1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 58
Текст из файла (страница 58)
пгеовевзовхния. дгггне гкомятгии Так как разложение вектора по двум независимым векторам еь ез единственное, то множители при е, и, ег в обеих частях равны, поэтому получаем формулы л', = а„х, + аых, + Ьп хг= а„х, + а„х, + Ь,. (7) Аффпнное отображение обратимо, поэтому как х',, х' выражаются через хь хи так и обратно: хь х, должны выражаться через х',, х',; т. е. уравнения (1) должны быть однозначно разрешимы относительно хь хь Невбходимым условием такой разрешимости системы уравнений является неравенство нулю ее определителя; так что определитель в (7) отличен от нуля, что н требовалось доказать.
Доказательство для пространства отличается от приведенного доказательства для плоскости только тем, что появляется третья координата вместе с третьим базисным вектором. Читатель сам изложит для себя получающийся таким образом вывод. П Иредстввлеаив наложении в прямоугольных кпордннатак. Наложение представляем собою аффинное преобразование, поэтому оно представляется в координатах таким же образом. Однако если пользоваться прямоугольными координатами, то коэффициенты в формулах (!)„(2) обладают особыми свойствами, такими же, как в преобразовании прямоугольных координат.
Именно в матрице (таблице) этих коэффициентов сумма их квадратов в каждой строке, как и в каждом столбце, равна единице, а суммы произведений одноименных коэффициентов из двух разных строк, как и двух разных столбцов, равна нулю. Для двух переменных — формулы (1) — сказанное выражается так: для строк апал + а па„= О н аналогично для столбцов. Для трех переменных— формулы (2) — для первых строк ап+а'„+ам=1, а„а„+а„а +а, а, =О и аналогично для других строк и для столбцов. н: к пеедстквления леьинных отовгяженип зз1 Матрица с такими свойствами называется ортогоьа-ганой, а преобразование переменных с такой матрннен называется ортогональным.
Это свойство матрицы коэффициентов обусловлено нх геометрическим смыслом, который мы сейчас выясним, доказав следуюгцу1о теорему. Теорема 2. Н аложенис представляется з прямоугольных координатах .ортогональным преебразоеакием. Его коэффициентгя — это косинусы углов между исходными базисными векторами и теми, в какие они преобразуются при наложении, До к аз а тел ьство. Проведем его для случая пространства.
В пространстве формула (б) для радиус-вектпра ОМ' примет вид ех, + етх2+ езхз = е~х~ + езхз+ езхз+ е~Ь~+ езЬ2+езЬ3. (о) Векторы е,, как и е,'., единичные и взаимно ортогональные: ет=е';= е2= 1, 3 Е,Е2 = Е,Е = ЕЗЕ, = О. Поэтому, умножая 18) на е,, еь и е„получим х', = (е,е',) х, + (е,е,') х, + ~(е,е') х + Ьо Х2 (езе ) Х + (еэе ) Хэ + (езеа).Х3 + Ье 3 ( 34) ~+( 32) 2+( 33) 3+ 3 Стоягцне здесь скалярные произведения и есть коэффициенты ао в формуле. Так как векторы е, 'единичные и взаимно ортогональные, то скалярные произвеленин е,е,', езе,'., е,е,'.
суть не что иное, как координаты векторов еь е2, е3 относительно векторов е,', е', е,'. А так как сами еь еь е3 единичные и взаимно ортогональиые, то для них сумма квадриаов координат равна единице, а сумма произведений нх одноименных координат, т. е. их скалмрное произведение, равна нулю. Аналогично видно, что коэффициенты при х2— это координаты вектора е2 относительно векторов е,', е', е', и тот же .смысл имеют коэффзьцненты при Хз н кь А так как векторы ан и', е', единичные и зхз часть з пявовяхзовхння, дяхгие гвомвтяии взаимно ортогональные„то и для коэффициентов по столбцам получается то же: суммы квадратов равны единице, а суммы попарных произведений из разных столбцов равны нулю.
Итак, доказано, что матрица коэффициентов ам ортогональная. Так как векторы еп е единичные, то скалярное произведение пх — это косинус угла между ними: а = е,е' = соз ~(еп е'„), что и требовалось доказать. П Замечание о гладких отображениях. Аффинные отображения играют важную роль не только сами по себе, но и потому, что всякое «не слишком скверное», «гладкое» отображение является аффинным «в бесконечно малом», т. е, во всякой малой области с точностью до величин, пренебрежимо малых в сравнении с размерамп самой области.
Так, всякая упругая деформация представляет для малого куска деформируемого тела его аффинное отображение с точностью тем большей, чем меньше кусок. Поэтому для такого куска деформация представляет собою, в согласии с теоремой 3, 3 3, сочетание перемещения с растяжением по трем взаимно перпендикулярным направлениям, тем точнее, чем меньше рассматриваемый кусок. При упругой деформации плоской пластинки или пленки, скажем, из резины каждый малый ее кусок испытывает в соответствии с теоремой 2 $3 некоторое перемещение и растяжение по двум взаимно перпендикулярным направлениям (опять-таки, тем точнее, чем меньше кусок). Перемещение не приводит к деформации, так что деформация в собственном смысле слова всегда сводится в малых частях деформируемого тела к растяжениям или сжатиям по трем или двум взаимно перпендикулярным направлениям, Одно из них — направление наименьшего растяжения, другое — направление наибольшого растяжения.
Математически это представляется для плоских фигур так. Пусть 6 — область на плоскости а, и пусть задано ее отображение ) в плоскость р (может быть, совпадающую с а). Пусть в плоскостях а, р введены 1Н.Е, ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АФФИННЫХ ОТОБРАЖЕНИЯ 353 координаты х, у и и, о — прямоугольные или, вообще, аффннные. Отображение 1 представляется так, что каждой точке М(х, у) из области 6 ставится в соответствие точка ттг(и, о): и=и(х, у), о=-о(х, У). Обратное отображение представляется аналогично: х=-х(и, о), у=у(и, о).
Пусть фигурирующие здесь функции дифференцируемы. Тогда обозначая через и„, ..., о„частные производные от и, о по х и у, получаем дифференциалы: т!и =иа е(х+ иа ду, ето = о„т!х+ оа е!у, (9) и аналогично т(х, ету выражаются через т(и, т(о. Поэтому формулы (9) обратимы, так что определитель не равен нулю: (!О) Возьмем точку (ха, уа) из области еа и положим на=и(ха уа) оа о(ха уа) и — на=Ли, о — оа — — Ло, х — ха — — Лх, у — уа=бу. Согласно известным выводам дифференциального исчисления приращение функций и, о будет и Д +и А 1 ~лха+Ауа (! !) Ло = о, Лх + оа Ьу + е, ч(оха + Лу~, где и„..., о„— частные производные в точке (ха, уа), т. е, некоторые числа, а еь еа-а 0 при ~/Лх'+ Луа- О. Если пренебречь членами с еь еа, то формулы (!1) ввиду условия (!О) представляют аффинное отображение.
В трехмерном случае вывод будет аналогичным. !2 А. д. Ааеаеааааееа, Н. Ю. Нецаетаеа З5« часть а. пРеОБРлзования. ДРУГие геометяии Глава 1'в' ИРОЕКТИВИАЯ ГЕОМЕТРИЯ й 1. Проективная плоскость и проективная геометрия Проективная геометрия возникла из изучения проектирования фигур на плоскость из какой-либо точки — центра проекции. При проектировании с плоскости сс на плоскость сс' из центра О точке М ее а сопоставляется точка М' ~ а', в которой прямая ОМ пересекает плоскость сс'.
Предполагается, что плоскости а, а' не проходят через центр О (рнс. 64). Свойства плоских фн- гур, сохраняющиеся при и' проектировании, называются проектиеными, учение о них и составляет предмет проектиеной геометрии на плоскости. Рас. 64 Однако тут есть суще- ственная трудность. Она состоит в том, что если плоскость а' не параллельна плоскости сс, то прямая ОМ может оказаться параллельной плоскости а'.
Тогда точки М' нс существует: точка М не имеет проекции. Чтобы обойти это, считают, что такая прямая ОМ «пересекает» плоскость а', но только в «бесконечно удаленной точке». Когда точка М, двигаясь по прямой в плоскости сс, приближается к такому положению, то прямая ОМ становится параллельной плоскости а', проекция точки М вЂ” точка М' — удаляется в бесконечность. Но теперь мы считаем, что она приближается к соответствующей бесконечно удаленной точке (как на рис.
68). Считается, что все бесконечно удаленные точки плоскости образуют на ней одну «бесконечно удаленную прямую». Это обосновывается из свойств проектирования. Для этою рассмотрим проекции прямых н докажем, что проекция прямой, вообще говоря, представляет собой прямую. ПС Ь ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ Действительно. Возьмем в плоскости а какую-нибудь прямую а Через нее и через центр проекции О проходит плоскость (рис. 65) Эта плоскость р содержит все прямые, вдоль которых проектируются точки прямой а. Поэтому проекции всех этих точек, образуя проекцию прямой а, образуют вместе с тем пересечение плоскостк р с плоскостью проекции а'.
А пересечение двух плоскостей представляет собою прямую а'. Значит, проекция прямой есть прямая. Кроме одного случая! Р«с. 65 Рис. 66 Если плоскость (э параллельна плоскости а', то никакой такой прямой а' нет. И пряные. проходящие через центр О и лежащие в плоскостк р, и тем самым параллельные плоскости а', по условию «пересекают» ее в бесконечно удалснных точках. Соответственно мы считаем, что плоскость 6 «пересекает» плоскость а' по «бесконечно удаленной прямой», которая образуется всеми бесконечно удаленными точками плоскости а' (рис.
66). Кроме того, можно заметить, что у всех прямых плоскости с», пересекающих прямую а, точки их пересечения с а проектируются в бесконечно удаленные точки. Поэтому считать, что проекция прямой есть прямая, можно, только учитывая бесконечно удаленные точки. Именно имея в виду все эти оговорки, мы и сказали, что проекция прямой, «вообще говоря», 35В ЧАСТЬ 3. ПРЕОВРАЗОВАИИЯ. ЦРУГИЕ ГЕОМЕТРИИ представляет собой прямую. Но теперь можно утверждать: Проекция всякой прямой представляет собой прямую, поскольку к прямым присоединяется бесконечно удаленная прямая, образованная всеми бесконечно удаленными точками плоскости. На плоскости а тоже вводится бесконечно удаленная прямая, так что и ей приписывается проекция.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
