1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 22
Текст из файла (страница 22)
(3) Мы рассматриваем ее прп условии (1), т. е. (так как а= О) прн ь:е+ у'=! х= ~Ь'! — уа Поэтому нэ (3) получаем 1 = а (1 — уа) + 2аьэу ~l! — 11'+ аму'. (4) Возьмем у того же знака, что аь,, тогда аду ) О. Заметим еще, что при )у) (! 1~! — у~ ) 1 — 1у(. Ч. Э. КЛАССИФИКАЦИЯ ПВП Поэтому заменяя в (4) ~/1 — ут на меньшую величину и объединяя все члены с уз, момсно написать: ) > а + 2аиу+ су'. Есзц у достаточно мало, то величина 1су'~ будет мала в сравнении с аиу, а поэтому окажется 2а„у+ су' > О, и в результате 7 > а. Но это противоречит тому, что а — это наибольшее значгчше функции 1 при условии (2). Следовательно, не может быть аи Ф О, т.
е. ам = О. Совершенно так же должно быть и а,з — О. Таким образом, форма имеет вид (2). Теперь достаточно привести форму О(у, г) к сумме квадратов поворотом осей у, г, и мы приведем исходную форму Р к сумме квадратов. Теорема доказана. С) й 3. Классификация ПВП Выше в $ 1 были перечислены 15 типов ПВП. Докажем теперь, что других ПВП не бывает. Теорема 1. Каждая ПВП ярииадлежцт к одному из 15 тинов, перечисленных в $1. Доказательство проводится совершенно подобно тому, как в 2 7 гл. П было доказано, что есть только 8 типов КВП.
Пусть дано какое-либо уравнение второго порядка с тремя переменными, которые понимаем как прямоугольные координаты в пространстве. Постараемся преобразовать координаты так, чтобы уравнение приняло канонический вид — один из тех, что указан вф!. Прежде всего, согласно доказанной в $ 2 теореме, моз.но выбрать координаты так, чтобы квадратичная форма, которую образуют члены второй степени, привелвсь к сумме квадратов. Поэтому уравнение в этих координатах х, у, г будет иметь вид ацхз+ а,,уз+ а„гз+ 2а,х+ 2а,у+ 2а,,г+ а,=О. (1) Далыпе будем подбирать перенос начала координат. Докажем, что если аи ~ О, то можно перснестн 136 ЧАСТЬ 1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ начало, сделав преобразование .т = — х'+ р, (2) так что член с х исчезнет (сели его нет, то и перенос равен нулю: р = 0).
Лналогичное, конечно, верно для 11И е. Подставляя в уравнение (!) выраженно (2), получим, обозначая члены без х многоточием: аи (х'+ р)-'+ 2ГО (х'+ р) + = а„х" + 2аих'Р+ а„р'+ 2а,х'+ 2а,р -1 Если а11 че О, то можно взять Р= Тогда а„р+ а, = О, так что члены с л' исчезают и остается толька аи(х')'. Теперь мы различаем три возможных случая: 1. В (1) есть все три квадрата. П. В (1) только два квадрата. П1. В (1) только один квадрат. Случай 1. В этом случае согласно доказанному можно, перенося начало, исключить все первые степени перемениыт. Уравнение (1) приведется к виду (для простоты обозначаем иовыс переменные х' как старые и новый свободный член обозначаем так же аа) аихе+ аэр'+ амх'+ по= О (3) (1,1) Пусть ае Ф О. Тогда, разделив на — а„, можно переписать уравнение в виде й» хс + а.„1г' + и иге = 1.
(4) (1, 1Л) Пусть все коэффициенты 1юложитсльны, Тогда (4) можно переписать (полагая а„= п-' и т. д.) в виде :1 !р г2 — "-+ — + — = 1. И1 ай Г2 Уравнение представляет эллипсоид. (1,1Б) Пусть один коэффициент в (4) отрицателен: скажем, азз ( О. Тогда, полагая а11 = а-', Ч.З КЛАССИФИКАЦИЯ ПВП ззт азз = Ь 2, азз = — с-з, получим 22 уз 22 — + — — — = !.
с Ь Уравнение представляет однополостный гиперболоид. (1, !В) Пусть два коэффициента в (4) отрицательны: скажем, ап < О, атз < О, азз > О. Тогда„по- лагая -2 а = — а и а = — Ь 22 — 2 азз=с (1,2Л) Если здесь все коэффициенты одного знака, то уравнение выполняется только при х=у= = г = О, т. е. оно представляет точку. (1, 2Б) Пусть первые два коэффициента — одного знака, а третий — другого.
Можно считать, что два коэффициента положительные, а один — отрицательный (иначе меняем р левой части знак). Тогда положим ап — — а-з, азз — — Ь 2, азз — — — с-' и полУчим 2' уз г' — + — — — = О. 2 Ь с2 Это — уравнение конуса. Случай П. Теперь рассмотрим второй случай,— когда в (!) один коэффициент при квадратах равен нулю. Можно считать, что азз = О, но а ~ Ф О, азз т- чь О. Тогда члены первой степени с х и у можно исключить, но а может остаться. получим 22 «2 22 22 аз гг —.(- — = 1, т. е. — + — — = — 1. сз Ьз сз ' ' цз Ь' с' (б) Это — уравнение двуполостного гиперболоида. (Понятно, что знаки коэффициентов могут распределиться иначе, но тогда переименуем координаты так, чтобы получались нужные уравнения (5).) (1, !Г) Пусть все три коэффициента в (4) отрицательны.
Тогда уравнение (4) не может выполняться ни прп каких х, у, с. Оно, стало быть, представляет пустое множество. (1, 2) Теперь рассмотрим случай, когда в (3) ас — — О, так что уравнение приобретает вид апх + аззуз + амгз = О, (б) 133 часть ь лнхлитическхя гнометяня (П, !) Пусть уравнение имеет вид а„х'+ аз уз+ 2а,г+а„=О, аз Ф О. Тогда полагаем — — 2а г + а, = 2азг' 2аз' з и делим на — аз Уравнение примет вид (обозначаем г' через г) а„х'+ а„у'=2г. (П, !А) Если ан, азз ) О, то полагаем ап = а-', аез = Ь-з и получаем «з уз — + — = 2г.
ез аз Это — уравнение эллиптического параболоида. Если ан, азз (О, то заменяя г на — г (переворачивая ось г), получим аы, азз) О, т. е. тот же результат. (П, !Б) Если же ап, азз разных знаков, то можно считать ан ) О, азз О и переписать уравнение в виде «з уз — — — = 2г. а' аз Это — уравнение гиперболического параболоида.
(П,2) Теперь рассмотрим случай, когда уравнение (3) имеет вид апх'+ аз Уз+ аз= О. Тут можно действовать совершенно так же, как в случае, когда уравнение имело вид (3). (П,2Л) Если азФ О, то, деля иа — аз, получаем а ъз ! б уз (а) Если агь азз ) О, то уравнение приводится к виду «у '+ь Это — эллиптический цилиндр.
Ч.З. КЛАССИФИКАЦИЯ ПВП !39 (б) Если аи > О, азз < О, то уравнение привозится к виду 21 91 — — — =1 и' Ь' Зто — гиперболический цилиндр. (Если же а„О, а, ) О, то переименовываем координаты.) (в) аи <О, азз< О, тогда уравнение не удовлетворяется ни при каких х, у и представляет пустое множество. (11,2Б) Если аз=О, то уравнение имеет вид а„х'+ а, уз = О. (а) Если аи, азз разных знаков, то уравнение можно написать в виде „1 „1 Ь аз Ь' Это — пара пересекающихся плоскостей: ау = ~Ьх. (б) Если аи, аз, одного знака, то уравнение выполняется только при х = у = О. Зто — прямая: ось г. Случай П1.
Рассмотрим третий случай, когда в уравнении (!) только один квадрат, например уз; тогда можно исключить член с у в первой степени и получить уравнение амуз+ 2а,х+ 2азг+ аь=О. (7) (Ш, !) Пусть а, ~ О (или аз чь О). Тогда можно исключить а,, как выше в (11, 1). Если а/ чь О и аз *я О, то повернем оси х, г, т. е.
произведем преобразование вида (выпишем только х) х=х сова — г 2!па, где з~ — /Зз соз а =, з(п а = з/11+ зз ~/ +аз так что . / 2 2 а,х + азг =- з/а/ + аз х. После этих двух преобразований и деления на азз сравнение примет вид уз — 2рх = О, у' = 2рх. Это — параболический цилиндр. !Ао ЧАСТЬ Ь АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (!11,2) Пусть в уравннн~и (7) нет членов первой степени. Тогда оно имеет внд ииут+ а, = О. (П1,2А) Если аь Ф О, а ~ ФО и ао, аи разных знаков, то е~ ~ у-= — — >О.
ЕА Эта пара параллельных плоскостей: у=ч-~/ — а„/аь. (!П,2Б) Пусть аь Ф О, аи Ф О, ио ао, аи одного знака. Тогда уравнение не имеет решений н представляет пустое множество. (П1,2В) Пусть аь= О. Уравнение будет у'= О. Оно представляст одну плоскость — плоскость хг. % 4. Прямолинейные образующие П В П Прямолинейные образующие есть у конусов н цилиндров, но онп есть еще у ПВП двух других типов. Прямолинейные образующие гиперболического параболоида. Теорема 1. У гиперболического параболоида есть два семейства прямолинеиных образующих: через каждую его точку проходит по образующей из одного и из другого семейства. Д о к а з а т ел ь с т я о. Рассмотрим гиперболический параболоид с уравнением ь' 2г т.
е ( +) ( ++) =2г (1) Рассмотрим также прямые Е, задаваемые системами уравнений — '- ь =р р( — '+ ь) =2' (2) где р — произвольное число. Подставляя во второе уравнение выражение для р из первого, получаем уравнение параболоида (1). Значит, любые х, у, удовлетворяющие уравнениям (2), удовлетворяют и (1), т. е. каждая точка любой прямой Е принадлежит параболоиду. Другими словами, все прямые Е в нем содержатся (рис. 99). Убедимся, что через каждую точку параболоида проходит прямая А. Возьмем точку параболоида х. с пеямолинвиные овгхзтюшив пвп !4! М(хм у,, гь) и положим в (2) хо ео Р= и Ь Тогда при х = хм у = ум г = г, оба уравнения (2) удовлетворяются, потому что точка М на параболоиз хь ео де и, значит, 2г, =-т- — —,.
Стало быть, через точд ьэ ку М проходит прямая Е. Следовательно, параболоид покрыт прямыми Е. Они — его образующие. Рассмотрим теперь прямые, задаваемые системами уравнений х у — + — =д и Ь (3) ч( ь) Ркс. 99 Для них совершенно аналогично получается тот же вывод: они покрывают параболоид — являются его образующими. П Каждая образующая одного семейства пересекает каждую образующую другого семейства. В этом убеждаемся, решая совместно уравнения (2) и (3) при любых данных р и д; координаты точки пересечения: И ь 1 х = — (д+ р), у — — (д — р), е = — рд.
Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида. Теорема 2. У однополостного гиперболоида есть два семейства прямолинейных образующих; через каждую его точку проходит по образующей из одного и из другого семейства. До к а з а т ел ь с т в о. Рассмотрим однополостный хт хч гиперболоид, записав его уравнение в виде — , — — , = =! — —,т. е.
у 142 ЧАСТЬ Ь АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Рассмотрим также пары уравнений где р, д — произвольные числа, ие равные одновременно нулю. При данных р, д эти уравнения определяют некоторую прямую (.. Перемножая левые части н правые части уравнений (2) и сокращая рд (если рд чь 0), получаем нз (2) уравнение (1), Это значит, что каждая точка прямой (., а тем самым н вся прямая, содержится в гиперболоиде (рис. 100). Этот вывод сделан при речь О, Но если рд =О, то по условию либо р = О, а д ~ О, либо наоборот.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
