования выражаются следующей теоремой, известной еще из школьного курса. Теорема 1, При паратогсльном проектировании для прямых и отрезков, нс параллельных направлению проект про вон ия, вьтол веются еледующ ие свойства. Рас. 5Г> Рис.
57 1, Проекция прямой есть прямая, проекция отрезка — отрезок. 2. Проекции параллельных прямых параллельны 3. Отношение длин проекций параллельных отрезков равно отношению длин самих этих отрезков. Другими словами, при параллельном проектировании отношения параллельных отрезков сохраняются. Мы докажем эту теорему, рассмотрев, что происходит при проектировании с векторами. Отображения векторов. При отображении какой- либо фигуры Р точкам сопоставляются точки, и соответственно фигурам, содержащимся в р, сопоставляются фигуры. А что происходит при этом с векторами — направленными отрезками? Даем определение. Если при некотором отображении точки Х, У отображаются на Х', У', то вектору ХУ сопоставляется вектор Х'У'. То есть образом данного вектора считается вектор, начало и конец которого являются образами начала и конца данного вектора ХУ (рис.
57). пь ь ПАРАллельное пгоектиговлние ззз (Что происходит при этом с точками, лежащими из отрезке ХУ, не играет роли; с ними может ничего ис происходить, если отображение на ннх не распространяется, как, например, при отображении (сжатии~ окружности в эллипс н т. п.) Замечание. Вводя понятие вектора, мы различали конкретные и абстрактные — свободные — векторы. Конкретный вектор изображается направленным отрезком, но фактически в понятии о нем играют роль только его начало и конец.
«Конкретный вектор»вЂ” это упорядоченная пара точек, а не фигура, и отрезок с нею связывается лишь для наглядности. Для конкретных векторов определяется равенство !равные векторы представляют один абстрактный, свободный, вектор); операции с векторами определяются на основе перенесения вектора к любому началу; т. е. всякий данный конкретный вектор можно заменить равным вектором.
Поэтому рассматривать такие отображения векторов, при которых нарушается нх равенство, имеет мало смысла. Векторы ири параллельном проектировании. Заметим, что если мы хотим, пользуясь векторами, доказать. что при параллельном проектировании отрезки проектируются в отрезки, то рассматривать векторы как направленные отрезки нецелесообразно (раз еще нужно доказать, что отрезок отображается иа отрезок). И поэтому тоже векторы нужно рассматривать как упорядоченные пары точек и понимать отобра;кения велторов как было только что опргзелено Итак, рассмотрим проектирование вдоль прямой а иа плоскость а. Как было доказано, каждый вектор однозначно разлагается на составляющие: одну — параллельную плоскости а, другую — параллельную прямой а. Теорема 2.
При разложении вектора ХУ на составляющие, параллельные плоскости а и прямой а, составляющие на плоскости о получаются параллельным проектированием вдоль прямой а. То есть если Х', У' — проекции точек Х, У, то вектор Х'У' и есть составляющая вектора ХУ на плоскости а (рис. 57). Доказательство. Для доказательства достаточно вспомнить, как строятся составляющие ЗЗ4 ЧАСТЬ 3 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.
ДРУГИЕ ГЕОМЕТРИИ вектора, параллельные данной плоскости и данной прямой, Пусть дан вектор — направленный отрезок ХУ,— строим его составляющие вдоль примой а и пло- скости а. Через начало вектора ХУ проводим плоскость )?, параллельную и, и из конца вектора проводим пря- мую Ь, параллельную прямой а. Точка У" ее пересе- чения с плоскостью )) и дает конец вектора ХУ", слу- жащего составляющей вектора ХУ на плоскости Проводя через Х и У прямые, параллельные а, до пересечения с нлоскостью а, получаем в ней точки Х', 1". При этом, как очевидно'), будет Х'У'=ХУ"' Итак, Х'У' — это составляющая вектора ХУ на пло- скости а при его разложении вдоль прямой а и вдоль плоскости а. Вместе с тем проведенное по- строение этой составляющей представляет собой не что иное, как параллельное проектирование точек К, У на плоскость сс вдоль прямой а. Теорема 2 дока- зана.
П Из этой теоремы следует Теорема 3. При параллельном проектировании со- храняются линейные соотношения между векторими, т, е. если АВ= рСЕ?+ АТЕЕ, го А'В' = рС'Е?'+ дЕ'Р'. Тем самьсм равным векторам отвечают равные (на- пример р = 1, а =0), сумме — сумма, произведению на число — произведение на го же число.
Доказательство. Основное свойство состав- ляющих любых векторов состоит в том, что линей- ным соотношениям между векторами соответствуют такие же соотношения между их составляющими Это заключает в себе сказанное в теореме 3. П Теперь свойства, указанные в теореме 1, вытекают из теоремы 3 благодаря следующему предложению. Лемма.
Если при некотором отображении сохра- няются линейные соотношения векторов, то при агом ") Прямые ХХ; УУ' параллельны н стало быть лежат а одной плоскости т Эта плоскость пересекает и н р по параллелы<ым прямым. Итак ХХ'1 Г'У', ХУ" 1 Х'У'. Позтому отрезки ХУ" н Х'У' — сторонм параллелограмма н, ааачнт, Х?' Х'Т'.
Г!Г. Е ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ ззз отображении выполняются свойства, укизанные в теореме 1, для отрезков и прямых, нв отображающихся в точку; 1) отрезки (прямые) отображаются на отрезки (прямые1, 2) параллельные — на параллельные, 3) отношения параллельньгх отрезков сохраняютсяя. До к а з а тел ь с т в о. Отрезок ЛВ заполняется линцами векторов Ал = рАВ с 'р ~ [О, 11. Параллельныс отрезки соответствуют параллельным (коллинеарным) векторам. Отношение таких отрезков — это отношение этих векторов, точнее — если ЛВ= рСР, то АВ=(р1СР. Поэтому вместе с сохранением линейных соотношений между векторами отрезки отображаются иа отрезки. параллельные — на параллельные и отношения отрезков сохраняются, что и требовалось доказать.
О Вместе с этим доказана н теорема 1. С) Проектирование с плоскости на плескееть. Теорема 4. тгри параллельном проектировании с плоскости на плоскость линейные соотношения мезеди векторами сохраняются и новые не появляются г подразумевается, конечно, что прямая, вдоль которой происходит проектирование, пересекает обе плоскости).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Проектирование с одной влесаеств е на другую й в направяении прямой а, -СР«селаюшей обе плоскости, устанавливает взаимно одьо ивяное соответствие между точками этих пло слостсЙ. Сак что кзк плоскость я проектируется на р вдоль прямой а, так н б проектируется на а вдоль той же прямой. Поэтому, согласно теореме 3, линейным соотношениям между векторами на одной плоскости соответствуют такие же соотношения на другой, н обратно. Стало быть, если бы при проектировании с плоскости а на и появлялнсь новые линейные соотношения между векторами, то при обратном проектировании — с (1 на а — они должны были бы дать линейные соотношения на плоскости а, но, значит, они не были «новыми», Следовательно, никаких новых линейных соотношений между векторами нри проектировании с одной плоскости на другую не появляется, что и требовалось доказать.
П 388 чАсть 3. пРеОБРА3ОВАния, дРюше ГеОметРии Замечание. Пусть и — вектор на плоскости сс (параллельный а). Проектируя вдоль прямой а на плоскость (), мы разла~аем его на составляющие: ИВ— на 8 и и,— вдоль а, так что и =ив+и,, Отсюда ив=и — и„т. е мы так же разлагаем вектор на плоскости н (рпс. 58) и так же, проектируя вдоль а с р на а, разлагаем любой вектор ва плоскости (): т>8 = Уа = аа + Оа.
ЯСНО, ЧТО ЗТИ иа разложения равносильны. р Спроектировав пло- БА скость и на р вдоль прямой а, можно затем спроектировать р на а вдоль какой-ли-и, бо прямой Ь, илн спроекти- ровать 8 на у. а потом — у Рас 58 на а, и т. и Так комбини- руя проектирования с одной плоскости на другую, можно получать отображения данной плоскости а на себя. При этом, поскольку при каждом проектировании с плоскости на плоскость не исчезают и не появляются линейные зависимости векторов, то и при получающемся отображении плоскости на себя линейные соотношения векторов сохраняются и новые не появляются.
Отображения, обладающие таким свойством, называются аффинными, Их мы дальше и рассмотрим. й 2. Аффинные отображения и аффинная геометрия Определения. Отображение какой-бы то ни было пространственной или плоской фигуры в пространство называется аффинным, если оно сохраняет линейные соотношения между векторами и не вводит новых. Первое условие означает, что если в фигуре есть такие точки А, В, ..., С, Н, что при некоторых числах р, ..., з рАВ+ ... +ЗСН=О, то для образов зтнх точек А', В', ..., С', Н' рА'В'+ ...
+ ЗС'Н'=О. г! 2. АФФинные ОтОБРАжения и АФФиннАя геометРия 337 Второе условие означает, что и обратно: если и фигуре Р', полученной из Р аффинным отображением, есть такие точки Р', сг', ..., Х', У', что при некоторых числах я,..., и йР'Я'-; ... + пХ'У'=О, то и в исходной фигуре Р для соответствующих точек Р, к1, ..., Х, У (прообразов Р', с,1' ... и т. д.) выполняется аналогичное равенство. Свойство фигуры называется аффинным, если оно сохраняется при любых аффинныт отображениях. Аффинной геометрией называется та часть геометрии, в которой изучаются аффинные свойства фигур. Из определения аффинного отображения непосредственно следует, что всякое свойство фигур, которое может быть выражено через линейные соотношения между векторами. является аффпнным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
