1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 43

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 43)

Ломаная называется выпуклой, если каждая прямая, содержащая се звено, служит ее опорной прямой. Многоугольник выпуклый, если каждая прямая, содержащая его сторону, является его опорной прямой. Это определение применяется также к многоугольнику с внутренностью. Обобщая, вводят следующие Определения. Кривая называется выпуклой, если в каждой ес точке у нее есть опорная прямая (рис. 88) Площадка, как и замкнутая область, называется выпуклой, если в каждой точке ее границы у нее есть опорная прямая (рис.

89). 9 А. Д. Авеасаввров. Н. Ю. Невветаев 988 ЧАСТЬ 2. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Выпуклая ломаная н выпуклый многоугольник подпадают под этн определения, так как каждая точка ломаной принадлежит какому-нибудь ее звену. Опорная плоскость. Выпуклая поверхность. Многогранннк называется выпукльсм, если он лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани Рис.

99 Рис 89 Рис. 88 (рнс. 90). Это определенне одинаково относится как к многогранннку — фнгуре, составленной нз многоугольников, так н к телесному многограннику, Как н для многоугольников, этн определения нз школьного курса обобщаются. Рис. 92 Рис. 91 Определение. Плоскость называется опорной плоскостью данной фигуры, если она имеет с фигурой нлн ее границей хотя бы одну общую точку, но вся фигура содержится в одном полупространстве, ограннченном этой плоскостью (рнс. 9!). Говорят: плоскость опорная к фигуре тт в точке А, если она прн этом проходит через точку А фигуры Р. Пользуясь понятием опорной плоскости, можно пересказать определение выпуклого многогранника. Многогранник выпуклый, если каждая плоскость, со- ПЬ 3.

ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ 259 держащая ее грань, является для него опорной. Обобщая, вводим Определение. Поверхность называется выпуклой, если в каждой ее точке у нее есть опорная плоскость (рис. 92). Выпуклый многогранник подпадает под это определение, так как каждая его точка принадлежит какой-нибудь его грани. Выпуклые фигуры. Есть другое понятие выпуклости, применяемое одинаково к фигурам как на плоскости, так н в пространстве. Фигура называется выпуклой, если вместе с каждыми двумя своими точками оиа содержит и соединяющий их отрезок (на рис. 89 фигура выпуклая, на рис. 87 — не выпуклая), Теорема Е Фигура на плоскости, обладающая внутренними точками и содержащая свою границу, вьо пукла тогда и только тогда, когда в каждой точке границы у нее есть опорная прямая (или, если фигура ограниченная, можно сказать, когда она ограничена выпуклой кривой) (рис. 89).

Совершенно такая же теорема, связывающая введенное здесь понятие выпуклой фигуры с предыдущим, выполняется в пространстве. Теорема 2. Фигура в пространстве, обладающая внутренними точками и содержащая свою границу, является выпуклой тогда и только тогда, когда в каждой точке границы у нее есть опорная плоскость (или, если фигура ограниченная, можно сказать, когда она ограничена выпуклой поверхностью). Выпуклость извне и внутри.

Можно сказать, мы имеет два понятия выпуклости: внешнее и внутреннее. Фигура выпукла извне, если в каждой точке границы у нее на плоскости есть опорная прямая, а в пространстве — опорная плоскость. Это вполне согласуется с наглядным представлением о выпуклой фигуре и выпуклом теле. С другой стороны, фигура вьтукла внутри, если можно любые две ее точки соединить в ней отрезком. В случае, если у фигуры есть внутренние точки и она содержит свою границу, это равносильно тому, что из каждой внутренней точки можно дойтн до любой точки границы, идя по прямой, как в комнате, где нет закоулков.

Две сформулированные теоремы означают, 260 ЧАСТЬ Е ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ что для содержащих свою границу фигур с внутренними точками оба понятия выпуклости равносильны. Такая фигура, выпуклая извне, выпукла также внутри, и обратно. Полное доказательство теорем 1, 2 не совсем просто, и мы не будем его излагать в полной общности, а ограничимся случаем многоугольников и многогранников. Выпуклые многогранники и многоугольники, Рассматриваются плоские многоугольники н телесные многогранники. Теорема 3. Многоугольник или многогранник, выпуклый внутри, является выпуклым также извне. Доказательство.

Пусть многогранник Р— выпуклый внутри. Возьмем какую-либо его грань ф Докажем, что он расположен по одну сторону от содержащей ее плоскости сс. Допустим противное: пусть у многогранника Р есть точки А и В, лежащие по разные стороны от л плоскости а (рис. 93). Тогда, поскольку многогранник Р выпуклый внутри, он должен содержать всякий отрезок, соО единпощий А или В с точками грани ф т.

е он В должен содержать пира- милы с вершинами А, В Ряс. 93 и общим основанием По тогда многоугольник оказывасься внутри многогранника и, значит, не может быть его гранью, Следовательно, многогранник лежит по одну сторону от плоскости грани, что и трсбовалось доказать. Для многоугольника доказательство совсршснно такое жс. Разница лишь в том, что вместо грани берется сторона (г и строятся треугольники с вершинами А, В и основанием ф П Теорема 4. Многоугольник «ли многогранник, вьо пуклый извне, является всянуклым также внутри. Мы докажем даже более общую теорему для лю- бых площадок и тел, поскольку доказательство ничуть не сложнее.

Теорема 5. Площадки и тела, вьи2укльче извне, яв- ляюгея выпукль2ми и внутри, пиз. выпэклые вигггы 2в! Доказательство. Пусть тело Р выпукло извне, так что в каждой точке его границы сеть опорная плоскость. Докажем, что тогда отрезок, соединяющий любую его внутреннюю точку А с какой-нибудь другой его точкой В, содержится в теле Р. Действительно, допустим противное: пусть на отрезке ЛВ есть точка С, не принадлежащая телу Р. Тогда по теореме П.

4,! на этом отрезке есть точка границы тела. В этой точке, по условию, есть опорная плокость. Эта плоскость а не может проходить через точку А, так как та лежит внутри Р: иначе с обеих сторон от плоско- Я сти к лежали бы точки и тела и плоскость а не была бы опорной (рис. 94). Следовательно, плоскость а пересекает отрезок АВ.

Но тогда точки Рнс. 94 А и В лежат с разных сторон от нес, а это противоречит тому, что они принадлежат телу и плоскость а — опорная к нему. 11так, отрезок, соединяющий две точки тела Р, из которых хотя бы одна внутренняя, содержится в Р. Пусть теперь точки Л, В лежат на границе тела. По самому определению тела его граница является границей его внутренности, Тем самым сколь угодно близко и граничным точкам А, В есть внутренние точки тела. Мы можем, стало быть, взять точки А„, В„ (а =-- 1, 2, ,) так, что Л„ -» А, В„ — В. Тогда отрезки А„В„ «сходятся» к отрезку Л В.

Так как точки А., В„ внутреннис, то, по доказанному, отрезки А.В. содержатся в теле и даже внутри него. Поэтому и отрезок АВ содержится в теле, что и требовалось доказать. Доказательство теоремы для площадки то же самое. Нужно только в первой части доказательства, рассматривая отрезок АВ, сослаться на существование опорной прямой; оиа разделит точки А и В.

Читатель сам проведет это доказательство. П О выпуклых фигурах. Речь идет о выпуклых фигурах в общем их определении — изнутри. Такая фигура на плоскости или в пространстве не обязана иметь внутренние точки. Пример представляют отрезок, 262 ЧАСТЬ Е ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ прямая, одна точка, пустое множество. (По определению фигура выпукла, если для каждых двух ее точен отрезок, их соединяющий, содержится в фигуре; так что если двух точек нет, то условие выполнено.) Теорема 6, Пересечение любой совокупности выпуклых фигур есть выпуклая фигура. Д о к а з а т е л ь с т в о. Точки А, В, принадлежащие пересечению фигур, принадлежат каждой из них.

Поэтому если фигуры выпуклы, то и отрезок АВ содержится в пих всех и, значит, содержится в их пересечении. Значит, оно выпукло. П Следствие 1. Пересечение выпуклой фигурь1 с плоскостью есть вьтуклая фигура. П Следствие 2. Пересечение выпуклой фигуры с полупростронством преостовля1.т собой выпуклую фигуру. П В этом смысле всякая плоскость, пересекающая выпуклую фигуру, дел1ГГ ее на две выпуклые фигуры. (Точки исходной фигуры, лежащие на самой делящей плоскости, можно отнести к каждой нз получающихся выпуклых фигур.) А' в' Теорема 7. Проекция пространственной выпуклой фигуры на плоскость есть выпуклая фигура Рис 95 (это верно для каждой параллельной проекции).

Доказательство очевидно из рис. 95. П Площадь выпуклой поверхности. Площадь многогранной поверхности естественно считать равной сумме площадей сс граней, Площадь поверхности выпуклого тела можно тогда определить как инфимум площадей заключающих это тело замкнутых многогранных поверхностей. При этом достаточно ограничиться выпуклыми многогранными поверхностями, описанными вокруг исходного тела, т,е.такими, грани которых лежат в его опорных плоскостях.

Пользуясь таким определением, можно, например, показать, как это делается в школьном курсе, что площадь сферы радиуса )с равна 4п)сх. Для случая пьс многог хнные юлы выпуклых поверхностей, образующих лишь часть границы выпуклого тела, наше определение требует некоторой модификации, Подробнее понятие площади поверхности (как и длины кривой) обсуждается в части 4. А в следующем параграфе мы узнаем, как найти площадь произвольного сферического много- угол ь ни ка. $4. Многогранные углы и сферические многоугольники Связь многогранных углов и сферических многоугольников.

Характеристики

Список файлов книги