1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 53
Текст из файла (страница 53)
38 Рис. 39 их с другими частями фигуры так, что при бесконечном продолжении фигура имела бы симметрию в исходном определении. В таком же смысле можно говорить о переносной симметрии кристаллической решетки или чугун- 1.К 11РАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ з1т ной решетки (рис. 38), бордюра нли орнамента 1рнс. 39).
Рис 40 В архитектуре симметрия зданий и фасадов играет существенную роль, как геометрическая основа прекрасного (рис. 40). й 6. Правильные многогранники Виды правильных многогранников. Многогранник называется правильныч, если у него все ребра равны, все плоские углы на гранях равны, все двугранные . -Гы "анны. П: равенства ребер и плоских углов следует, что грани зргвизьного многогранника представляют собой равные правильные многоугольники. Аналогично пз равенства плоских и двугранных углов следует, что все многогранные углы при вершинах равны. Многогранным углам соответствуют сферические многоугольники па единичной сфере. В данном случае у этих многоугольников стороны и углы равны, Поэтому они равны и являются правильными совершенно аналогично плоским многоугольникам.
Они выпуклые, как и плоские правильные многоугольники. Правильные многогранники определяют нередко несколько иначе (в школьных учебниках). Многогранник правильный, если Он выпуклый, все его грани — равные друг другу правильные многоугольники и во всех вершинах сходится одинаковое число а)а чАсть 3 пРеОБРАЗОВАния.
дРуГие ГеОметРНН граней. Это определение равносильно предыдущему, но то определение ясно показывает, в каком смысле многогранник правильный: все его соответственные элементы — ребра и углы — равны (подобно правильному многоугольнику), Кроме того, при втором определении равенство всех двугранных углов требует особого доказательства ') (о чем в школьных курсах не говорят). Рис 42 Рпс, 4) Рпс. 43 Рис. 44 Рнс. 45 Из школьного курса известно, что есть пять и только пять типов правильных многогранников: !) тетраэдр (в переводе с греческого 4-гранник, рис.
4!); 2) куб (гексаэдр — б-гранник, рис. 42); 3) октаэдр (8-гранник, рис. 43); 4) додекаэдр (12-гранник, рис. 44); 5) икосаздр (20-гранник, рис. 45), ') Выполняется общая теорема: у выпуклых многограпни. ков, одинаково составленных нз соответственно равных граней, соответственные двуграиные углы равны (теорема была доказана Каши и доказательство ее непросто).
Можно сослаться на агу теорему. Это, очевидно, нужно только в случае, когда в вершинах сходится более 3-х граней. !.З. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАНИИКИ 319 Вопрос состоит в том, чтобы: (!) указать построение этих многогранников и тем самым убедиться, что такие правильные многогранники действительно существуют; (1!) доказать, что других правильных многогранников нет '). Рассмотрим оба вопроса совместно. Мы установили, что многогранные углы правильного многогранника выпуклы. Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360'. Угол правильного л-угольника равен 180 — —.
Поэтому если выпуклый многограно Ш н иый угол составлен из и таких углов, то должно быть !80лг(1 — — ) < 360, т. е. ги (! — — ) < 2, откуда 1 ! 1 — + — )— лг л 2 Кроме того, очевидно нт ) 3 и л ) 3. Поэтому лг и л ( 6, н есть только следующие возможности: 3 3 Трн случая треугольных граней, один — четырехугольных и один — пятиугольных. Тре)тольники, сходящиеся в одной вершине, образуют боковую поверхность правильной пирамиды. Тетраэдр представляет собою правильную трехгранную пирамиду со всеми равными гранями. Октаэдр составляется из двух пирамид с квадратным основанием. Другой возможности для того, чтобы в вершине сходилось по 4 треугольника, нет. (Если взять три квадрата, лежащие в трех взаимно перпендикулярных плоскостях, с попарно общими диагоналями, то их стороны дадут ребра октаэдра,) ') Рассматривают еще чправильные многогранники» в кругом смысле: такие у которых «грани» вЂ” плоские замкнутые ломаные — звездчатые.
Но вто — многогранники в другом смысле. Вэп часть з пгаовьхзовлння дгггпе гсомвтжщ Икосаэдр составляется из двух правильных пятиугольных пирамид, прилегающих основаниями к «скрученной призме» с пятиугольными основаниями и с !О правильными треугольными боковыми гранями (рис. 46) (Впрочем, еще нужно убедиться, что вес многогранные углы будут равны.) Куб строится очевидным образом.
Для построения додекаэдра складываем два правильных пятиуготьиика по стороне так, чтобы к ним по двум сторонам можно было приложить еще один такой же пятиугольник. Этого, очевидно, можно добиться, если, сложив два пятиугольника, увеличивать затем двугранныи угол между ними. Посимметрии пятиугольнпк так же можно будет приложить ь двум другим сторонам (у другого конца общей стороны; рис.
47). Так складывая пятиугольники, построим !;,.:,:;:('с:.".',:. их пояс вокруг одного из них. Это ''г даст половину додекаэдра, другая построится так же. Углы будут схоРис 46 диться по доказанному — из симмет- рии. Между правильными многогранниками есть двойственность Центры граней одного служат вершинами другого, и обратно. Тетраэдр двойственен тетраэдру (рис. 48). Октаэдр — кубу, и куб — октаэдру (рис. 49).
Икосаэдр— додекаэдру, и додекаэдр — икосаэдру (рис. 50). Поэтому, построив додекаэдр, можно по центрам его граней построить икосаэдр. Из построения додекаэдра ясно, что другого выпуклого, и тем более правильного, многогранника, со. ставленного из правильных пятиугольников, быть не мажет. Многогранник, у которо~о по пять треугольников сходится в вершине, двойственен многограннику с пятиугольными гранями, т, е, додекаэдру. Следовательно, он — икосаэдр. Симметрия правильных многогранников.
Теорема 1. Рассмотрим данный правильный многогранник Р. Пусть А — его вершина, а — ребро с канцон А, а — гринь со стороной а. Для любых других аналогичных его элементов А', а', сх' существует 3ЗР ЧАСТЬ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, ДРУГИЕ ГЕОМЕТРИИ наложение л1ногогранника Р на себя, переводящее А' в А, а' в а, а' в а. Д о к а з а т с л ь с т в о. Переносом многогранника переведем вершину А' в А. Поворотом многогранника вокруг А переведем перенесенное ребро а' в а, Поворотом многогранника вокруг ребра а приведем (перенесенную и повернутую) грань а' в совпадение с гранью а.
Так как грани равны, то грань а' полностью совместится с а. Так как двугранные углы равны, то для граней р и ()', смежных с а н а', есть только две возможности: 1) б' совпадает с б; 2) ()' не совпадает с б, но будет симметрична р относительно плоскости грани 1х. В таком случае отражением в этой плоскости переведем б' в б. Итак, наложением всего многогранника Р мы совместили вершину Л' с А, ребро а' — с о, грани а', р', смежные по ребру а', — с гранями а, (3, смежными по ребру а. Убедимся, что при этом многогранник оказывается совмещенным сам с собой.
Две грани многогранного угла при вершине Л совпали (а' с а, б' с б). Перейдем к граням у и у', соседним с (1. Двугранные углы, которые онп образуют с б, равны и расположены с одной стороны — с той же, с какой лежит грань а. Поэтому грань у' совпадает с у Так убедимся, что многогранные углы при вершине А совпали. Переходя к другой вершине, соединенной с А ребром, впало.
гично уГ>едимся, что и при этой вершине многогранные углы совпадают. И так пройдя по всему многогракнику, убедимся, что он совпал сам с собоп, что и требовалось доказать. П Свойство правильных многогранников, установленное доказанной теоремой, означает, что оми обладают, так сказать, максимальной мыслимой симметрией. Наложение, совмещение многогранника самого с собою, неизбежно совмещает какую-то вершину А' с А, ребро а' — с а, грань и' — с а, и примыкающую грань й' — с б. Наложение этим вполне определено, оно только одно.
Поэтому максимальное число возможных наложений будет тогда, когда каждую совокупность А, а, а, () можно перевести в каждую. А это так у правильных многогранников. зз4 пясть х пгеовехзовхния дээгив геометэии Очевидно, верно и обратное. Если многогранник обладает такой максимальной симметрией, то он правильный (так как ребро а совмещается с а', угол на грани сс' при вершине Л совмещаетси с таким же углом, и двугранный угол между и' и (!' совмещается с углом между а и р — так что все ребра и углы равны). Число наложений, совмещающих правильный многогранник сам с собою, равно 2 гпе, где гп — число ребер, сходящихся и одной вершине, и е — число вершин; гпе наложений первого рода и и!е — наложений второго рода. Они н образуют группу симметрии правильного многогранника.
Группы симметрии у куба и октаэдра совпадают ввиду их двойственности. Так же совпадают группы симметрии у додекаэдра и икосаэдра. Группа тстраэдра является подгруппой группы куба, как видно из возможности вложить тетраэдр в куб (рис, 51,а). Наиболее интересные элементы симметрии — это зеркальные оси: 4-го порядка у тетраздра, 5-го порядка — у куба, !О-го порядка — у додекаэдра (рис. 51,б). Убедитесь, что это так, определив, как расположены эти оси. Оси симметрии и плоскости симметрии куба изображены на рис. 51, в, г.
Рассмотрите элементы симметрии других правильных многогранников. Глава !! ПОДОБИЯ И ИНВЕРСИИ В 1. Преобразования подобия Общие свойства подобий. Отображение фигуры называется отображением подобия (или подобием), если при нем отношения расстояний между точками сохраняются, так что все расстояния изменяются в одно и то же число раз; выраженные в каком-либо масштабе, они умножаются иа одно и то же число— коэффициент подобия. Всякое наложение — зто подобие с коэффициентом единица.
Простейшее подобие, отличное от наложения, представляет гомотетия. Гомотетня с центром О и коэффициентом яФО— это такое отображение, при котором всякая точка М 11. 1. пРБОБРАЗОВАто[я подои1я 32з переходит в такую 1И', что ОМ' = !г ОЛ! (рис. 52, в, б для й ) О, Iг ( О). В частности, при я = — ! гомо1стия представляет собой центральную симметрию, При гомотстии с коэффициентом й все векторы умножаются на й. Действительно, если прн гомотстии с центром О и коэффициентом й точки Х, У перешли в Х'„У', то (рпс. 52) ОХ' = яОХ, ОУ' = яОУ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
