1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Рефлексивность означает, что всякий отрезок равен самому себе. Теорема 4. Между точками М любого данного отрезка АВ и числами хе= [О, (АВ(], заключенными между нулелг и длиной (АВ( отрезка АВ, имеется взаимно однозначное соответствие, нри котором каждому х отвечает такая точка М, что (АМ) = х. При этом если О ( х, ( хн то для соответствующих точек Л1, Л1, бУдет ЛМ1с: АМ, и )М1МТ( =хе — х1. .кок а з атея ь с та о. Каждому отрезку АМ отвечает определенная длина )АМ( (по аксиоме 1!Т). Есчи М на АВ, то, по аксиоме 1)е, (АВ( = )АМ( + +(МВ(, так что !АМ) (1ЛВ(.
Вместе с тем по аксиоме 11, для каждого х ) О существует отрезок длины х. По аксиоме 111 равный ему отрезок АМ можно отложить вдоль ЛВ, и 1АЛ!(= = х по аксиоме 11е. Такой отрезок АМ только один. Если к< (АВ(, то АМ~ АВ и точка М лежит на АВ. (Если бы было АВ с: АМ или АВ гмАМ, то из аксиомы 11, получалось бы, что (АВ( ( (АМ), вопреки тому, что (АМ! = х < (АВ1.) Итак, каждой точке М на АВ соответствует длина х =(ЛЛ1(<(АВ(, и обратно, если О < к ((АВ(, то на ЛВ есть единственная точка М такая, что (ЛМ(= = л.
Таким образом, между точками Л( и числами к ') Пусть Я вЂ” некоторос отношение квкнх-либо объектов а, !к с н т л, твк что нншсч аЯ6 и т. в Рефлексивность ознвчвст, что аЯа лли всвкого а, снииетрнчность — что если аЯВ, чо РЯа; трвнзитнвиость — что если аЯЬ и бяс, то аЯс. 1ВВ ЧАСТЬ Е ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ нз промежутка (О, )АМ!) имеется взаимно однозначное соответствие. При этом если М~ на АМм то, по аксиоме Пм ! '== АЛ!Д =) ЛЛ1~ )+ (Л1~МТ!.
Тогда ) АМ~) ((АМЕ( н М<Мг( = !ЛМ~! — !АМ~ ! = хт — х~. Покажем, что и обратно если х~ ( хе и точки Мь М, таковы, что !АМ,! =х !АМ,! =хмтоМ,на АМ,„ н, по доказанному, )Л11Мт) =(АМ,! — )АМ,(= хе — хн Действительно, допустим вопреки утверждению, что и, нс на ЛМ.. Тогда, поскольку М, делит АВ на Л М, и ВМ., М, на ВМ,, и, по только что доказанному, (В~Щ ~ ВМ1(. Но так как (ВМ,)+)МтА) =)АВ)=(ВМ,)+)М~А(, то, выходит, х,=(АЛ1,)~!АМ,(=хь вопреки тому, что х, ) хь Следовательно, Л1~ на ЛММ что н требовалось доказать.
Доказанная теорема означает, что порядок располо>кснпя точек на отрезке — такой же, как порядок чисел от нуля до длины отрезка (в каком угодно данном масштабе). Доказательство теоремы 2 о замене масштаба. Согласно теореме За равенство отрезков равносильно равенству их длин. Кроме того, по аксиоме Пз при данном масштабе существуют отрезки любой данной длины, т. с. длины принимает все возможные положительные значения. Таким образом, при данном масштабе каждому классу равных отрезков соответствует положительное число, и обратно — каждому положительному числу отвечает класс отрезков такой длины, Короче, между положительными числами и классами равных отрезков имеется взаимно однозначное соответствие.
Каждый класс равных отрезков может быть представлен положительным числом. Поэтому если 1(а) — длина в масштабе е, а !'(а) — в масштабе е', то 1'(а) зависит только от 1(а), так что можно написать: 1' (а) = ! (1 (а)), (2) и 1(1(а)) есть просто функция положительного числа х = 1(а). Если отрезок с складывается из а и Ь, то по условию б) аддитивности аксиомы !!т 1(с) =1(а)+! (Ь) и 1'(с) = 1'(а) +!'(Ь).
Е АКСИОМЫ РАВЕНСТВА И ИЗМЕРЕНИЯ ОТРЕЗКОВ !61 Т. е, пользуясь (2), получаем 1(1(а) +1(Ь)) =1(1(а)) + —,;(.':Ь)). Или, полагая 1(а) =х, 1(Ь) =у, имеем )( +у) =1(к)+)(у). 1!так, длина отрезков в новом масштабе представ- ляется как функция 1(х) с условиями: а! она определена д.чя всех х) О, б) она положительна: 1(х) ) О, в) адднтнвна, т. е.
1(к+ у) =1(х)+ 1(у). Оказывается — и это мы сейчас докажем — что фУР-...е С ТЗеПМН )СЛОВИЯМИ НМЕЕт ПРОСтОй ВНД: ,ч'~л ~ = — ек, где с = сопз1 ) О. Л так как при к= = ~ ! О1 1(х) = 1(1(а) ) = 1'(а), то выходит, что 1 (а) =с1(а). что и утверждает теорема 2 о замене масштаба. Таким образом, для доказательства этой теоремы нам достаточно доказать следуюшую теорему. Теорема $. Если функция 1(х), определенная для всех х О, положительна и аддитивна, т, е.
1(х + у) = 1(х) + 1(у), (1) то 1бт) = сх, где с = сопз( ) О. До к аз а тел ь ство. Пусть 1(х) — функция с указанными свойствами. Из (1) следует, что 1(2х) = =1(к)+ 1(х) = 21(х). Отсюда 1(Зк) = )е(2х)+ 1(х) = =1(Зх), и продолжая (по индукции), получим при любом натуральном и 1 (ах) = п1 (х) . (2) 1(тУ) 1),п и У) п1), „У) ° 1 ( — у) = — 1 (ту). т. е. Л так как из (2) 1(ту) = т1(у), то ~(=.у) =-:~(у) 6 А. Д. Ааеаеацдреа, и.
Ю. Нецаееаеа т Полагая здесь к= — у (т, и — натуральные), полу- чим 162 часть е элементАРнхя 1еометеия Таким образом, полагая у=1, получим, что при любом рациональном г=— и ~ (г) = г) (1) = сг, с = 1 (1). (3) Пусть х, ) хв так что х, = х»+ у, у ) О. Тогда ) (х,) = 1(х, + у) = ! (х,) + 1 (у) ) ) (х,). Поэтому если х — любое вещественное число и гь г»вЂ” такие рациональные числа, что г,<х<г,, то )(г,) <1(х) <1(г»). Поэтому из (3) сг, < ((х) < сг,. Беря последовательность чисел г,, г» (г~ < х < г»), сходящихся к х, получим отсюда (в пределе), что 1(х)= сх, что и требовалось доказать. П й 5.
Прямая. Понятие фигуры Прямая. Любой отрезок АВ можно неограниченно продолжать за каждый из его концов, откладывая вдоль него отрезки АМ, ВЧ все большей и большей длины (что возможно в силу аксиом Пь П,). Так мы получаем прямую, представляя ее себе как неограниченно продолжаемый в обе стороны отреюк или как результат такого продолжения — как всю бесконечную прямую. Выразим это представление в виде определения: Прямой называется объединение всех отрезков, содержащих какие-либо две данные точки. Если это точки А, В, то соответствующая прямая обозначается (АВ). Напомним, что объединением некоторых фигур называется фигура, содержащая все точки этих фигур и никакие другие.
Вместо слова «фигура» можно говорить «множество точек». Так что объединение фигур определяется так же, как объединение любых множеств. Теорема 1. Через каждые дае точки проходит прямая, и притом только одна. Ьз ПРЯМАЯ ПОНЯТИЕ ФИГУРЫ >аз Доказательство. То, что через каждые две т~-.ьн проходят прямая, содержится в определении драмой 1поскольку по аксиоме 1, есть отрезок, соедиияк" яй эти точки).
Остается доказать, что прямая, сод; ьащая две данные точки, только одна. Для тонз достаточно убедиться, что если точки С, 0 принадд жаг прямой (АВ), то она является также прямой ~С0) (поэтому если у двух прямых есть две об- щиГ точки А1, у', то они являются прямыми (ММ), т, е зто одна прямая). Итак. пусть С, 0 — две точки прямой (АВ). Это лнз-> - что есть отрезки. содержащие точки А, В, С и А, В, О. По аьснонс 1> они оГ>разуют один отрезок а, он содержит как точки А, В, так и С, О, Пусть теперь (> — какой-либо пз отрезков, образуюшн; прямую (АВ), т.
е. содержащий точки А, В. По тон же аксиоме 1з он образует с отрезком а один отрезок с, который тем самым содержит точки С, 0 в. ста.ю быть, содержится в прямой (С0). Итак, каждый из отрезков, образующих прямую (АВ), содержится в прямой (С0). Следовательно, (А>г) с:(С0). Но, беря отрезок Ь из тех, что образуют прямую (С01, мы точно так же убедимся, что (С0)~(АВ).
Следовательно, (АВ) и (С0) — это одна и та же прямая, что и требовалось доказать. П Луч (полупрямая). Луч мы представляем себе как отрезок, неограниченно продолжаемый за один нз его концов или как результат такого продолжения — бесконечный луч. Это приводит к определению. Лучом называется объединение всех отрезков с общим концом, проходящих через общую точку. Общий конец этих отрезков называется началом луча. О точке луча, не являющейся его концом, говорят, что она лежит на луче.
Луч с началом О, проходящий через точку А, обозначается ОА. Если точка В лежит на луче ОА, то луч ОВ совладает с лучом ОА. Всякая точка прямой делит ее на два луча: служит общим началом двух лучей, не имеющих кроме нее других общих точек и образующих вместе всю нрямую. Вывод этих двух утверждений мы оставляем читателю в качестве задачи. (В первом случае можно ° аеиользоватъся тем, что отрезки ОА, ОВ налегают 164 члсть в влемептл пхя гсомвтгпя друг на друга; во втором можно опираться па аксиому о делении отрезка.) Несколько другие определения прямой и луча. Данные выше определения прямой и луча можно пересказать, пользуясь понятием геометрического места или, что то же, множества точек.
Прямая есть гео.яетрическое место (множество) точек, принадлежащих отрезком, содержаи(им кикиелибо две данные точки. Геометрическим местом точек с данным условием (подчиненных какому-либо усяовню) называется фигура, содержащая все точки с этим условием и не содержащая никаких других. Прямая (АВ) как фигура, служащая объединением всех отрезков, содержащих точки А, В, тем самым содержит все точки, каждая нз которых принадлежит вместе с А, В одному отрезку, и не содержит никаких других точек. Стало быть, она является геометрическим местом этих точек. Оба определения прямой равносильны.
Совершенно так же можно дать определение луча. Луч — зто множество (геометрическое место) точек, принадлежащих отрезкам, имеющим общин конец и содержащим данную точкбн Как ) же сказано, «гсометрпческое место точек» и «множество точек» означает одно и то же, так же как и слово «фигура». В настоящее время принято говорить «множество точек», а термин <геометрическое место» встречается только в школьных учебниках.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
