1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Отсюда Б1П Р Б1П У Б1'П Ь БП1 С Аналогично, проводя высоту из вершины В, по- Б1П и Б1П У лучим, что = . Поэтому Мп О Б1П С мпп мп1! мпу Бп1о Б1пЬ Мпс и теорема синусов доказана. Докажем теорему косинусов. С этой целью применим теорему косинусов для прямоугольных треугольников к ЬАИС. Тогда, полагая ВН = а„получим СОЗ С = СОЗ а, СОЗ!1. (5) Если точка Н лежит на ВС, то ВС = ВН+ ИС.
Если же В на ИС, то ВС = НС вЂ” ВН (рис. 110), Полагая СН = ав, имеем; либо а = аь + а„либо а = аь — а„ так что а,= а= (а — о,). (б) ') В трехгранном угле с вершиной О этому соответствует плоскость, проходящая через ребро ОА перпендикулярно грани ОВС. Н1. Я. ТРИГОНОМЕТРИЯ ТРЕХГРЛННЫХ УГЛОВ 277 Кроме того, из треугольника АНС видно, что соя Ь = = сова»саад, т. е. созй= —. 005 Ь (7) С05 иЬ ' Теперь, пользуясь (6) и (7), получим из (б) (поскольку косинус сохраняется при перемене знака угла) с05 Ь соя с = соя(а — аь)— (8) 005 аь а так как соя(а — аь)= сояасояаь+ я)п аз(па», то с05 Ь соя с = соя а соя Ь + я1п а я(п а, †.
(9) С05 0Ь Применив теорему таигенсов для прямоугольных треугольников к ЛАНС, получим: 1н аь = 1дь соя у. Подставляя это в (9), получаем сояс = сояа соя Ь+ я)п аз(п Ьсояу. Ь(ы прсдполагалн, что либо точка Н лежит на сторонс ВС, либо  — на НС. Но есть еще возможность, что С лежит на ВН. Тогда ВН = ВС+ СН, т. е. а,=а+ аь. В такач случае в формуле (8) вместо соя(а — аь) будет стоять соя(а+ аь), и поэтому в (9) второй член будет с минусом. НО в этом случае в треугольнике АНС угол при С равен л — у, так что 1д аь = = 1и Ь соя (и — у) = ..1и Ь соя у.
Таким образом, «минус на минус дает пл1ос», и получается та же формула (9) теоремы косинусов. 1) Другое доказательство теоремы косинусов. Пусть дан трехгранный угол с вершиной О и ребрами ОЛ, ОВ, ОС, Пусть а, Ь, с — его плоские углы, противолежащие соответственно ребрам ОА, ОВ, ОС, а у — двугранный угол при ребре ОС (рис. 111). Считаем а, Ь чь 90', Возьмем на ребре ОС единичный вектор е, и пусть 55, и — такие перпендикулярные ему векторы, что е+ 5( оказывается на ребре ОА, а е+ й — на ОВ. 278 ЧАСТЬ Е ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Вычислим скалярные произведения этих векторов на ребрах.
Так как е' = 1 и е 3 2(, то е(е + е() = !. С другой стороны, угол между е и е+ 2( — это угол между ребрами ОС и ОА, т. е, угол Ь. Поэтому е (е+ 22) = ! е 11 е + е( ! сов Ь = ! е + И ! сов Ь. Вместе с предыдущим равенством это дает 1е+ е(!сов Ь = 1, 1 !е+е! = сов Ь.
(10) Соверщенно аналогично, беря е(е+Ь), выводим, что 1е+ Ь )сова=1, 1 !е+Л! = сов а. (11) Теперь вычисляем: (е + д) (е+ Ь) = 1 + сгй (поскольку е'= 1 и е 1 Н и Ь, т. е. еИ = ей =О), 0 С другой стороны, угол между (е+ 2() и (е+ Ь) — это угол между ребрами ОА, ОВ, т. е. угол с. Вместе с предыдущим выражением это дает (е+ 221! е+ Ь !сове = 1+ 22Ь. Отсюда, пользуясь формулами (11), (10), получаем сов с = сов а сов Ь + 12 1е+е)!и+81 ' Рис 111 Вычислим второй член этой формулы.
Вспомним, что векторы 22, Ь перпендикулярны ребру ОС. Позгому угол между ними равен двугранному углу у при этом ребре. Следовательно, 2(й =10 ! 1 Ь ! сов у. (13) Далее, так как 2( ! е, то (е+ е() — гипотенуза в прямоугольном треугольнике с катетами 22, е. По построению вектор е лежит на ребре ОС, е+ с( — на ребре ОА. Поэтому угол, противолежащий катету 22, — это угол Ь.
Таким образом, (22 )=! е+ 22151п Ь. (14) ц!. ь тРиГОнометРии тРехГРАнных УГЯОВ лув Совершенно аналогично выводим, что ! й ! = ! е+ й ! з(п а. (15) Тес.рь, пользуясь (12) — (14), получаем аа — = з(п а з(п Ь соз у. Подставляя зто в (12), получаем соз с = сов а соз Ь+ з!п а з!п Ь сов у. О Теорема 3 !вторая теорема косинусов).
Для трехгр нного игла !или сферического треугольника) при тех ьсе обозначениях, что в теоремах 2, 2а, выполняет'я равенство сазу= — созасозр+ з(пази!(!созе (16) и аналогично для соз а, соз 6. До к а з а тел ь с т в о. Для данного трехгранного угла с плоскими углами а, Ь, с и двугранными углами а. (1, у построим полярный ему трехгранный угол.
У него плоские углы будут а' = и — а, Ь' = и — (1, с' = л — у и двугранный угол у' = п — с. По теореме косинусов соя с'= еаза'сов Ь'+ з!п а' з!и Ь'соьу'. Это и даст (16). П Выводы из первой и второй теорем косинусов. В качестве следствий теорем косинусов мы получим здесь теоремы, уже доказанные в предыдущем параграфе независимым путем (см. теоремы 1, 2, 3, $4). Однако проследить имеющиеся здесь связи будет поучительно. Теорсмы 4, 5 мы формулируем для сферических треугольников, опуская уже неоднократно повторявшийся пересказ для трехгранных углов. Теорема 4. В треугольнике сумма двух сторон болыие третьей. Доказательство.
По теореме косинусов соз с = сОз а соз Ь + з! и а 3!п Ь соз у. Поскольку заведомо сазу ) — 1, то соз с ) соз а соз Ь вЂ” з(п а з!п Ь = соз (а + Ь). И так как косинус — убывающая функция угла, то с ( а + Ь, что и требовалось доказать. П '!хоть в элехгю!Тлнпхя гсомгтгия Теорема 5. Су.илга углов треугольника болшис л: а+()+у) л. Доказательство.
Так как сове .1, то из второй теоремы косинусов сов у < — сов а сов (1 + в!и а в(п и = — сов (а + р), Или так как сову= — сов(л — у), то сов(л — у)) ) сов(а+ р). И так как косинус — убывающая функция угла, то л — у < а+ р и а + р + у ) л. Е) Теорема 6. Сумма плоских догов трехгранного угла меньше 2л. Д о к а з а т е л ь с т в о.
У трехгранного угла, полярного данному, двугранные углы будут а' = л — а, р'=л — Ь, у'=л — с, и так как по предыдущему а'+ (1'+ у' > л, то Зл — (а + Ь + с) > л, т с. а+Ь+с<2л.Е) Замечание. (Переход к плоскости.) При малом х хг юп х = х (1 + е), сов х — 1 — — (1+ 6), где е и 6 — бесконечно малые вместе с х (обе порядка х'). Поэтому для малых сферических треугольников получаем нз теоремы синусов ччр Ь( + и из теоремы косинусов— —; (аз + Ьг — 2аЬ сов у) =! + г! с~ с бесконечно малыми ", гь Поэтому в пределе получаются теоремы синусов и косинусов для плоских треугольников.
Если с мало, то сове = 1 — е, где е стремится к нулю вместе с с(е — с'). Поэтому из второй теоремы косинусов сов у = — сов а сов р (- в!и а в го (1 — 6 = — сов (а+ 6) — 6. Это равенство означает, что с!+ р + у близко к л, и что при с- О, когда 6- О, а+ (1 + у- л. Вторая теорема косинусов в пределе переходит в теорему о сумме углов треугольника. Часть 3 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. ДРУГИЕ ГЕОМЕТРИИ Основной предмет третьей части — различные клас. сы (точнее, группы) преобразований фигур в евклндовом пространстве. С наибольшей полнотой в главе 1 изучены важнейшие преобразования — наложения, т.
е. преобразования, сохраняющие расстояния (их также называют движениями или перемещениями) С наложениями тесно связано понятие о симметрии фигур, пх «правильности». В последующих трех главах классы преобразований последовательно расширяются: подобия сохраняют отношение отрезков, аффннные преобразования — отношения параллельных отрезков, а проек. тпвные преобразования — лишь прямолинейность расположения точек. Каждой группе преобразований отвечает совокупность свойств фигур, сохраняющихся при этих пре. образованиях. Выделение этих свойств — аффинных, проективных — приводит к «другим геометриям»вЂ” аффинной и проективной.
Именно таким путем (а не аксиоматическим) мы излагаем основные положения этих геометрий. В последней главе этой части, расширяя аксиома- тику евклидовой геометрии, мы строим основы многомерной евклидовой геометрии. Гл»па 1 НАЛОЖЕНИЯ й 1. Отдельные виды наложений Параллельный перенос. Он определяется одинаково на плоскости и в пространстве. /7араллельным иереносом или, короче, переносом (или еще сдвигом) фигуры называется такое отображение, при котором точки смещаются в одном и том же направлении на равные расстояния, т. е.
при переносе фигуры 2В2 ЧАСТЬ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. ДРУГИЕ ГЕОМЕТРИИ каждым двум ее точкам Х, У сопоставляются такие точки Х', У', что (рис. !) ХХ' = УУ', (1) Это равенство означает, что направленные отре~ки ХХ', УУ' представляют один и тот же вектор. Стало быть, перенос — это отображение, при котором все уl Рнс, 2 Рнс. 1 точки смеща~отся на один н тот жс вектор — «вектор переноса». Так что если этот вектор обозначить Ф, то для всех точек фигуры ХХ' = г. Теорема 1. Параллельный перенос характеризуется тем, что он сохраняет расстояние и направление, т, е.
каждым двум точкам Х, У сопоставляет такие точки Х', У', что (рис. 2) Х'У' = ХУ. (2) (Так как отображение, сохраняющее расстоянис,— это наложение, то перенос можно определить как наложение, сохраняющее направление.) Д о к а з а т е л ь с т в о. Сказанное следует из того, что равенства (1) и (2) равносильны. П Композиция параллельных переносов есть пираллельный перенос, и отображение, обритное параллельному переносу, есть параллельнГнй перенос. Это непосредственно следует из того, что перенос — это отображение, сохраняющее расстояние и направление. Параллельный перенос задается одной парой соответствующих точек: если указано, какая точка А' ь ь отдельные виды нлложннии 283 соответствует данной точке А, то какая точка Х' отвечает любой другой точке Х, определяется равенством ХХ' = АА'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
