1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 51

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 51)

Тогда иь этих отра кеиий относительно с, а, а и Ь— останутся только отражения относительно с и Ь, т. е. поворот. Если сначала происходит перенос — потом поворот, рассуждаем аналогично (проведите эти рассуждения). Теперь докажем вторую часть теоремы 1: Композиция переноса или поворота с отражением дает скользящее отражение (в частности, одно отражение). Доказательство. Докажем это сначала для композиции переноса и отражения, Для этого разложим перенос в композицию двух: один из них производится вдоль прямон, относительно которой происходит отражение, другой — ей перпендикулярно.

Этот зов часть з. пяеовелзовяния дгтгне геомстгни последний вместе с отражением дает отражение относительно параллельной прямой (как непосредственно выводится из леммы !). Теперь докажем, что композиция поворота и отражения тоже дает скользящее отражение.

Пусть сна. чаяа происходит поворот, а потом отражение относительно прямой а. Представим поворот композицией отражений относительно двух прямых, нз которых вторая Ь параллельна а. Композиция отражений относительно прямых а и Ь дает перенос, так что мы получаем уже рассмотренную композицию переноса и отражения. При другом порядке; сначала отражение, потом поворот, вывод будет тот же самый.

Итак, теорема 1 доказана, а вместе с тем завершено доказательство теоремы 2 5 3 о видах отражений на плоскости. П Компезиции отражений в пространстве. Наложения, заданные на плоскости а, переносятся в пространство по перпендикулярам, и всякие наложения в пространстве, сохраняющие какую-либо плоскость и ограничиваемые ею полу- пространства. получаются таким путем. Отражению относительно прямой а со- 1 в ! ответствует при этом отражение относительно плоскости (перпендикулярной сс и проходящей через пряРис. 27 мую а).

Переносу отвечает перенос, параллельный плоскости а. Повороту — поворот вокруг оси, перпендикулярной плоскости а в центре поворота (рис. 27). Эти связи позволяют пересказать выводы предыдущего пункта применительно к пространству. Так, получаем !. Композиция двух отражений относительно параллельных плоскостей представляет собой перенос в перпендикулярном им направлении.

Если отражение происходит сначала относительно плоскости а, потом — р, то перенос происходит от а к б (на удвоенное расстояние между а и Р). Всякий перенос можно представить как композицию отражений относительно двух параллельных пло-. ь с теОРемы о композиции сьосгей. Причем эти плоскости можно параллельно переносить, сохраняя расстояние между ними; отра- жения относительно них будут давать один и тот же перенос. 2. Композиция отражений относительно двух пере- секающихся плоскостей представляет собою поворот вокруг прямой их пересечения. Всякий поворот пред- ставляется как композиция отражений относительно двух плоскостей; пересекающихся по оси поворота. Причем эти плоскости можно поворачивать вокруг осн, сохраняя угол между ними, и поворот будет один и тот же.

Для трех плоскостей есть две возможности рас- положения: они либо пересекаются в одной точке, либо параллельны одной прямой, Этому соответ- ствуют два утверждения о композиции трех от- ражений. 3. Композиция отражений относительно трех пло- скостей. параллельных одной прямой, представляет собой скользящее отражение (в частности, одно от- ражение).

И всякое скользящее отражение можно представить как композицию трех отражений. Это сводится к соответствующему утверждению для на- ложений в плоскости, перпендикулярной трем данным плоскостям. Два отражения дают перенос или пово- рот, и потому данное утверждение равносильно тому, что в плоскости композиция поворота или переноса с отражением есть скользящее отражение.

(Подроб- ности остаются читателю.) На этом прямые следствия утверждений, касаю- щихся наложений в плоскости, кончаются. 4. Композиция трех отражений относительно пло- скостей, пересекающихся в одной точке, представляет собой зеркальный поворот, Доказательство. Пусть отражения последо- вательно происходят относительно плоскостей а, р, у. пересекающихся в одной точке. Повернем плоскости !х, р вокруг прямой их пересечения так, чтобы пло- скость р перешла в р' (. у (а перейдет в некую а'). Теперь повернем 8' и у вокруг прямой их пересечения так, чтобы у перешла в у'1 а (()' перейдет в ()").

Мы получили а' 1 у' и (г" (. у'. Тут уже видно, что композиция отражений относительно этих плоскостей есть зеркальный поворот (рис. 28). ЗОВ ЧАСТЬ Э. ПРЕОЬРАЗОВАИИЯ. ДРУГИЕ ГЕОМЕТРИИ Композиция наложений в пространстве. Здесь мы докажем теорему 3, $3, о композициях, хотя и не в полном объеме, но именно так, как оиа используется в доказательстве теоремы ! 5 3, о видах наложений в пространстве. Там наложенИе было представлено переносом и двумя поворотами вокруг пересекающихся осей с возможным добавлением отражения.

Вот мы и докажем; Теорема 2. Указанная композиция наложений без отражения, представляет со- Г бою винтовое наложение, а с добавлением отражения— скользящее отражение или зеркальный поворот. Д о к а з а тельство разбивается на доказательства трех утверждений. !. Композиция двух поворотов вокруг пересекающихся осей представляет собой поворот (вокруг оси, проходящей через точку пересечения осей). Доказательство. Пусть два поворота происходят последовательно вокруг пересекающихся осей. Пусть а — плоскость, проходящая через эти оси.

Тогда мы можем представить каждый из поворотов композицией двух отражений так, чтобы у каждого одно из отражений происходило относительно плоскости а. Первый поворот представляем так, чтобы это отражение было вторым, а второй — так, чтобы оно было первым. Первый поворот представляется отражениями сначала относительно подходящей плоскости )), а потом — а; второй — сначала относительно ес, потом относительно подходящей плоскости у.

Прн последовательном осуществлении этих отражений отражения относительно плоскости а взаимно компенсируются. Поэтому останутся только отражения относительно плоскостей й и у. Оии дают некоторый поворот, который, таким образом, и представляет композицию двух данных поворотов. П 2. Композиция переноса и поворота представляет собою винтовое наложение. Доказательство.

Пусть происходят последовательно перенос и затем поворот. Разложим пере- !. 4 ТЕОРЕМЫ О КОМПОЗИЦ!!Н вос на два: один Т, вдоль осн поворота, другой Т,— перпендикулярно ей. В плоскости, перпендикулярной сси. п«р«нос Т, и поворот представляется (согласно связи наложений в плоскости и в пространстве) как перенос и поворот. По доказанному выше их композиция представит поворот в плоскости, а он, в свою Очередь, определяет в пространстве поворот вокруг осн, перпендикулярной плоскости и, тем самым,— параллельной оси исходного поворота.

Поэтому оставшийся перенос Т!, параллельный оси. дает в сочетании с этим поворотом винтовое наложенн«, что и требовалось. П Если сначела производится поворот, потом — перенос. то вывод тот лге. 3. Композиция винтового наложения и отражения преоставл.чет собой зеркальный поворот или скользящее отражение. Л о к а з а т е л ь с т в о.

Пусть происходит композиция винтового наложения с отражением относительно плоскости а, пересекающей его ось в некоторой точке О. Представим перенос, входящий в данное винтовое наложение, отражениями относительно двух плоскостей Р, р!, из которых ))! проходит через точку О. Поворот, входящий в данное винтовое наложение, представим как композицию Отражений относительно двух плоскостей; обе они проходят через ось и значит — через точку О. Таким образом, у нас получаются отражения относительно четырех плоскостей, проходящих через точлу О. н -ше отрал ение относительно плоскости )).

Соединяя попарно отражения относительно плоскостей, проходящих через точку О, получили два поворота, а их композиция представляет собой один поворот, т. е. два отражения. Вместе с отражением в плоскости б это дает три отражения. А по утверждению 4 предыдущего пункта они дают зеркальный поворот или скользящее отражение. П Таким образом, теорема 2 полностью доказана, а вместе с этим завершается доказательство теоремы ! $ 3, о видах наложений в пространстве. П Завершение доказательства теорем о композициях наложений.

Так как доказаны теоремы о видах на. ложений на плоскости и в пространстве, то тем ЗГО ЧАСТЬ 3 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, ДРУГИЕ ГЕОМЕТРИИ самым доказано, что композиции наложений могут давать лишь наложения этих видов. А сведение наложений к композициям отра;кений вытекает из доказанного выше. Без ссылки на теоремы о видах композиции можно рассудить так. Как доказано, в плоскости поворот с переносом дает поворот. Поэтому поворот можно представить как композицию поворота вокруг любого другого центра с переносом. В пространстве это позволяет переносить ось поворота, компенсируя это добавлением переноса, перпендикулярного оси поворота.

Поэтому если даны два винтовых движения, то можно добавлением переноса привести к тому, что их оси будут пересекаться. Это дает один поворот в композиции с переносами. А это приводит к винтовому наложению. Так любую композицию винтовых наложений, объединяя их попарно, можно привести к винтовому наложению. Добавление отражения дает, как уже доказано, скользящее отражение или зеркальный поворот.

Характеристики

Список файлов книги