1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 25
Текст из файла (страница 25)
т) К ноеве в А. П Элементарная геометрия. — Мг Проснентение, 1980. С. 4. 154 ЧАСТЬ 2. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ То есть либо концы этого отрезка — это концы одного из данных отрезков (рис. 4,а), либо один из его концвв — это конец одного из двух данных отрезков, а другой — конец другого отрезка (рнс. 4, б). Конечно, может быть, что одна пара концов или даже обе совпадают (рис. 4, в). Эта аксиома выражает тот простой факт, что если пров.стн через две данные точки несколько разных рр отрезков, то они вместе А рр р ю и'р. - р и ь связи точек н отрезков. Эти теоремы устанавливают совершенно ясные и наглядно свойства отрез- А С В В ков, но тем поучительнее нх скрупулезное доказательство, основанное только на аксиомах. — — т р,,~.ррр б жагцая на отрезке, немоРис.
4. жег быть его концом. и — АВ и ЕВ ьбрззуют "В; (Стало быть, и конец не б — АВ и СВ образуют АВ; и — АВ и ВВ ьбрззуют АВ' МОжЕт ЛЕжатЬ На Отрезке. у Д о к а з а т ел ь с т во. Если точка С на АВ, то по аксиоме 1, она делит отрезок АВ на АС и ВС. Этн, в частности, означает, что точка С отлична от А и от В. Но если бы С была концом отрезка АВ, то она совпадала бы либо с А, либо с В (так как у отрезка только два конца). Противоречие. П Теорема 2.
Если Сен АВ и 0 ен АВ, то СО с АВ. Если лри этом М на СО, то и М на АВ. Доказательство. Пусть С и О~ АВ и М на СО. Если точки С и 0 совпадают с А и В, то по аксиоме 12 отрезок СО совпадает с АВ, так что М на АВ. Допустим, что только одна из точек С, О совпадает с А или В: скажем, 0 совпадает с А, а С отлична от В. Тогда, во-верных, отрезок СΠ— тот же, что АС, так что М на АС. Во-вторых, так как точка С нрннадлежнт АВ, но отлична от А и В, то С нн АВ.
Следовательно (по аксиоме деления 12), точка С делит АВ на АС и ВС, и так как М на АС, то !) МенАВ; ьз линвиимв аксиомы связи и их слвдствия ия 2) М отлична от А и С (по теореме 4); 3) М отлична от В, так как у отрезков АС, ВС общая только точка С (по аксиоме деления). Следовательно, М на ЛВ, что и требовалось доказать. Пусть теперь обе точки С, Р отличны от концов отрезка АВ и, значит, лежат на АВ. Точка С делит АВ (по аксиоме деления), и Р лежит либо на АС, либо на ВС. Пусть, например, Р на АС.
Тогда если М на СР, то, по предыдущему выводу, М на АС, а потому также на АВ (опять по предыдущему выводу), что н требовалось доказать. П Из теоремы 2 следует Теорема 3. Отрезок опреде 1ястся своими точками: если у отрезков а и Ь одни и те же точки, т. е. а с: Ь и Ь ~ а, то это один и тот же отрезок. (У отрезка два рода точек: те, которые лежат иа нем, и концы. Поэтому надо доказать, что у отрезков а и Ь концы одни и те же. Ведь логически мыслимо, что конец одного отрезка оказывается внутри другого; н надо вывести из аксиом, что это невозможно, когда а — ЬиЬс:а.) Доказательство.
Пусть асЬ и Ьса. То, что а с:. Ь, означает, в частности, что концы отрезка а содержатся в Ь, и потому, в силу теоремы 2, точки, лежащие на а, лежат также на Ь. Но так как Ь с: а, то, точно так же, точки, лежащие на Ь, лежат на а. Таким образом, точки, лежащие на отрезкак а и Ь, одни и те же. Значит (в силу теоремы 1), их концы одни и те же; так что, по аксиоме 1,, а и Ь вЂ” это один отрезок. П Теорема 4.
Если отрезки с общим конном имеют ещг одну общую точку, то они налегают друг на друга. Доказательство. Пусть отрезки АВ, АС имеют общую точку помимо А. Тогда, по аксиоме $,, они образуют один отрезок, концами которого служат две из точек А, В, С, т. е. этот отрезок либо АИ, либо ЛС, либо ВС. Но в последнем случае выходило бы, что Л на ВС, и, по аксиоме деления отрезка, АВ и АС не имели бы общик точек, кроме А. Поэтому отрезки АВ, ЛС образуют вместе либо АВ, либо АС. В первом случае АВ~АС, во втором — АС:эАВ, т.
е. отрезки налегают один на другой, что и требовалось доказать. П ЧАСТЬ К ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ й 4. Аксиомы равенства и измерения отрезков Здесь мы формулируем те аксиомы, в которых участвует отношение равенства отрезков и вводится длина отрезка. Длину отрезку измеряют, сравнивая отрезок с тем отрезком, который принят за масштаб, и находят численное значение длины в данном масштабе, т. е. прн данной единице измерения. Теоретически измерение предполагается абсолютно точным, так что каждому отрезку соответствует определенная длина, выражаемая вещественным (действительным) числом. Это мы принимаем здесь как аксиому, А те аксиомы, которые обеспечивают абсолютно точное измерение отрезков, и сам идеальный процесс измерения будут рассмотрены позже в части 6 «Основания геометрии».
Сформулируем аксиомы; 11~ (аксиома откладывания отрезка), Вдоль любого отрезка от любого из его концов можно отложить отрезок, равный любому данному, и притом только один. 112 (аксиома длины). Если некоторому отрезку е отнесено число единица, то каждому отрезку можно сопоставить положительное число — его численную длину в масштабе е — так, чтобы были выполнены условия: а) равные отрезки имеют одну и ту же длину; б) если С на АВ, то длина отрезка А В равна сумме длин отрезков АС, ВС. (Здесь, как и дальше, мы говорим «длина» вместо «численная длина в данном масштабе».) 112 (аксиома существования отрезка данной длины). При любом данном масштабе е при всяком положительном числе 1 существует отрезок с длиной, равной Е Обозначение, В этой главе (и только в ней!) равенство отрезков будем обозначать знаком ы.
Длину отрезка (в каком-либо масштабе) будем обозначать как модуль: ~А В~ и т. п. В этом обозначении условие й аксиомы 112 запишется так: Если С на АВ, то (АВ(= 1АС)+1ВС~. Напомним, что длина отрезка называется также расстоянием между его концами. Расстояние от 1 1 АКСИОМЫ РАВЕНСТВА И ИЗМЕРЕИИЯ ОТРЕЗКОВ ззт тсчьи до нее самой полагается равным нулю, т. е.
)лл)=о. Замечание. Сама по себе длина есть величина и ие зависит от масштаба; она пояучаст численное зная.ипе при измерении тем или иным масштабом. Нагричер, 3 сч и 30 мм — это одна и та же длина, а численные значения разные. Об этом не надо забывать, когда мы говорим о <длине», подразумевая, однако, ее численное значение при каком-либо масштабе.
10 понятии величины см. часть 6.) Льсночу!1, можно пересказать, введя сначала опр«з«л«ни«. Чис.зенной д.шной в масштабе е называется функция отрезка, положительная, равная единице для отрезка е и обладающая свойствами а), б) из аксиомы 11-. т. е. а) она имеет одно и то же значение для равных отрезков; б) ее значение для любого отрезка равно сумме ее значений для отрезков, из которых он составлен. Аксиоча 11т утверждает: При данном отрезке е существует функция с указанными свойствамн. Т. е. каж ый отрезок имеет численную длину в данном мз.штабс е. Эта аксиома о существовании численной длины доголняется теоремой о ее единственности. Теорема 1.
1Ури данном масштабе е указанная функция единственна, т. е, каждый отрезок имеет единственную вполне определенную численную длину. Кроме того, выполняется следующая теорема о замене масштаба, из которой вытекает теорема 1. Теорема 2. При перемене масштаба численния и 1ина изменяется на положите,гьнь1й множитель, именно, если е, е' — два масштаба и !(а), !'(а)— олины любого отрезка а в этих масштабах, то !'(а) =с !(а), с=сова! > О.
(1) Если взязь а = е, то так как !(е) = 1, получаем, что с= р(е), и если взять а=-е, то получаем с= —, / ! ! !е 1 Таким образом, из (!) !'(а) = !'(е) !(а) = (, !58 ЧАСТЬ К ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Т, с. при переходе к «новому» масштабу е' от «ста. рого» е длина делится па длину отрезка е' в «старых» единицах е. Теорема 1 является частным счучаем теоремы 2, соответствующим тому, что масштаб е «меняется» на тот же е. Тогда как 1(е) = 1, так и Р(е) = 1. Поэтому, полагая в (1) а = е, получим с =! и 1'(а) =1(а), т.е. длина любого отрезка та же самая, как и утверждает теорема 1. Теорема 1 доказана.
П Вс это мсокно понять так, что длина может измеряться не только разными масштабами, но и разнымп способами. Тогда, как утверждает теорема 2, если выполнены условия а), б), длина зависит только от масштаба. Теорему 2 мы докажем дальше — в конце этого параграфа, и читатель, которому ее доказательство представится трудным, может принять ее либо как аксиому !14 о замене масштаоа, либо как теорему, доказательство которой пока откладывается. А теперь докажем некоторые теоремы о длине отрезков. По аксиоме П» у равных отрезков длины равны; верно также обратное: Теорема 3.
Если длины двух отрезков (в каком- либо данном масштабе) равны, го и сами зги отрезки равны. Доказательство Пусть у отрезков АВ, С0 длины равны: !АВ1=!С01. Отложим вдоль АВ отрезок АМ, равный СО; по аксиоме П~ это возможно. По аксиоме П», (АМ)=1СЕ4(, так что (АВ(= =!АМ(. Если АМ совпадает с АВ, то зто значит, что отрезок СО равен АВ, как утверждает теорема, Допустим, что АМ не совпадает с АВ. Но так как АЛ! налегает на АВ, то либо АМ содержится в АВ, так что М на АВ, зпбо, напротив, АВс:АМ и В на АМ В первом случае, по аксиоме 1(ь 1АВ(=1АМ1+ +1МВ!.
Тогда так как (МВ! > 0 (по аксиоме Пз), то !АВ)) !АМ), вопреки тому, что 1АМ(=1АВ(. Стало быть, М не может лежать на АВ. Если же В на АМ, то )АМ!=!АВ1+1ВМ!, так что !АЛ(1)1АВ(, вопреки тол4у, что 1АМ(=1АВ!. Стало быть, В не может лежать на АМ. Остается лишь та возможность, что отрезки АМ н 1 ' АКС1ЮМЫ РАВЕНСТВА И ИЗМЕРЕНИЯ ОТРЕЗКОВ 159 АВ совпадают, и так как АМ ~ СВ, то ЛВ ж С!г, что и требовалось доказать. П Из теоремы 3 вместе с аксиомой 11в следует Теорема За.
Равенство отрезков равносильно рае= гзу их численных длин (в любом данном масштабе). П Равенство чисел рефлексивно, симметрично п трьнзнтивно. Поэтому из теоремы За вытекает Следствие. Отношение равенства отрезков 'рефлексивно, симметрично и транзитивно '). П Впрочем, равенство отрезков симметрично по понятию. Ведь оно выражено так: два отрезка равны оруг другу. Ввиду этого транзптпвность означает, по два отрезка, равные одному и тому жеотрсзку, равны друг другу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
