1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Пусть г' — многогранный угол с ребрами аь ..., а„; они перенумерованы последовательно, так что угол и' состоит из плоских углов а~ам аза,, ... . а„аь (Двугранный угол мы, как и раньше, пс причисляем к многогранным углам.) Опишем вокруг его вершины единичную сферу, Всякий плоский угол с вершиной О пересекает ее по дуге большого круга с конками в точ- лз ках.
где сферу пересекают лучи — л, "г " л„ рейза угла Таким образом, много- а, гранпому ) глу а~ ... а, соответ- ц 2 ствуст на сфере многоугольник О А~ Ал (рис. 96). И обратно: если на сфере дан многоугольник А~ ... А„, стороны Ряе. Эа которого — дуги больших кругов, то ему соответствует многогранный угол с вершиной в центре О сферы и с ребрами ОЛь ..., ОА„. Если О,— угол (величина плоского угла ахаты) между ребрами а, а,~, (полагаем аем = а~), то длина соответствующей стороны А~Лам сферического многоугольника равна ()Я, где )т -- радиус сферы. (Углы измеряем в радианах.) Касательная плоскость к сфере перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Поэтому касательные к дугам — сторонам многоугольника А1 ...
... ˄— в любой его вершине перпендикулярны идущему в нее ребру многогранного угла. А угол между касательными — это, по определению, угол между дугами, к которым они проведены. Таким образом, углы сферического многоугольника А| ... А„равны двугранным углам многогранного угла а1 ... а„. 264 часть т элелзГ11ТАР1!Ая ГеомстР11я Так между многогранными углами и сферическими многоугольниками устанавливается полное соответствие: плоским углам соответствуют стороны, двугранным углам — углы между сторонами (при вершинах). Определение. Многогранный угол называется выггук,гым, если он расположен по одну сторону от ало* скости каждой своей грани, т. е. в одном ограниченном ею полупростргзнстве. Нетрудно видеть, что среди плоских углов выпуклого многогранного угла нет развернутых и сверх- тупых.
Лемма. Через вершину вытуклого многогранного угла проходит такал плоскость, что весь он лежит с одной стороны от нее. Действительно, пусть У вЂ” какой-либо выпуклый многогранный угол. Тогда плоскости двух граней, смежных по произвольному его ребру а, ограничивают полупространства, содержащие многогранный угол ьг. Так что он содержится в пересечении этих полупространств. Это значит, что он содержится в двугранном угле )Р', ребром которого служит прямая а, содержащая ребро а самого угла У.
Луч а', дополни. тельный ребру а на этой прямой, не принадлежит углу Г, так каь тот не двугранный. Поэтому через вершину угла У можно провести такую плоскость, что луч а' проходит с одной стороны от нес, а все ребра угла и' и, значит, сам угол У располагаются с другой стороны '). Эта плоскость нс будет иметь с углом У ничего общего кроме всршины; так что угол У за вычетом вершины содержится внутри ограниченного этой плоскостью полупространства, (з Все это переносится на сферические многоугольники. Определение.
Сфсричсски11 многоугольник называется выауклылг, сели он лежит по одну сторону от каждой большой окружности, проходящей вдоль одной из его сторон (рис. 97). ') Например, проведем бисгекгориальпюо полуплоскость а двуграииого угла йг и спроектируем иа пес все ребра угла У.
Зго будут лучи, проведенные из вершпиы О угла У Проведем из О в той же полуплоскосги луч р, образующий с а' еще лгсаьший угол. Тогда проходящая через луч р плоскость, перпгпдпиуляриая а, будет обладать указаииым свойством. Н! Е МНОГОГРХННЫЕ УГЛЫ Лемма. Для выпуклого сферического многоугольника есть волусфери, внутри которой он содержится. Это полусфера, ограниченная окружностью, катару!о высекает нв сфере плоскость, проходящая через вершину многогранного угла и не имеющая с ним других общих точек (рис.
98). П Рис. 98 Рис. 97 Замечание. У выпуклого многогранного угла каждый плоский угол меньше развернутого. Только такой угол может не иметь с плоскостью ничего общего, кроме вершины. Соответственно, стороны выпуклого много)тальника на сфере меньше большой полуокру кностн. Определение. Для выпуклого многогранного угла естественно определяется соответствующий телесный угол как пересечение всех содержащих его полупространств, ограниченных плоскостями его плоских углов..Аналогично выпуклый многоуго.!вник с внутренноггью на сфере получается как пересечение полусфер, содсржащих данный выпуклый много- Рис. 99 угольник и ограниченных большими окружностями, содержащими его стороны (рис. 97).
Трехгранные углы и треугольники. Трехгранным углам соответству!от сферические треугольники, И те, и другие могут быть и не выпуклыми (рис. 99). Но мы будем рассматривать только выпуклые трехгранныс углы и соответственно — только выпуклые сферические треугольники. У выпуклых трехгранных углов, как у всяких выпуклых многогранных углов, плоские углы меньше развернутого.
Верно и обратное. 266 ЧАСТЬ Е ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Лемлза. Если у трехгранного угла все плоские углы меньше ризвернутого, то он выпуклый. Действительно, если через два ребра трехгранного угла провести плоскость а, то третье ребро оказываетсл с какой-то одной стороны от нес, и если плоскис углы, которые оно ограничивает вместе с двумя дру~их и ребрами, оба меньше развернутого угла, то и эти плоские углы лс;ат с той же стороны от плоскости а (рис, 100).
Талям образом, трехгранный угол, у которого плоские углы меньше развернутого, располагается с одной стороны от плоскости каждой своей грани, т. е. оп выпуклый. П Рис. 100 Рчс 101 Теорема 1. У выпуклого трехгранного угла каждыи плоский угол меньше сумлзы двух других. Соответственно: у выпуклого сферического треугольника кажг)ая сторона л1еньше суммы двух других. Д о к а з а т е л ь с т а о. Пусть имеется выпуклый трехгранный угол )т с вершиной О, и пусть а, Ь, с— его плоские углы. Если все эти углы попарно равны, то утверждение теоремы очевидно выполнено.
Допустим, например, что, угол а больше Ь. Возьмем на ребраГИ противолежащих углам Ь, с, точки В, С и проведем отрезок ВС. Получаем треугольник ОВС. В нем х.'О =- а ) Ь. Поэтому можно провести в этом угле отрезок 00 до стороны ВС, образующий с ОС угол, равный Ь (рис. 1О1). На ребре, противолежащем углу а, возьмем такую точку А, что ОА = 00. Тогда треугольники 00С и ОАС равны. Поэтому СО = СА и треугольник САР равнобедренный, поэтому в нем угол 0 острый. Следовательно, угол Р в треугольнике АВР тупой, и потому противолежащая ему сторона ббльшая.
Так что АВ > ВО. НЬ 4. МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ Теперь посмотрим на треугольники ОАВ и ОВ0. У них ОА = 00 и сторона ОВ общая. Поэтому в том из них угол при О больше, у которого противолежащая сторона больше. И так как АВ > В0, то, значит, ~ АОВ ) х. 0ОВ. Прибавляя к обеим частям этого неравенства равные углы ~0ОС= ~АОС=Ь, получим ~ АОВ+ ~ АОС > ~ ВОС, т. е. с+ Ь > а, что и требовалось доказать. [Л Из доказанной теоремы ! легко следует Теорема 2. Сумма плоских углов трехгранного (выпуклого) угла меньше 2п. Доказательство. Пусть а, Ь, с — плоские углы выпуклого трехгранного угла. Продолжив за вершину ребро, общее для углов а, Ь, получим трехгранный угол с пло- С сними углами л — а, и — Ь, снеж- а ', ь ными с а, Ь, и с углом с.
На сфере это соответствует тому, что мы с' продолжаем стороны а, Ь сфериче- 1 л-ь В 1 ского треугольника АВС и получаем сферический треугольник АВС' со сторонамн н — а, и — Ь, с Рис. 102 (рис. 102). Применяя к полученному трехгранному углу (или, что равносильно, к треугольнику АВС') предыдущую теорему 1, можно написать (к — а)+ (и — Ь) > с.
Отсюда а+ Ь+ с ( 2н, что и требовалось доказать. П Доказанная теорема обобщается на любой выпуклый многогранный угол. Теорема 3. Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 2н. Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем теорему индукцией по числу граней угла. По теореме 2 данное утверждение верно для трехгранных углов. Допустим, что оно верно для и-гранных углов, и докажем его для (и+ 1)-гранных углов.
Вместо многогранных углов можно рассматривать многоугольники на единичной сфере. Пусть имеется 268 чАсть а элементАРнхя ГГоме1Рня выпуклый сферический (и+ !)-угольннк. Возьмем какую-либо его сторону АВ и продолжим соседние сй стороны АР, ВО за точки А, В до их пересечения; пусть С вЂ” точка пересечения (рис. (03). Получаем и-угольник со сторонами СР, СО.
Он выпуклый — как и тот многоугольник, из которого он получен (так жс лежит по одну сторону от каждой большой окружности, содержащей его сторону). По предположению сумма длин сторон этого многоугольника меньше 2и. По она больше, чем у исходного, так как он получен из него заменой стороны АВ на АС+ ВС.
Следовательно, и у исходного (и+ 1)-угольника сумма длин сторон меньше 2и. Теорема 3 доказана. П Другое доказательство теоремы 3. Пусть дан выпуклый многогранный угол Г с ребрами аь ..., а„. Через его вершину проходит плоскость, не имеющая с ним других общих точек. Если Рис. 103 Рис, 104 ее сдвинуть параллельно в ту сторону, где расположен угол Р', то она пересечет все его ребра и грани, н мы получим пирамиду с вершиной О и боковыми ребрами ОЛь ..., ОА„. У основания пирамиды и вершин Аь ..., А„, а потому сумма его углов а; равна л 2, а; = (и — 2) и.
При каждой вершине А; грани образуют трехгранный угол; его плоский угол, принадлежащий основанию, меньше суммы двух других. Поэтому сумма углов основания меньше суммы всех углов рь у; боковых 269 111еь М11ОГОГРАНИЫЕ УГЛЫ граней при каждой вершине А; (рис. 104). То есть | л а; < ~, ((31 + У;). (2) |.=1 Но ~ (()1+ у!) — это сумма всех углов всех н боко- | 1 вых граней без суммы их углов при вершине О, т.
е. ~., (()1+ у,) =пи — ~„Ь|, 1=1 ! ! где ~' Ь, — сумма всех у~лов при О. 1 Сопоставляя (!), (2), (3), получаем л л а,=(п — 2)п< ли — ~, Ь|, откуда л ) 61< 2я, 1=- | ;Го и треоопалось доказать. П Полнрный многогранный угол. Пусть У вЂ” выпуклый многогранный угол, точка Π— его вершина, лучи аь ..., ал — его ребра; а!аи, а,аз..... а„а! — его плоские углы. Проведем из О лучи Ь~, ...
..., Ьл, каждый из которых пер- д !!Рз 4 1 исндикулярсн соответствующей грани угла У: 1 | Ь! .) а ао Ьз .) а!аз, ... ..., Ь„ ( ал 1а„. (4) | |аз .л., Они ограничивают плоские углы Ь1Ьь ЬзЬз., ЬлЬ| (рис. 105), Эти плоские углы образуют многогранный угол В' с ребрами Рис, звз Ь|, ..., Ьл. Этот угол называется полярным углу У. Так как Ь| 1 а„а1, Ьз ) а!аз, то ребро а, перпендикулярно Ь, и Ь, и тем самым пер- пендикулярно плоскости плоского угла Ь~Ьз! а1 1 Ь1Ьз. То же верно для ребра аз и угла ЬУЬ, и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
