1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Соответственно граница или внутренность фигуры определяются на плоскости или в пространстве. Например, иа плоскости круг имеет внутренние точки, и его границей служит окружность. Но рассматриваемый как фигура в пространстве круг не имеет внутренности — все его точки граничные. Скажем, основание кругового цилиндра— это часть границы цилиндра.
Вместе с тем мы говорим о точках внутри его основания, так же как о точках внутри граней многогранника, и т. п., имея в виду, что вокруг этих точек есть круги, содержащиеся в грани. (В аналогичном смысле говорят о точках «внутри» отрезка.) Теорема 1. Отрезок, соединяющий точку, лежащую внутри фигуры, с точкой, лежащей вне фигуры, лересекаег границу фигуры (т, е. содержит хотя бы одну граничную точку, рис. 46). Доказательство. Пусть точка А лежит внутри фигуры О, а точка  — вне О. Проведем отрезок АВ. п.е.
витт ы с вньп еппими точкхми 207 На нем есть такие точки М, что отрезок АМ содержится внутри 6 (поскольку вокруг А есть круг, содержащийся в 6). Пусть а — супремум длин таких отрезков АМ, и пусть АС вЂ” отрезок длины а. Точка С не лежит внутри 6, так как иначе имелся бы содержащий ее отрезок внутри 6 и длина а =)АС( не была бы супремумом длин отрезков АМ, содержащихся внутри 6. Точка С не лежит также вне 6, так как иначе вокруг нее был бы круг (шар), не содержащий точек из 6, и сколь угодно близко к С не было бы точек из 6.
Таким образом, С не лежит ни внутри, ни вне 6, а стало быть, лежит иа границе, что и требовалось доказать. П Следствие. Ломаная, соединяюи4ая точку внутри фигуры с точкой вне фигуры, пересекает гранину фигуры. Д о к а з а т е л ь с т в о. Нужно воспользоваться индукцией по числу звеньев ломаной и применить предыдущую теорему 1. Подробности остаются читателю. С) Замечание. Доказанная теорема связывается с тем наглядным представлением, что граница фигуры отделяет ее внутренность от внешних точек, или что она а ограничивает фигуру.
Однако граница фигуры г~, может очень мало соответствовать такому наглядному представлению, как показывают два следующих примера. Пример 1. Окружность Рис 47 круга служит его границей в наглядном смысле и ограничивает его. Но возьмем фигуру с, представляющую собой круг с исключенным радиусом г и с радиусом, продолженным на отрезок а (рис. 47). Граница этой фигуры представляет собой обьеднненне окружности, ее радиуса г и отрезка а. В наглядном смысле трудно сказать, что такая граница ограничивает фигуру с.
Пример 2. Пусть Р— множество точек с рациональными координатами х, у в квадрате 9: О ( х < ( 1, О < у ( 1. Границей это~о множества служит 20в ЧАСТЬ Е ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ весь квадрат Я. Здесь нельзя сказать, что граница «ограничивает» фигуру Р. Замкнутая область. Выделим фигуры, границы которых не имеют таких особенностей, как в примерах 1, 2. Определение. Замкнутой областью называется фигура со следующими свойствами; (1) она обладает внутренними точками; (2) она содержит свою границу; (3) ее граница является также границей ее внутренности; (4) любые две ее внутренние точки можно соединить ломаной, содержащейся целиком внутри фигуры.
Если фигура удовлетворяет условиям (1) — (3), то мы говорим, что ее граница ограничивает ее (и также ограничивает ее внутренность). Соответственно мы говорим, что фигура т' ограничивает фигуру' О, если Р служит границей фигуры б, удовлетворяющей условиям (1) — (3). Например, окружность ограничивает круг, а сфера — шар; прямая ограничивает полуплоскость, плоскость ограничивает полупространство. Определение.
Фигура называется ограниченной (по размерам), если расстояния между ее точками ограничены, т. е. существует такой отрезок д, что всякий-отрезок, соединяющий точки фигуры, по длине не превосходит и'. На плоскости это равносильно тому, что фигура содержится в некотором круге (достаточно взять круг радиуса д с центром в любой точке фигуры).
В пространстве это равносильно тому, что фигура содержится в некотором шаре, Согласно данным определениям, замкнутая ограниченнал область — это ограниченная фигура с указанными выше свойствами 1 — 4. В пространстве такая фигура называется телом (иногда условие ограниченности от тела не требуется). На плоскости такую фигуру назовем ллои(адкой. Предостережение.
Как это ни удивительно, одна н та же фигура может ограничивать не две, а три н... даже бесконечно много замкнутых областей. Соответственно, ограниченная фигура может на плоскости ограничивать несколько и даже бесконечное число площадок, а в пространстве — тел. К счастью, И.4. ФИГУРЫ С ВНУТРЕИНИМИ ТОЧКАМИ 909 подобные «чудовища» водятся лишь в очень глубоких теоретико-множественных дебрях, и к «фигурам» их можно отнести лишь довольно условно.
В случае многоугольных и многогранных фигур, к изучению которых мы переходим, ничего похожего не бывает. Тем не менее и здесь аккуратность в определениях не помсшает. Треугольник с внутренностью. Треугольник, понимаемый не как фигура из трех отрезков, а как ограниченная ими «часть плоскости», можно определить следующим образом. Треугольник с внутренностью илн плоский треугольник — это площадка, ограниченная тремя отрезками (т, с, граница сс представляет собой треугольник). Теорема 2. Плоским треугольником будет фигура, образованная отрезками, проведенными из вершины треугольника во все точки противоположной стороны.
Из какой вершины проводятся отрезки — безразлично: фигура получается одна и та же. Доказательство. Внутренние точки указанной фигуры Т вЂ” это те, которые лежат на отрезках, проведенных нз вершины в точки на противоположной стороне. То, что вокруг каждой точки можно описать круг, содержащийся н Т, очевидно, и доказательство мы оставляем читателям.
так же как доказательство того, что границу фигуры Т образуют стороны треугольника. Нужно еще доказать, рис 48 что фигура получается одна и та же, из какой бы вершины ни проводить отрезки до противоположной стороны. То есть если АВС— треугольник и М вЂ” точка на отрезке А0 с концом 0 на ВС, то М такжс лежит на отрезке ВЕ с концом Е на АС и на отрезке СР с концом Е на АВ (рис.
4В). Действительно, пусть точка 0 на ВС и точка М на А0. Отрезки А0 и АС служат поперечинами угла В. Поэтому отрезок ВМ при продолжении за точку М пересечет, согласно теореме 3 $6, гл. 1, сторону АС. Это завершает доказательство теоремы 2. П ио часть к элемвнтлгнкя геометеия Замечание. В определении плоского треугольника как площадки, ограниченной треугольником, не за- ключен способ определять, какие точки принадлежат площадке, а какие — нет. Доказанная теорема 2 дает такой способ отличать внутренние точки от внешних. Достаточно из какой-нибудь вершины провести через данную точку М отрезок, равный наибольшей из сто- рон треугольника.
Он пересечет противоположную сторону тогда и только тогда, когда точка М внут- ренняя (докажите). Отметим еще две теоремы. Теорема 3. Точка А лежит внутри треугольника тогда и только тогда, когда на стороне треугольника найдется такая точка В, что луч АВ при продолжении за точку В не содержит точек сторон треугольника. Теорема 4. Плоский треугольник является пересе- чением трех полуплоскостей, каждая из которых ограничена прямой, проходящей через две вершины, а сама содержит третью вершину, Доказательства оставляем читателю. П Угол как «часть плоскости». Плоским неразвер- нутым углом называется замкнутая область (на пло- скости), ограниченная двумя лучами, не образующи- ми одну прямую. Эти лучи — стороны угла, их общее начало — вершина угла (поскольку лучи ограничи- вают область, то у них начало общее).
Плоский развернутый угол — это полуплоскость, у которой на ограничивающей ес прямой отмечена точка — вершина угла; лучи, на которые та делит прямую,— стороны угла. Плоский угол обозначают его сторонами, если ясно, о каком из двух углов идет речь. Теорема 5. Два луча с общим началом ограничи- вают два плоских угла, при этом каждая точка, не лсэкащая на данных лучах, принадлежит одному и только одному из этих углов. (Это очевидно... но, с точки зрения аксиоматического построения плаии- метрии, нуждается в доказательстве.) Дока з а те лье та о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
