1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 54
Текст из файла (страница 54)
А так как ХУ = О!' — ОХ н Х'1" = От1' — ОХ', то Х'У' = яХУ. Е] Поэтому гомотстия с коэффициентом я представляет собой подобное преобразование с коэффициентом !я!. и ° Эв Теорема !. Всякое подобие является композицией гомотетии с тем же коэффициентом и наложения. Доказательство. Пусть фигура т" путем подобия отображена на т' с коэффициентом подобия й. Подвергнем фигуру т гомотетии с тем же коэффициентом и с любым центром. Она перейдет в фигуру т""; и так как все расстояния умножаются на й, то они станут такими же, как в фигуре т'.
Поэтому фигуру тл можно отобразить на г"' наложением, Таким образом, г" отображается иа т"' в результате гомотетин и наложения, что и требовалось доказать. П Теорема 2. Композиция подобий с коэффициентами й1, яз есть подобие с коэффициентом 41йь Отображе- Заа члсть з пгвовглзовлния. дехгие гвомвтюш ние подобия обратимо, причем отображение, обратное подобию с коэффициентом й, является подобием с коэффициентом 1/и. Доказательство очевидно, П Теорема 3. Ори подобнолг отображении отрезки отображаюггя на отрезки, причем равенство отрезков сохраняется, угли отображаются на равные, плоскости огображаюггя на плоскости, все' — как при наложениях (см.
3 1. 1). Д о к а з а т е л ь с т в о совершенно аналогично доказательству аналогичных свойств наложений ($ 1). ь) Поскольку при преобразовании подобия плоскости, как и пространства, отрезки переходят в отрезки н равенство отрезков сохраняется, а в пространстве плоскости также переходят в плоскости, то все отношения, опредсляемые аксиомами, сохраняются.
При этом подобные преобразования как плоскости, так и пространства, в силу теоремы 2, образуютгруппу. Поэтому можно сказать, что все свойства фигур евклидовой геометрии инвариантны (неизменны) относительно группы подобий. Отметим в дополнение интересное свойство подобий. Всякое подобное преобразование плоскости, как и пространства, отличное от наложения, имеет одну неподвижную точку. Оно представимо поэтому как композиция гомотстии с поворотом (может быть, тождественным), илн с зеркальным поворотом вокруг оси, проходящей через центр гомотетии, илн с отражением в плоскости, проходящей через центр гомотстии (впрочем, отражение можно считать частным случаем зеркального поворота, когда сам поворот тождественный) .
й 2. Инверсии Определение. Инверсией (плоскости) относительно окружности с центром О и радиусом )к называется такое отображение, при котором каждая точка М, отличная от О, отображается в такую точку М', что а) М' лежит на луче ОМ, б) ОМ' ОМ = )кз (рис.
53). Поскольку здесь (1) и т. инверсии то инверсию называют также преобразованием обрати ьг с радиусов. Из ()) ясно, что если ОМ = тс, то ОМ' = ОМ, и так как точка М' лежит на том же луче, идущем из О, что и точка М, то в данном случае М' просто совпадает с М. То есть все точки окружности К с центром О н радиусом Я остаются иа месте, Если же ОМ(Р, то ОМ'= е н н' ) К и если ОМ» Л, то ОМ'( ( тт. То есть внутренность круга с окружностью К отображается Рнс. йз на его внешность, а внешность— на внутренность. Причем точки остаются на тех же лучах, идущих из О.
Поэтому инверсия представляет собою как бы отражение в окружности. Ее так и можно назвать: отражение в окружности. Точка 0 — центр инверсии — никуда не отображается. Когда точка М приближается к 0: ОМ- О. то ОМ'-з- оо. Поэтому естественно считать, что центр 0 отображается в бесконечность, дополняя плоскость бесконечно удаленной точкой, можно сказать- при инверсии центр отображается в бесконечно удаленную точку. а бесконечно удаленная точка— в центре '). Лополнпв плоскость бесконечно удаленной точкой, будем считать, что .-." =": = — вто «окружность, проходящйн через бесконечно удаленную точку».
Пока мы уславливаемся об этом чисто формально; хотя наглядно очевидно, что при бесконечном увеличении радиуса окружность, проходящая через две данные точки, «распрямляется» и в пределе переходит в прямую (рис, 54). Приняв введенное условие о прямых, мы объединяем н понятие обобщенная онруяенасга настоящие окружности и прямые. Это позволяет сформулировать важное свойство инверсии очень коротко. ') Твк нс ввопнт бесконечно упвленную точку нв комплексной плоскости в теорнн функций комплексной переменной.
ззв чксть з пуеовехзовхния. дяугие геометуии В прямоугольных координатах с началом О полу- чаем е'у' к' + у' к' + у' их х'+ у'=,к к' +у' (2) Рассмотрим кривую, представляемую уравнением Ь (х'+ у') + сх + ду + е = О. (3) Исключая случаи, когда это точка или пустое множество, кривая с таким уравнением — окружность, если Ь чь О, или прямая, если Ь = О Подставляя х и у из (2) и избавляясь от знаменателя, получим а'Ь + а'сх'+ а' ду'+ е (х" + у' ) = О, (4) т.
е. уравнение того жс вида, и, стало быть, представляющее окружность, если е чь О, и прямую — если е= О. Теорема 1. Инверсия переводит обобщенные окружности в обобщенные окружности. В развернутом виде это означает, что инверсия переводит: а) всякую настоящую окружность, не проходящую через центр инверсии,— в окружностьтакого же рода; б) всякую настоящую окружность, проходящую через центр инверсии, — в прямую; в) всякую прямую, не проходящую через центр,— а окружность, проходящую через центр; г) всякую прямую, проходящую через цснтр,— саму в себя.
При этом в случаях б), в), г) нужно иметь в виду то условие, что центр переходит а бесконечно удаленную точку, а она — в центр; без этого нужно оговаривать, что центр не нмсст нн образа, ни прообраза, так что он должен быть исключен. Доказательство. Пусть т=ОМ, т'= ОМ' радиус-векторы точки М и ее образа при инверсии в окружности К с центром О и радиусом а. Из определения инверсии т' т =о' — „. т' И К ИНВЕРСИИ Теорема доказана, и остается только просмотреть, когда получается каждый из четырех случаев, указанных в развернутой формулировке. Читатель сам легко ~то сделает. П Инверсия сохраняет углы.
Подробно попятис кривой и угла между кривыми обсуждается в части 1Ч. Лемма. При инверсии, сопостовляющсй друг другу точки А, Л', окружность, проходящая через зги точки, отображается на себя. Д о к а з а т е л ь с т в о. Если инверсия относительно некоторой окружности С сопоставляет друг другу точки А, А', то, значит, она проходит между ними, так что одна из точек А, Л' находится внутри круга с окружностью С, а другая — вне. Поэтому если окружность К проходит через точки Л, А', то она пересекает окружность С.
Точка пересечения В, как принадлежащая С, переходит сама в себя. Следовательно, окружность К переходит в окружность, проходящую через те же точки А, А', В. Но через три точки может проходить только одна окружность. Следовательно, окружность К отображается сама на себя, что и требовалось доказать. П Теорема 2. При инверсии углы между кривыми сохраняются, т. е. две кривые, пересекающиеся под некоторым углом, переходят при инверсии в кривые, пересекающиеся в соответственной точке под таким же углом. Доказательство.
Пусть кривые Е!, Ег пересекаются в некоторой точке А и при инверсии переходят в кривые ~!, ~,', пересекающиеся в соответствующей точке А'. Построим окружности Кн К,, проходящие через точки А, А' н имеющие в точке А те же касательные, что кривые Е!, Ьь Согласно доказанной лемме зти окружности персйдут при данной инверсии в себя. Л угол, который они образуют друг с другом в точке А', раасн углу, какой они образуют а точке А. 'Стало быть, и кривые которых они касаются, образуют те же углы. П Следующая теорема устанавливает такое свойство инверсии, которое позволяет строить для всякой данной тачки ее образ при инверсии относительно данной окружности.
Теорема 3. При инверсии относительно окружности круга К точки М, М', которые переходят друг Ззп ЧАСТЬ 3 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДРУГИЕ ГЕОМЕТРИИ в друга, связаны следующим образом. Если точка М' лежит внутри круга и служит серединой хорды АВ, то М лежит вне круга и прямые МА, МВ служат его касательными (рнс.
55). Доказательство. Пусть Π— центр круга К. Треугольник ОАМ прямоугольный; ОА — его катет, и если М' — середина хорды АВ, то АМ'! ОМ. Пав атому, согласно известному свойству высоты прямоугольного треугольника, ОМ ОМ' = ОА', что и доказывает утверждение теоремы. П Инверсия в пространстве.
В пространстве инверсия опредеРяс 55 ляется буквально так же, как на плоскости: задается точка О— центр инверсии и длина Й вЂ” радиус инверсии, и каждой точке М ставится в соответствие точка М', лсжащая на том же луче с началом О и такая, что ОМ' Х Р,ОМ=Я'. Все точки сферы радиуса гс с центром О остаются на месте, Каждая плоскость, проходящая через О, отображается на себя, и в ней происходит инверсия с центром О и радиусом В. Если дополнить пространство бесконсчно удаленной точкой и считать плоскость «обобщенной сферой», проходящей через эту точку, то можно высказать теорему: Теорема 4. При инверсии «обобщеннГяе сферы» переходят в «обобщенные сферы». Эта теорема подробно раскрывается подобно теореме К Доказательство ее аналогично.
П Из теоремы 4 следует, что и в пространстве «обоб- щенные окружности» переходят в «обобщенные окружности» Теорема 5. Инверсия сохраняет углы между кривыми. Доказательство аналогично доказательству теоремы 2. П Замечание 1. Пусть М, М' — точки, соответствующие друг другу при инверсии относительно окружности С радиуса В, и пусть а, и' — их расстояния от С со знаком (считаем й ~ 0 для точки внутри окружности С и 6' ~ 0 для точки вне окружности). Тогда Н1.1. пАРАллельное пРоектнРОВАнне зз! выполняется равенство ! ! ! — + —. = —.
А Ь' Л )тогда окруи ность С, «расширяясь», переходит в пред ле в прямую с при )И- оо, тогда и'- — 6, т, е, в пределе инверсия дает отражение относительно прямой с. Замечание 2. Отображение, сохраняющее углы между кривыми, называется конформным. На плоскости существует чрезвычайно много конформных отображений. Так, внутренность круга допускает конформное отображение на любу!о односвязную об;.асть (т.
е такую, в которой всякая замкнутая кривая может быть стянута в точку). Это теорема Рих ана. Ихонформные отображения на плоскости представляются аналитическими функциями комплексной геременной, и всякая такая функция задает конформеое отображение. Но в пространстве всякое конформное отображение любой области является композицией инверсий и ст, ал елй относительно плоскостей — «инверсий» отно;.нтельно сфер бесконечного радиуса. (Это теорема франиузского математика Ж. Лиувилля (1й09 — 181)2).) Глава П! тьФФМММЫЕ ПРЕОБРИОВДМИЯ И ДФФМММДЯ ГЕОМЕТРИЯ $ !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
