1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 31
Текст из файла (страница 31)
и А сн) Рис 28 Рес. 29 Ряс. ЗО Проведем высоту СН. Если бы точка Н лежала на луче ВА, то у прямоугольного треугольника СВИ угол В был бы тупой (рис. 23), что невозможно. Значит, Н лежит с друтой стороны от точки В, и мы имеем прямоугольный треугольник АСН, причем В на АН. Его углы А, С острые. Значит, и углы А, С треугольника АВС острые (рис. 29). Пусть у треугольника АВС углы А, В острые. Если бы основание И высоты СН не лежало на АВ, то мы имели бы прямоугольный треугольник с тупым углом — или БАСИ с углом А (рис. 30), или йНСВ с углом В. Но ни то, ни другое невозможно.
Лемма доказана. П Будем обозначать прямой угол (точнее, его величину) буквой с1. Теорема Е Сумма углов любого треугольника равна 2д, т. е. ризвернутому уелу. Доказательство. Пусть дан треугольник АВС. По лемме 3 у него два угла острые, пусть это будут углы А, В. Тогда по той же лемме 3 основание Н высоты СН лежит на АВ. Поэтому имеем два прямоугольных треугольника тзАСН и гтВСН (рис. 30). Суммы их углов равны 2с(, так что у обоих вместе— н е метРические соотношения в тРеуГОльнике 139 4й.
Но углы при Н дают 2д. Поэтому сумма остальных углов равна 2д; ~ А+ 1 В+ ~С, + ~ С.= 1 А+ ~ В+ ~ С=2й, что и требовалось доказать. (З Углы при параллелях и секущей. Определим параллельные отрезки а, Ь (короче — параллели) как такие, у продолжений которых а, Б есть общий перпендикуляр (т. е, такой отрезок АВ, что Л ен а, Вен 6, АВ ! а и АВ.1 Ь). Доказанная в начале параграфа лемма ! равносильна следующему.
Лемма (а. Если вдоль пара глельных отрезков а, Ь от коннов их общего перпендикуляра АВ отложить в одну сторону равные отрезки АС, ВП, то СП— также ик общий перпендикуляр, При этом он равен АВ (см. рис. 26). П Сказанное можно выразить еще так. Из каждой точки одного из параллельных отрезков идет ко второму или его продолжению их общий перпендикуляр. (Здесь второй отрезок представляется, если нужно, продолженным так, чтобы на нем самом бы.т конец общего перпендикуляра.) Отрезок, пересекающий две параллели — параллельные отрезки,— называется секущей. Углы с вершинами в точках пересечения А, В объединяются, как обычно, а пары, как внутренние накрест лежащие и т. д. Им можно дать формальные определения. Внутренние — это углы, образуемые отрезком АВ с отрезками, на которые параллели делятся точками А и В.
Накрест лежащие — — это тс, стороны которых лежат по разные стороны от ЛВ, а вершины — у одного Л, у другого В. Соответственные — это такие два угла, один из которых внутренний, а другой вертикальный накрест лежащему (рис. 3!). Теорема 2. Внутренние накрест лежащие углы при параллелях равны. Доказательство. Пусть точки А, В лежат на параллельных отрезках а, Ь: Л на а, В на Ь. Проведем отрезок АВ и из точки Л вЂ” перпендикуляр АС к отрезку Ь. В силу леммы 2 он также перпендикулярен а (рис. 32). Треугольник АВС прямоугольный, поэтому в нем г.А+ л'В = д. А так как АВ 1 а, 'то углы при А с общей стороной АВ составляют прямой угол, т.
е. г'.А + ~А, = д. Вместе с предыдущим 190 ЧАСТЬ Е ЭЛЕМЕИТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ равенством зто дает л. В = л.АИ что и требовалось доказать. С) Отсюда ввиду определения соответственных углов непосредственно вытекает Следствие. Соответственные углы при параллеляк равньс П Ряс 3! Рвс 32 Начала тригонометрии.
Тригонометрию мы начнем с отношения проекции наклонной к самой наклонной, т. е. с косинуса острого угла. Наклонная и проекция определяются как обычно. Наклонная к отрезку а — это отрезок, не перпендикулярный а, с концом, принадлежащим а. Проекция отрезка АВ на прямую а -это такой отрезок А'В', содержащийся в а, что АА' н ВВ'3 а (рис. 33) (или А' совпадает с А, либо В' — с В). Отношение отрезков мы определим как отношение их длин, измеренных в произвольном масштабе.
Из теоремы 5, $4 о замене масштаба следует, что указанное отношение не зависит от того, в каком масштабе выражены длины отрезков. Поэтому его можно записывать как отношение самих отрезков: а/Ь. Лемма 4. Пусть АВ, ВС вЂ” отрезки, составляющие один отрезок А С, и А'В', В'С' — ик проекции на один и тот зкг отрезок, Тогда если АВ = ВС, то А'В' = В'С' (рис. 33). Доказательство. Пусть выполнены 'условия леммы и АВ = ВС. Отрезки АА', ВВ' перпендикулярны одному отрезку, а значит, имеют общий перпендикуляр А'В'.
Поэтому согласно лемме (а у них (нли у содержащих их отрезков) есть общий перпендикуляр АВИ причем АВ~ —— А'В'. Если В~ =В, то все просто. Если В1 Ф В, мы получаем треугольник АВ1В с прямым углом В, н с АВ2 —— А'В' (рис. 34). !! -" МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ $В! Совершенно так же можно построить треугольник ВС!С с прямым углом С и с ВС! — — В'С'. У этих треугольников, по условию, равны гипотенузы: АВ = ВС. Кроме того, нх углы В, С равны как соответственные (поскольку отрезки ВВ' и СС' параллельны; рис. 34).
А так как углы В!, С, прямые, то и другие их углы — А,  — равны (как следует из л н' о' Рис. 34 Рис 33 то!о, что сумма всех углов одна н та же), Следовательно, треугольники равны,так что АВ! = ВС!. А так как АВ! = А'В' и ВС! —— В'С', то А'В' = В'С', что и требовалось доказать. П Замечание. Утверждение, что углы В н С в рассматриваемых треугольниках АВВО ВСС! соответственные, основано на том, что эти треугольники лежат с одной стороны от АС (не считая, конечно, самого отрезка АС).
Это так, потому что угол В,ВС, прямой и, стало быть, меньше угла В,ВС, так что отрезок ВС, проходит между ВВ! и ВС. Теорема 3. Отношение проекции к наклонной одно и то же длл наклонных и проекций, образующих равные углы. Докажем сначала частный случай этой теоремы. Теорема За. Отношение проекции к наклонной одно и то же для наклонных и проекций, образующих один и тот же угол, когда наклонные, как и проекции, налегают друг на друга.
Доказательство. Пусть отрезок а — наклонная к некоторому отрезку а', точка А — ее конец на а'. Возьмем на а какой-нибудь отрезок е„и пусть е' — его проекция на а'. Будем измерять отрезки АВ, (92 ЧАСТЬ Е ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ налетающие на а, масштабом е, а отрезки ЛМ', налегающие на а', — масштабом е' (рис.
35). Пусть отрезок ЛЛ( составлен из некоторого числа п.х долей отрезка е. Тогда, как следует из леммы 4, его проекция АМ' составлена из такого же числа и-х долей отрезка е'. Поэтому длины отрезков ЛМ, АМ' в масштабах е, с' численно равны Так как длина любого отрезка является пределом длин отрезков, составленных из целых долей масштаба, то тот же вывод Рис ЗЗ верен для любого отрезка с наклонной а и его проекции с'. Обозначая длины в масштабах е и е' через ! и !', это можно записать так: !'(с') =!(с).
По правилу замены масштаба ! (с ) =, . Поэтому 1(с') 1(е') ' с 1(с) л а а л ь' ь Рис Зб Докажем теперь теорему 3 в общем случае. Пусть имеются две наклонные, образующие со своими проекциями равные углы с вершинами А, В. Отложим вдоль ннх от точек А, В равные отрезки а, Ь, и пусть а', Ь' — их проекции (рис. 36). Отрезки а, Ь служат гипотеиузами, а а', Ь' — катетами двух прямоуголь- Это и значит, что отношение проекции с' к наклон- ной с одно и то же для любой наклонной с. Теорема За доказана. П Н.2. МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ !93 ных треугольников с углами А, В. Так как О=Ь и л А = л'.В, то треугольники равны и, стало быть, а'= Ь'.
Поэтому — = —. По доказанному выше, для и Ь любой наклонной с н ее проекции с', налегаюших на l с и' Ф а и а, имеет место равенство — = —. Следовательно, с а с' ь' с Ь Этим равенством и выражается сказанное в теореме, П Теорема Пифагора. Доказанная теорема 3 пред. ставляет основание для вывода всех соотношений между сторонами и углами треугольников, прежде с с л в в л в а Рис. 38 са Рис. 37 всего — теоремы Пифагора (рис.
37): квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, Пусть а, Ь вЂ” катеты, с — гипотеиуза, с„св — проекции катетов на гипотенузу. По лемме 4 основание высоты лежит на гипотенузе, и поэтому с, + се — — с. со а Из теоремы 3 заключаем, что — = —, так что а'= а с ' = с.с,. Аналогично, Ь'= сев.
И, складывая, получаем ах+ Ьв — св П Из теоремы Пифагора очевидно следует Теорема 4. Проекция меньше наклонной, П Отсюда выводится; Теорема 5. Сумма двух сторон треугольника больше третьей. (Так как эта третья сторона есть либо сумма, либо разность проекций двух других сторон; рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
