1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 45
Текст из файла (страница 45)
д. Так что а, .). Ь,Ь„аз 2. Ь,Ь„..., а„.). ЬлЬ,. (5) чАсть а элементАРнАя ГеОметРия Это аналогично (4) и, значит, угол У является полярным для угла йт. отношение полярности симметрично. Угол (12 также выпуклый (докажите). Граням угла у отвечают перпендикулярные им ребра полярного угла (Р', и обратно. Угол между перпендикулярами Ьь Ь2 к граням а„аь а~а равен дополнению угла между этими гранями до развернутого, т е. плоский угол Ь|Ь2 равен дополнению двугранного угла прн ребре а, до и.
И так в обе стороны (рис. 106; взгляд вдоль ребра а~). Рис 1Об Итак, если а — плоский угол одного из взаимно полярных углов и а — двугранный угол другого при перпендикулярном ребре, то а+ а=и. Сумма углов сферического многоугольника. В случае плоскости сумма углов любого и-угольника равна (и — 2)п. На сфере зто уже не так.
Теорема 4. Сумма двугранных углов (втяпуклого) и-гранного угла больше (и — 2)п. То же верно для углов сферического п-угольника, или, что равносильно: сумма углов, смежных с углами выпуклого сферического многоугольника, меньше 2п. Д о к а за тел ь ство. Ограничимся случаем выпуклого угла. Пусть У вЂ” выпуклый многогранный угол и аь ..., а,— его двугранные углы. Возьмем угол )Р', полярный )т. Его плоские углы а'„..., а'„связаны с а,, ..., а„так, что а =и — а и т. д. 2 ! 11!як МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ и71 Рис. 107 Рис. !ОВ с углом а (рис. !07).
Их плошадь 5(Ол) составляет такую долю плошади всей сферы, какую составляет 2а от полного угла вокрут А, т. е. от 2а: 5 (Ол) = 4н — = 4а. Совершенно так же, проводя большие окружности вдоль сторон ВА, ВС и СА, СВ (рнс. !08), получим (6) По теореме 3 ~' а, '< 2н, Поэтому 1 ! и и (н — а!) < 2а и ~ а, > (и — 2)н, 1 1 ! 1 что и требовалось доказать. П В частности, у трехгранного угла и соответственно у сферического треугольника а, + аз+ ог > а. Площадь сферического многоугольника. Следующая далее теорема 6 устанавливает, что суммы углов в теореме 4 больше (и — 2)п на площадь и-угольника.
Теорема Б. Площадь выпуклого сферического треугольника, расположенного ни единичной сфере, выражается через его углы следующим образом: Я=а+ б+ у — и. (На сфере радиуса Я имеем 5 =(а+ 6+ у— )474 ) Л о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Т вЂ” сферический треугольник с углами а, (), у при вершинах А, В, С. Проведем большие окружности вдоль сторон АВ,.АС Они пересекутся в точке А', симметричной А (относительно центра сферы), н ограничат два двуугольника 272 ЧАСТЬ Е ЭЛЕМЕПТАРНАЯ ГЕОМЕТРПЯ фигуры Ов, Ос с площадями 5(0в) =4(), 5(Ос) =4у.
(7) Пары проведенных больших окружностей, проходящих через А, В, С, пересекаются соответственно в точках А', В', С', симметричных точкам А, В, С, Так что получаются два симметричных треугольника Т = АВС и Т' =А'В'С', 5(Т) = 5(Т ). Фигуры Ол, Ов, Ос покрывают всю сферу, но прн этом покрывак>т треугольники Т, Т' трижды, т, е. два лишних раза. Поэтому 5(ОА) + 5(0в) + 5(Ос) = 4и+ 25(Т) + 25(Т') = = 4и+ 45(Т). Пользуясь (6) и (7), получаем 4 (а + (> + у) = 4и + 45 (Т).
5(Т) =а+ (>+ у — и, Отсюда что и требовалось доказать. П Теорема 6. Площадь сфера>еского и-угольника на единичной сфере выражается чер>з его углы аь ... ..., а„формулой 5 = — ~, а> — (и — 2) и, (8) т, е. она равна разности суммы его углов и суммы углов плоского и-угольника.
До к а затея ь ство. Пусть Р— выпуклый сферический многоугольник. Проводя диагонали из какой-нибудь его вершины, разобьем его на (и — 2) треугольника. Сумма их плошадей даст площадь 5(Р), а эта сумма равна сумме нх углов минус (и — 2)п, Сумма же их углов равна сумме углов многоугольника Р. Поэтому и получается (8).
Если многоугольник не 'выпуклый, то его, вообще говоря, нельзя разбить диагоналями из одной вершины. Но его вообще можно разбить на треугольники и получить ту же формулу (8). Но проводить этот вывод мы не будем. С) Н1. К ТРИГОНОМЕТРИЯ ТРЕХГРАННЫХ УГЛОВ ЕТЗ % б. Тригонометрии трехгранных углов и сферических треугольников Мы рассматриваем выпуклые трехгранные углы н соответственно — выпуклые сферические треугольники, опуская указание на их выпуклость, — она будет подразумеваться. Если а — длина стороны треугольника на сфере радиуса В, то соответствующий плоский угол (в радианной мере) равен —. Но мы будем рассматривать й ' треугольники на единичной сфере — с ГГ = 1.
Тогда а одинаково обозначает и длину стороны, н меру угла. Так будем понимать зсп а и т. п, Для того чтобы перейтн к треугольникам на сфере любого радиуса 2Г, и нужно брать гйп — и т. п. й Трехгранный угол с прнмым двугранным углом. Прямоугольный сферический треугольник. Сформулируем первое из двух равносичьных друг другу утверждений.
Теорема 1. Пасть а, Ь вЂ” катеты и с — гипотенуза прямоигольного Гферссческого треугольника, а — угол, протизолежащий катету а. Выполняются три соотноисения: (1) (2) (3) соз с .= соз а соз Ь вЂ” теорема косинусов, зйп а =- з(п с Гйп а — теорема синусов, 1ц Ь = 1н с сова — теорема тангенсов. Аналогично 51п Ь = 51п с зсп (1, 1сс а =1д ссозТс и т. Г2 Этой теореме соответствует теорема о трехгранных углах. Теорема 1а. Пусть в трехгранно,я угле один двугранный угол прямой, и пусть а, Ь вЂ” образующие его плоские углы, с' — ему противолежащий и а — двугранный угол, противолежащий а. Тогда для этих углов выполняются соотношения (!), (2), (3).
До к а з а т ел ьс т во, Пусть дан трехгранный угол с такими углами, как сказано в теореме. Для определенности будем считать угол а острым (это ничего не меняет). Пусть Π— вершина и  — какая-нибудь точка на ребре угла (1, противоле1кащего Ь. Опустим из точки В перпендикуляр ВС на плоскость угла Ь. Так как плоскость угла а перпендику- 274 ЧАСТЬ Е ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ лярна плоскости угла Ь, то перпендикуляр ВС лежит в плоскости угла а и перпендикулярен плоскости угла Ь (рнс.
!09). Если теперь СА — перпендикуляр к ребру угла а, то отрезок ВА также перпендикулярен этому ребру— по теореме П. 3.8 «о трех перпендикулярах». Так как ВС перпендикулярен плоскости угла Ь, то ВС 1 АС. Итак, мы имеем прямоугольный треугольник АВС и еще три прямоугольных тре- Ф угольника ОВС, ОАС, ОВА. У первого угол С прямой, у двух других угол А прямой. А У треугольника ОВС угол Π— это угол а, поэтому ОС = ОВ соя а. Рис. 109 У треугольника ОЛС угол при Π— это угол Ь и угол А прямой.
Поэтому ОА = ОС соя Ь, и, применяя предыдущее равенство, получаем ОЛ =ОВсояасояЬ. У треугольника ОВА угол при Π— зто угол с, и угол А прямой. Поэтому О А = О В соя с. Сравнивая с предыдущим равенством, получаем соя с = соя а соя Ь. Таким образом, равенство (!) — теорема косинусов — доказано.
Для доказательства двух других соотношений (2), (3) обратимся к треугольнику АВС. В нем угол С прямой, стороны — отрезки АВ, АС вЂ” перпендикулярны ребру ОА. Поэтому угол А — это угол а при этом ребре и ВС = АВ яйп а, ЛС = АВ соя а, (4) Далее, отрезок ВС вЂ” это катет в прямоугольном треугольнике ОВС, противолежащий углу а. ньб. тРиГОнометРия тРехГРАнных уГлОВ йтя Аналогично А — катет в треугольнике ОАВ, про. тиволежащий углу с. Поэтому ВС=ОВяпа, АВ=ОВЕ)пс.
Подставляя эти выражения в первое из равенств (4), получим з)па= яп с яп а. Это теорема синусов (2). Теперь обратимся к треугольникам ОАВ и ОАС. В первом из них угол при А прямой, а угол при О равен с. Г!Озтому АВ = ОА )пс. В треугольнике ОАС угол А прямой, а угол при О равен Ь. Поэтому АС = 0.4 (и Ь. Подставляя эти два равенства во второе равенство (4) и сокращая на ОА, получаем )ЯЬ = (ос сова. Таким образом, соотношение (3) тоже доказано.
П Соотношения в произвольном выпуклом сферическом треугольнике или трехгранном угле. Теорема 2. Пусть а, Ь, с — стороны, а, б, у — противолезкаилие им углы сферического треугольника Выполняются соотношения: ма а мп р мпт — — = — — теорема синусов, 5!па мпь 5!АГ соз с = соз и соз Ь+ з ! и а я и Ь соз у — теорема косинусов и аналогично для соз а, соз Ь.
Этому соответствует теорема о трехгранных углах. Теорема 2а. Для плоских углов а, Ь, с и противолежаи(их им двугранных углов а, (), у трехгранного угла вьтолняются указанные в теореме 2 соотношения — теоремы синусов и косинусов. Д о и а з а т е л ь с т в о. Обе теоремы — синусов и косинусов — доказываются для сферических треугольников совершенно аналогично тому, как это делается для плоских треугольников прн помощи результатов для прямоугольных треугольников.
йтб ИАсть а. элементАРИАя ГеометРия Пусть дан сферический треугольник АВС, в нем ЕА =а, л'.В=(3, с.С=у (б, учь90) и ВС=а, СА=Ь,АВ=С, см, рис, 110. Проведем из вершины А высоту АН '). Получаем два прямоугольных треугольника АИВ, АНС. Пола- А 4 В С В С а-ав'ас а ав- ас рнс. Ыо гая АН = 6 и пользуясь теоремой синусов, получим э1п 6 = з!п с згп (3, Е1п 6 = з1п Ь з1п у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
