1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 38
Текст из файла (страница 38)
За квадрат Е, служащий масштабом измерения площади, принимают квадрат со стороной, равной масштабу измерения длин, — «единичиый квадрат» '). Тогда из аксиомы площади легко выводится: Теорема 1. Площадь прямоугольника равна произвсденшо длин его сторон. Д о к а з а т е л ь с т в о. Прямоугольник, независимо от его расположении, задаетси длинами сторон. И так как у равных фигур площади равны, то площадь прямоугольника Р является функцией длин его сторон а, Ь: 5(Р) = 1(а, Ь).
Фиксируем какое-либо Ь и рассмотрим прямоугольники, у которых одна сторона равна этому Ь. Для них определим величину ь() 1(1, ь) 1(я, ь) ') В принципа зто нс обязательно, но существенно тсм, что позволяет выражать площади через длины 1как, например, площадь прямоугольника чспез длины старо П без множителей, зависящих ог масштабз. В практико еднкщ площади согласуются с единицами длин нс так прог~о, "ример, 1 гектар— ато площадь квадрата со стороной 100 ь 8' 228 ЧАСТЬ Е ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Если прямоугольники со сторонами ан Ь и ам Ь «прижать» друг к другу стороной, равной Ь, то получится прямоугольник со сторонами а~ + аэ, Ь. По аддитивности плошади 1(а~ + а„Ь) = 1(аь Ь) + +1(аь Ь).
Поэтому у(а, + а,) =у(а,)+ и(ат). Кроме того, очевидно, д(!) = 1, так что функция й удовлетворяет всем условиям, определяющим длину отрезка, и, стало быть (по теореме 1.4.1 единственности длин ы), и (а) = а. Поэтому из (1) 1(а, Ь) =)(1, Ь)а.
(2) Стороны а, Ь игра~от одинаковую роль. Поэтому совершенно так же 1(и, Ь) = 1(а, 1) Ь, откуда 1 (1, Ь) = 1 (1, 1) Ь. (з) Но 1(1, 1) — это площадь квадрата со стороной единица, так что 1(1, 1) = 1. Поэтому из (3) 1(1, Ь) = Ь, и из (2) получаем )(а, Ь) =аЬ, т. е. 5(Р) = аЬ, что и требовалось доказать. П Теперь мы можем доказать единственность численной площади и теорему о замене масштаба — такие же, как в случае длины и меры угла.
Ограничимся единственностью (тем более, что из иее нетрудно вывести формулу замены масштаба). Поскольку каждая многоугольная фигура составляется из треугольников, то достаточно доказать, что численная площадь треугольника зависит только от масштаба, т. е. вычислить ее. Это мы сейчас и сделаем. Теорема 2. Площадь треуеольника равна половине произведения основания на высоту.
(Эта краткая условная формулировка означает: численная площадь треугольника равна половине произведения длины какой угодно его стороны на длину проведенной к этой стороне высоты (при условии, что площадь измеряется в масштабе единичного квадрата).) Доказательство.
Прямоугольный треугольник (рнс. 59) представляет собою «половину» прямоуголь- н. т. Площлдь и ее пРименения 229 ника, позтому его площадь равна половине произведения его катетов. Пусть теперь дан какой-либо треугольник АВС. Проведем из вершины С высоту СН вЂ” перпендикуляр к прямой АВ. Возможны три случая: !) точка Н совпала с одной из вершин А или В (рис. 60,а); 2) точка Н лежит на стороне АВ (рис.
60, б); 3) Н лежит на продолжении стороны АВ так, что, на- Рис, 59 пример, В на АН (рис. 60, в); если А на ВН, то можно изменить обозначение А на В. В первом случае треугольник прямоугольный, и его площадь 5 = — ! АВ ! . ! СН !. ! г 4 в=в л н в в Ю Рис. Во Во втором случае треугольник слагается из двух прямоугольных, и 5= — ! АН ! (СН (+ — (ВН! (СН(= — ! АВ! ° (СН (, В третьем случае ЛАВС получается из ЛАНС «вычитанием» РВНС, и потому 8= — ! АН ! (СН! — — ! ВН ! ° (СН(= — (АВ! (СН (. П Следствие, Произведение стороны на опущенную и ней высоту одно и то же для всех трех сторон треугольника: ап, = Ьйь = сй, (так как оно равно уд- военной его площади).
П азо чьсть в элемпнтью<ля гкомгтгпя Приложения. Выражение для плошали треугольника позволяет легко получить выражение для площадей параллелограмма, трапеции, правильного многоугольника — вообще для любой многоугольной площадки, поскольку ес можно разбить на треугольники. Но главное — это возможность еще раз получить рнд основных результатоп планпмстрии, ис имеющих прямого отношения к площади (ср. 6 2),— прежде всего, доказать теорему Пифагора и ввести тригонометрические функции. Теорема Пифагора. Для всякого прямоугольного треугольника площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.
ь а Рнс бз Р«с б! Д о к а з а т с л ь с т в о непосредственно получается из сопоставления рисунков 61, а, 61, б. (То, что на рисунке 61, б у четырехугольника, вписанного в квадрат со стороной а + Ь, углы прямые, следует нз того, что каждый пз ннх получается вычитанием из развернутого суммы острых углов прямоугольного треугольника.) П Другое доказательство видно на рис.
62. (Квадрат, посгроспный па <ппотеиузе, составлястсн из тех жс частей, что и фигура из квадратов, построенных па катетах.) П Синус и косинус. Синус угла в прямоугольном тре. угольнике есть отношение противолежащего катета к гипотенузе. Но для того чтобы такое определение было правомерным, должна быть доказана Теорема 3. В прямоугольном треугольнике отношение катета к гипотенузе заоисит только от величины прогиоолелсаи(<'.го лягя <у угла. п.т, плошлдь и ее пеимвнкния аз1 До к а за тел ь ство. Пусть в треугольниках АВС, А~В~С~ углы С, С~ — прямые и углы Л, А1 равны (рис. 63). На катетах АС = Ь, А,С~ = Ь, отложим равные отрезки АР = А101 —— г(. Проведем перпендикуляр ОЕ = Ь к гипотенузе ЛВ = с. Если точка Е,— такая точка на А,В,, что А,Е, = АЕ, то треугольники АОЕ и А,О,Е, равны (по двум сторонам и углу между ними).
Поэтому отрезок 01Е~ перпендикулярен А~Во Ю с л, Рве вз ю, с Рассмотрим треугольник ЛВО. У него ОŠ— высота, опущенная на АВ, а ВС = а — высота, опущенная к АО. Поэтому ! АВ! 1ОЕ|=! АО! !ВСЕ, т. е. сЬ=ад, откуда а Ь с д (4) Рассмотрев треугольник А,В,Рь совершснно так же получим, что (так как )А~О~) = д, ~О~Е1) = Ь) и, Ь с, д Вместе с (4) это дает й~ и е~ с' что н требовалось доказать. С) ВЗЕ ЧАСТЬ Е ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Доказанная теорема 3 означает, что отношение противолежащего катета к гипотенузе есть функция величины угла. Это и есть синус угла: и — = з(п А.
с Катет Ь, прилежащий к углу А, противолежит углу В, и поэтому — = е(п В. А так как 'В = 90' — ~А, С то з(п В является также функцией величины угла А. Эта функция — отношение прилежащего катета к гипотенузе — есть косинус угла А: Ь вЂ” = соз А. с Рассматривая наклонную с, ее проекцию Ь и опущенный из ее конца перпендикуляр а, можно в определениях (б), (6) синуса и косинуса иметь в виду эти величины. И затем опредеа С лить синус и косинус для тупых углов, а также для нулевого, прямого и разверь л нутого угла, придавая прн этом проекции знак минус, Рис. 64 когда угол больше прямого (рис. 64). В самбй элементарной геометрии нужны только углы, не большие развернутого.
На определении синуса и косинуса для сверхтупых углов и далее — для отрицательных и больших 360' — мы сейчас не останавливаемся. 5 8. Площадь и объем В предыдущсм параграфе было дано определение площади для многоугольных фигур, но в элементарной геометрии определяют площадь и других фигур: круга, кругового сектора и др.
Трудность состоит в том, что нельзя приписать площадь со свойствами, указанными в «аксиоме площади», любым фигурам, нужно выделить фигуры, для которых это возможно. Это можно сделать, например, так. Определение. Назовем площадку простой, если она ограничена конечным числом «криволинейных от- н.в. площлдь н овъвм 233 резкое» вЂ” таких кривых, каждая из которых взаимно однозначно проектируется на прямолинейный отрезок (как сами прямолинейные отрезки, дуги окружности, части синусоиды и др., см. рис.
65). В аксиоме площади можно заменить многоугольные фигуры на «простые» фигуры, т. е. составленные нз конечного числа простых площадок. Так получаем «обобщенную аксиому площади». По этой аксиоме, если простая фигура Р составлена из двух Рь Р,, то ее площадь 5(Р) = 5(Е~) + + 5(Рз), и, значит, 5(Р):» -» 5 (г ~ ), поскольку 5 (Рз) :» О. Это обосновывает вывод площади круга из пло- Рис.
бб щадей вписанных и описанных многоугольников '). Как и выше, единственность площади доказывается. Аналогично можно определить объем. Определение. Назовем тело простьглг, если оно ограничено конечным числом криволинейных площадок, т. е. таких фигур, каждая из которых взаимно однозначно и взаимно непрерывно проектируется на простую плоскую площадку. В частности, кривая площадка сама может быть простой плоской площадкой.
Круговые цилиндры н конусы, шары, шаровые сегменты дают примеры «простых тел». Аксиома объема. Если некоторому кубу Е отнесено число единийа, то кажг)ой фигуре Р, составленной из конечного числа простых тел, можно сопоставить положительное число )г(Р) — численный объем фигуры Р в масштабе Е,— и притом так, что вгигголнены условия: ') Площадь можно вообще определить таким способом: фигура г" имеет плошадь о(г), еслм о(г) есть точная верхняя и, одновременно, точная нижняя граница площадей многоугольных фигур, заклщчающихся в г и содержащих Р.
Но тогда надо доказывать, что так определенная плошадь обладает свойствамн аддитивности. Для круга это было бы не нужно. Но как без этого вывестн площадь секторау (Ведь сектор можно составить нз других секторов.) ЧАСТЬ Х. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ а) равные фигуры имеют один и тот все объем; б) если фигура Р составлена иэ фигур Рь Рз '), то ее объем равен сумме ик объемов (аддитивносто); За куб Е прнмсм «единичный куб», т.
е. куб с длиной ребра, равной единице в принятом масштабе длин. Площадь будем измерять единичными квадрата ми. Теорема !. Объем простого прямого цилиндра, основанием которого является простая фигура, равен произведению плозцади основания на высоту з), До к аз а тел ьств о. Цилиндр определяется своим основанием и длиной образующей — для прямого цилиндра это то же, что высота. Поэтому объем У(С) прямого цилиндра С зависит только от основания В и высоты )з в данном масштабе: У (С) = У (В, й).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
