1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Пара точек А, А' задает вектор переноса а = АА'. Прн переносе на вектор а радиус-вектор ОХ произвольной точки Х получает слагаемое а: ОХ' = ОХ+ а. Поэтому если к, у, — — координаты точки Х, а к', у', е' — точки Х'; а, Ь, с — координаты вектора а, то х'=х+ а, у'=у+ Ь, я'=а+ с. Так представляется перенос н координатах в пространстве. На плоскости — так же с двумя координатами.
Перенос любой фигуры можно распространить на все пространство, перенося любую точку Х на вектор переноса а. й!ежду векторами и переносами есть полное соответствие: 1) каждый вектор определяет перенос, н обратно: каждый перенос задается вектором; 2) сложению векторов соответствует композиция переносов (она представляется сложением векторов этих переносов); 3) противоположный вектор соответствует обратному переносу.
Сказанное требует уточнения. Перенос, как всякое отображение, определяется парами соответственных точек. Поэтому переносы разных фигур — это разные отображения, если они задаются одним и тем же вектором, но на разных фигурах. Перенос точки А в точку А' — не то же, что перенос точки  — в В', хотя векторно может быть АА' = ВВ'. Поэтому точное соответствие между векторами и переносами есть только тогда, когда берутся переносы всего пространства или плоскости, если имеются в виду векторы на плоскости.
Центральная симметрия. Центральная симметрия определяется одинаково и на плоскости, и в пространстве. ЕВ4 ЧАСТЬ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. ДРУГИЕ ГЕОМЕТРИИ Точки А, А' называются симметричными относительно точки О, если она служит серединой отрезка АА' (рис. 3) Точка 0 считается симметричной сама себе (относнтельно 0). Две фигуры называются симметричными относительно точки О, если они образованы попарно симметричнымн точками, т. е.
для каждой точки одной фигуры есть точка, симметричная ей относительно 0 в другой фигуре, и обратно (рис. 4). В частности, фигура может быть симметрична сама себе. Тогда для каждой ее точки в ней есть точка, симметричная относительно О, В таком случае точка 0 называется центром симметрии фигуры, Рис. 3 Рис 4 Рас. 5 а сама фигура — центрально симметричной (относительно 0) (рис, 5). (!римеры: шар симметричен относительно своего центра, параллелепипед — относительно точки пересечения диагоналей, круговой цилиндр — относительно середины своей оси, и т.
д. Центральной симметрией с центром 0 называется отображение, сопоставляюшее каждой точке отображаемой фигуры точку, ей симметричную относительно О. Отношение между симметричными точками взаимно; если А' симметрична А, то и А симметрична А'; позтому отображение, обратное центральной симметрии, — зто та же центральная симметрия. Теорема 2.
Центральная симметрия сохраняет расстояния, а все направления изменяет на противоположные, То есть если при центральной симметрии точкам Х, У соответствуют точки Х', У', то Х'У' = — ХУ. ь ь Отдельные виды нхложенин Обратно: отображение с такими свойствами есть центаальная симметрия. .Дока з а тель ство.
Пусть при симметрии с центром О точки Х, У отображаются в Х'„У'. Тогда, как следует нз определения центральной симметрии, ОХ' = — ОХ, ОУ' = — ОУ. (3) Вместе с тем ХУ=ОУ вЂ” ОХ, Х')"=ОУ' — ОХ'. Поэтому нз (3) следует Х'У' = — ОУ+ ОХ = — ХУ. Обратно. Пусть нмеется отображение фигуры Г, сохраняющее расстояние н изменяющее направление нз противоположное. Возьмем какую-либо точку Л = Р, и пусть А'= ((Л) — ее образ, Π— середина отрезка АА' (или сама точка А. если А' совпадает с А).
Возьмем любую точку Х ев г" н ее образ Х' = ((Х). По усло- Х вню расстояние АХ сохраняется, а направление АХ изменяется на противоположное, по. ЭТОМ)' Л (4) Рие 6 А'Х' = — ЛХ. госкольку Π— середина АА', то Вмс.тя с тем, [рнс. 6) ОЛ' =- — ОЛ. )хрох>е того, ОХ=ОЛ+ АХ, ОХ'= — ОЛ'+ А'Х'.
)(х этих равенств в силу(4) н (б) следует ОХ' = — ОХ. Стало быть, точка Х' симметрична Х относптельно точки О; н так как зто верно для любой точки Х данной фигуры, то рассматриваемое отобра>кение есть ее центральная симметрия, что н требовалось доказать. П эвй часть з. пееоввхзовкния. деэгив гвомвтвин Центральная симметрия задается одной парой соответствующих точек: если А отображается на А', то центр — это середина отрезка АА', Так как центральная симметрия сохраняет рас. стояния, то она представляет собою наложение, н доказанную теорему можно выразить так: Центральная симметрия — это наложение, изменяющее все направления на противоположные. Центральная симметрия любой фигуры естественно распространяется на все пространство.
Каждой точке сопоставляется точка, ей симметричная относительно того же центра. Так же распространяется на всю плоскость центральная симметрия плоской фигуры. Но между центральной симметрией на плоскости и в пространстве есть очень существенная разница. На плоскости центральная симметрия представляет собой поворот на 180' вокруг центра симметрии, как это непосредственно видно, но в пространстве она к повороту не сводится, Отражение (зеркальная симметрия). Скользящее отражение.
На плоскости зеркальную симметрию представляет отражение относительно прямой, в пространстве ее представляет отражение относительно плоскости. Точки А, А' называются симметричными относительно плоскости и, если отрезок АА' перпендикулярен этой плоскости и делится ею пополам (рис. 7). Любая точка плоскости а считается симметричной сама себе относительно этой плоскости. Совершенно так же определяются точки, симметричные относительно какой-либо прямой: нужно только в данном определении заменить плоскость на прямую (рис. 8), Дальше мы будем формулировать определения и результаты для отражения относительно плоскости; для отражения относительно прямой на плоскости они совершенно аналогичны.
Две фигуры называются симметричными относительно плоскости, если их точки попарно симметричны относительно этой плоскости, т. е, каждой точке одной фигуры отвечает симметричная ей точка другой фигуры, и обратно. Если эти фигуры совпадают, т. е. если это одна фигура, то говорят, что она симметрична относительно данной плоскости и что эта плоскость является ее плоскостью симметрии (рис. 9). ь ь отдельные виды наложении 237 Отображение фигуры, яри котором каждой ее точке соответствует точка, симметричная ей относительно данной плоскости, называется отражением фигуры относительно этой плоскости (или симметрией относительно этой плоскости). Симметричность точек очевидно взаимна: если А' симметрична А, то А симметрична А'. Поэтому отражение самому себе обратно. Теорема 3. Отражение сохраняет расстояния.
Рис. 7 Рис. 8 Рис. 9 Доказательство. Пусть отражение происходит в плоскости а. Введем прямоугольные координаты так, чтобы а была плоскостью э =О. Тогда отражение предотавляется как перемена знака а: точке А(х,у, е) сопоставляется точка А'(х, у, — е). В выражение расстоянии входит квадрат разности координат; он ие изменяетси при перемене их знака. Поэтомт и расстояние не язменяется, что и требовалось доказать. В случае отражения относительно прямой а на плоскости вводим координаты, при которых зта а была бы прямой у = 0 (т. е. осью х), и повторяем предыдущее рассуждение.
П Отражение задается парой соответственных точек. Плоскость отражения проходит через середину соединяющего их отрезка перпендикулярно ему. Отражение фигуры в данной плоскости очевидным образом распространяется на все пространство. Теорема 4. Наложение пространства, при котором все точки некоторой плоскости неподвижны, является либо отражением относительно этой плоскости, либо тождественным отображением. ЭЯЯ ЧАСТЬ 3 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. ДРУГИЕ ГГОМЕТРИИ Д о к а з а т е л ь с т в о. Наложение отображает прямые на прямые и сохраняет углы.
Поэтому если всс точки плоскости неподвижны, то прямые, ей перпендикулярные, отображаются иа себя. Отсюда следует сказанное (какй). С) Совершенно так же наложение плоскости, прп котором все точки некоторой прямой неподвижны, является либо отражением относительно этой прямой, либо тождественным отображением. Скользящим отражением называется композиции отражения в плоскости с переносом, параллельным этой плоскости. На плоскости скользящее отражение — это композиция отражения относительно прямой и переноса вдоль этой прямой. Порядок, в каком производятся отражение и псрснос, безразличен: эти отображения нереста новочны (как легко непосредственно убелиться). Симметрия (отражение) относительно прямой в пространстве.
Эго Отображение опрсдслисгся дословно так жс, как отражение относительно прямой на плоскости. Точка Л' симметрнча на точке А относительно прямой а, если отрезок АЛ' перпендикулярен прямой а и делится ею пополам (рнс. 10). Точки прямой а симметричны сами себе. Отраженис в пряь" г А мой а состоит в том, что каждой точке А ставится в соответствие точка А', симметричная А относительно прямой а. Это отображение сохраняет расстояния.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
