1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 40
Текст из файла (страница 40)
70 10, Разделить данный отрезок в данном отношении, заданном как отношение данных отрезков а: Ь или как отношение 44елык чисел и:ш. (Построение ясно из рисунка: А — данный отрезок, под углом отложим сумму отрезков АС = а и СО = Ь. Если Е на АВ и СЕ$(ОВ, то АЕ: ВЕ = а: Ь. Если дано отношение и: лг, то берем какой-либо отрезок с, строим а = пс, Ь = Гпс и проводим изложенное построение (рис. 71). В частности, так получается построение 1 данной доли „- отрезка АВ, если взять и = 1, Гп = = Ь вЂ” 1.) Во всех рассмотренных построениях нужно (а) доказать, что они действительно дают нужный результат, (б) посмотреть, какие возможны варианты (например, при построении биссектрИсы окружности вокруг А и В пересекаются в двух точках; что эти точки дадут?) . 1Н.
1. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ 241 Решение задачи на построение. В нем различают четыре этапа: 1) поиск решения (анализ); 2) описание найденного решения или его фактическое выполнение (что, впрочем, обычно не требуется); 3) доказательство того, что найденное построение действительно решает поставленную задачу; 4) исследование решения.
В описании построения известные основные построения, как правило, просто указываются. Исследование состоит в выяснении того, всегда ли задача имеет решение; если не всегда, то при каких конкретных данных и сколько именно решений имеет задача. При этом разными считаются решения, дающие неравные фигуры (или если и равные, то различно расположенные относительно данной фигуры, с которой связывается построение). Задачи на построение треугольников.
1. Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними. Решение очевидно; построение всегда возможно. Оно единственно в силу теоремы о равенстве треугольников. 2. Построить треугольник по стороне и двум прилежащим углам. Построение очевидно. Но оно дает результат лишь при условии, что сумма данных углов меньше развернутого. (Пятый постулат Евклида как раз и состоял в утверждении, что требуемое построение получится, если сумма данных углов меньше двух прямых.) Решение единственно (т. е. все такие треугольники равны друг другу). 2а. Построить треугольник по стороне и двум углам, не обязательно прилежащим к данной стороне.
Третий угол находится путем вычитания двух данных из развернутого. Сколько возможно решений? Когда три, два, когда одно? 3, Построить треугольник по трем сторонам. Задача разрешима, если наибольший из данных отрезков меньше суммы двух других. Решение единственно. 4. Построить треугольник по двум сторонам и угли, противолежащему одной из них. Р еш ение. На одной из сторон данного угла откладывается отрезок, равный данному, представляющему собой сторону треугольника.
Вокруг его конца 242 часть к элементлюгля геометгия описывается окружность радиусом, равным другой стороне. Для этой окружности возможны 4 случая: а) она не имеет с другой стороной угла общих точек, б) они друг друга касаются, в) пересекаются в двух точках, г) пересекаются только в одной точке (рис.
72а, б, в, г). Фиксация этих возможностей и точное указание того, при каких условиях реализуется каждая из них, и представляет исследование задачи. Проведите его. Рис. 72 5. Построить треугольник по стороне, сумме двух других сторон и углу, прилежащему к данной стороне.
П о и с к р е ш е н и я (анализ). Допустим, задача решена, т. е. мы имеем треугольник АВС с данной стороной АВ = с, суммой сторон АС+ СВ = д, углом А = а (рис. 73). Продолжив сторону ЛС на отрезок СР = СВ, получим треугольник АВО со сторонами АВ = с, ЛР = д и углом А = а. Вместе с ним получим также равнобедренный треугольник ВСР; ВС = С0. Отсюда выводим решение задачи. Строим треугольник АВР с углами А = а и сторонами АВ = с, АР = д.
Находим на АР такую точку С, что СР = = СВ, т. е. что 7зВСР равнобедренный. Тогда треугольник АВС и дает решение задачи. Точку С можно найти, проводя перпендикуляр к отрезку ВР через его середину или откладывая у точки В угол, равный ~0 (пользуясь характернымн свойствами равнобедренного треугольника: в первом случае совпадением медианы и высоты, во втором — равенством углов при основании). И с с л еда в а н и е. Сумма двух сторон треугольника больше третьей, поэтому должно быть д) с. При этом условии АР) АВ, и потому ЕР( с.В.
4п.!. задачи нл постгоание Поэтому равнобедренный треугольник ВСР можно построить, т. е. при построении угла ОВС, равного л'.О, точка С будет на АО. При д) с решение всегда возможно. Оно единственно, поскольку построение треугольника ВСО проводится однозначно.
6. Построить треугольник по стороне с, сумме двух сторон с( и углу у, противолежащему данной стороне. Пои ск решения. Допустим, имеется треугольник АВС с указанными данными: АВ = с, АС+ + СВ = И, л. С = у (рис. 74). Продолжив отрезок с В Л Рис. 73 Рис, 74 АС на СР = СВ, получим отрезок АО = И; затем построим треугольники АВР и ВСР. Последний тре. угольник равнобедренный, и угол С = у для него 1 внешний. Поэтому х 0 = — у. Это приводит нас 2 к следующему решению. Если построить треугольник ЛВР по сторонам АВ = с, АО = Н и углу Р = — у, ! 2 то, построив в нем равнобедренный треугольник ВСР, найдем искомый треугольник АВС.
О п и с а н и е п о с т р о е н и я. Строим г."1 А ВО по данным сторонам ЛВ = с, АР = с( и углу 0= — у. 1 2 Это построение описано в решении задачи 4. Допустим, что оно проходит и мы получаем треугольник АВР. Затем строим равнобедренный треугольник ВСР с вершиной С на АР (так же, как в предыдущей задаче). Получаем треугольник АВС, который и нужно было построить. Дока за тел ьство того, что он и есть искомый треугольник.
Действительно, АВ = с и АС+ СВ = = А С+ СР = Н, так как по построению, СВ = СР. 244 ЧАСТЬ Е ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Наконец, е'.С = у, так как С вЂ” внешний угол равнобедренного треугольника ВСР, в котором ~ В=~ 0= 1 = — У 2 И с с л е до в а н и е. В задаче 4 треугольник получается не всегда, и, кроме того, могут получаться два треугольника. Что будет в условиях решаемой здесь задачи с построением треугольника АВО7 В условиях задачи должно быть с() с — сумма двух сторон больше третьей.
Поэтому в ЛАВЕ) АР ) ) АВ. Кроме того, если р = АŠ— перпендикуляр из А на прямую ВР, то должно быть АВ ) АЕ, т. е. с) р. Данный угол С=у меньше развернутого, так Ю 1 что ~ Р = —, т — острый. 2 Поэтому основание Е, пери ч Рис. 75 Рис. 76 пендикуляра АЕ лежит на луче ОВ, а из прямоугольного треугольника АЕР имеем АЕ = АР з|пР, т. е. Р=д зш 2 (Рис. 75).
Мы приходим к следующим случаям: (а) Если с ( с(з!и —, т. е. данная сторона с У 2 ' меньше катета прямоугольного треугольника с гипотенузой д и углом —, то задача не имеет решения. 2 ' (б) Если с=с(з(п —, то получается один трет 2 ' угольник АО — он же АРŠ— и соответственно один треугольник АСВ. П!.1. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ 245 (в) Если 4() с ) 4(з!п —, то получаются два трет 2 ' угатьника АОВН АОВ, (с АВ, = АВ, = с) и соответственно дав треугольника АС1В1, АС,В, (рис.
76). Треугольники АС,В1, АСАВЕ равны и отличаются только расположением сторон. В случае (б), когда с = д з!и †, треугольник АСВ один: он равнобедрениый (почему?). 7. Построить треугольник по двум углам и периметру. Реш ение. Треугольники с двумя данными углами подобны, пх стороны пропорциональны и, следовательно, относятся как периметры. Поэтому, построив один такой треугольник, по нему получим подобный ему с данным периметром р.
Строим какой-нибудь ЛЛВС с данными углами А, В. Откладываем вдоль луча АВ отрезки АВ, ВС' = ВС, С'О = АС. На луче АС откладываем отрезок АО„равный данному отрезку р, и известным приемом делим его на отрезки АВН В,СН С!Оь пропорциональные АВ, ВС', С'О. Эти отрезки и дают стороны искомого треугольника (рис. 77).
в с' .р Рис. 77 Решение единственно, так как данная величина (отрезок) р единственным образом разлагается на слагаемые, пропорциональные данным величинам (отрезкам). Отметим, что при решении сколько-нибудь сложных задач на построение поиск решения задачи обычно состоит в следующем. Предполагаем, что требуемая фигура построена, и исследуем ее в связи с данными задачи с тем, чтобы найти путь от зтих данных к тем, по которым фигура строится просто. Так и были решены задачи 5, 6, 7.
246 часть а элементлю>хя гвомет ня $2. Решение задач на построение Метод подобия. Метод, примененный в решении последней задачи 7, это «метод подобияь. Он применим тогда, когда, исключив одно из условий задачи, можно построить фигуру, подобную искомой. Построив какую-нибудь такую фигуру, ее подобно преобразуют так, чтобы получить нужную фигуру. Этот метод, в частности, все~да приложим, когда нужно построить треугольник по двум данным углам и еще по какой-нибудь линейной величине (по отрезку): ею может быть периметр (как в решенной задаче 7), сумма двух сторон, высота в т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
