1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

Эта переменная в такой ее роли называется параметром, и уравнение (2) называется (векторным) уравнением прямой в параметрической форме. Его можно переписать в виде трех уравнений дли каждой из координат точки не прямой: если а, Ь, с— координаты вектора и, то х = а! + хо, у = Ы + уо, г = с1 + х . (3) Это равносильно тому, что разности х — хо, у — уо, г — го пропорциональны координатам а, Ь, с: Х вЂ” Хо О Во Š— оо (4) е Ь с Эти равенства понимаются так: там, где знаменатель — нуль, числитель тоже равен нулю. Равенства (4) с этим условием равносильны равенствам (3). А равенства (3) задают прямую. Стало быть, и равенства (4) определяют прямую.

Другими словами: равенства (4) представляют уравнения прямой, проходящей через точку (хо, уо, го) вдоль вектора (а, Ь, с). (Эти уравнения называют каноническими,) Прямая, прохвдящая через две точки. Если М,— еще одна точка прямой, то вектор МоМ, идет вдоль прямой и поэтому в уравнении (2) можно взять в = МЬМ1 = г~ гм (б) где г, — радиус-вектор точки Мъ Подставляя это в (2), получим г = (г~ — го) 1+ Г, = (! — !) г, + !г, (й) — параметрическое уравнение прямой, проходящей через две данные точки с радиус-векторами г„го. пь о. пРямАя и пРостРАнствя Координаты вектора МРМ~ — зто разности координат точек Мь М,. Поэтому из (5) а=х,— х„, Ь=у,— у„с=а,— го. Подставляя этн значения в (4), получаем х — «о у — уо « — «о х~ — хо Ю уо х~ «о Это, стало быть, уравнения прямой, проходящей через точки Мо(хо уо, го), Мо(хоуь хо).

Прямая как пересечение двух плоскостей. Прямая представляет собою пересечение двух плоскостей, поэтому она задается системой двух уравнений, Рис. 7В задающих эти плоскости (рис. 78). Плоскости пересекаются по прямой, если их нормали неколлинеарны. В векторной форме их уравнения будут л(г — го) =О, а,(Р— г,) =О. Направляющий вектор прямой, по которой они пересекаются, ортогонален их нормалям. В качестве нето можно взять векторное произведение л Х ло (оно отлично от нуля, поскольку л, л, неколлинеарны). Поэтому если Ро†радиус-вектор какой-нибудь общей точки плоскостей а,а„ то прямую их пересечения можно задать параметрическим уравнением Р = (л К л,) С + Ро. !!в ЧАСТЬ !. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Задачи. 1. Отсюда получите уравнение в координатах вида (4), где в знаменателях будут координаты векторного произведения. 2. Найти условия параллельности и перпендикулярности плоскостей и прямых, когда они заданы в векторной форме или в координатах уравнениями вида ах+ ву+ сг+ ГТ = О, х — хр у — уА г — г, А ! т Всего 6 случаев: по два (параллельность и перпендикуляриость) для двух плоскостей, для двух прямых, для прямой и плоскости.

й 5. О задании поверхностей и линий уравнениями Общие задачи аналитической геометрии в пространстве. Они те же, что на плоскости; представлять фигуры уравнениями и системами уравнений в координатах и из исследования уравнений выводить заключения о геометрических свойствах фигур; выяснять, какие фигуры представляют уравнения того или иного вида (Помимо уравнений, фигуры могут задаваться также неравенствами.) Исследуемые фигуры — прежде всего тс, которые задаются простейшими уравнениями; прп этом принято говорить не вообще о фигурах, а о поверхностях (а в случае систем двух уравнений — о линиях или кривых). По числу координат рассматриваются уравнения с тремя персмснныип х, у, г (т.

е. х, у, г — произвольные вещественные числа). При этом уравнением с тремя переменнымп называют соотношение вида р(х,у,г)= = О, где г" (х, у, г) — какая-нибудь функция переменныхх,у,г. Пусть в пространстве дана какая-нибудь поверхность и вместе с тем выбрана некоторая система координат. !(ак и в случае произвольной фигуры, уравненпел! данной поверхности (в выбранной системе координат) называется такое уравнение с тремя гсрсисппы!!и, которому удоелсгворяют координаты ЕЕ!едой точки, лежащей на данной поверхности, и не и о злдА!!Ии повспх!юсттй и лннип уРАВниниями 117 удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на ней.

Если уравнение дано н мы отвечаем на вопрос «что такое определяемая им поверхность», то удобно пользоваться следующей формулировкой: «Поверхность, определяемая данным уравнением (в некоторой системе координат), есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют этому уравнению»' ). Современной терминологии более соответствует выражение не «геометрическое место», а множество точек, что, впрочем, одно и то же.

(Употребляется и слово «фпг)ри».) При этом имеется в виду множество всех точек, координаты которых удовлетворяют уравнению. Примеры к этим общим определениям даются ) равнениями сферы и плоскости. В пространственной аналитической геометрии линия нлп, что то же, кривая рассматривается как пересечение двух поверхностей и соответственно определяется системой двух уравнений.

Если Е(х, у, г) = О и Ф(х, йч г) = О суть уравнения двух поверхностей, пересекающихся по линии Е, то линия !. есть геометрическое место общих точек этих поверхностей, т. е. точек, координаты которых удовлетворяют одновременно и уравнению )с(х, у, г) = О, и уравнению Ф(х, у, г) = О. Говорят; два эти уравнения совместно опрег1еллют линию !'.. Пример представляет задание прямой двумя линейными уравнениями — соответственно тому, что прямая является пересечением двух плоскостей. Если даны уравнения трех поверхностей, то общие точки этих поверхностей — те, координаты которых удовлетворяют одновременно всем трем уравнениям (н то же для любого числа поверхностей). Алгебраические уравнения и алгебраические поверхности.

Основным предметом изучения в пространственной аналитической геометрии служат поверхности, определяемые в прямоугольных координатах алгебраическими уравнениями. При этом алгебраиче- ') Данные здесь определения взяты из книги Е ф и м о в Н. В. Краткий курс аналитической геометрии. — Мл Гостехиздат, 1954. С. !10 — 1!!. 11В ЧАСТЬ Ь АИЯЛИТИЧЕСКЛЯ ГГОМЕТРИЯ ским называется уравнение Р(х, у, г) = О, в котором левая часть представляет собою многочлен относительно х, у, г с численными коэффициентами, которые, как обычно в алгебре, обозначают в общем виде буквами. Степень многочлена Р— наибольшая из степеней составлякицих его одночленов — называется степенью уравнения. Поверхность, которая в некоторой системе прямоугольных координат определяется алгебраическим уравнением стспеяи н, называется алгебраической поверхностью порядка и (или просто поверхностью порядка и).

Так, плоскость есть поверхность порядка один (первого порядка), а сфера— поверхность порядка два (второго порядка). Нетрудно доиазать, что если поверхность представляется в одной системе прямоугольных координат уравнением степени н, то оиа представляется уравнением той же степени и в любой другая системе прямоугольных координат. Следовательно, порядок поверхности не зависит от системы координат, а характеризует саму поверхность. Вообще свойство, выраженное в прямоугольных координатах, является геометрическим — принадлежит самой фигуре — если оно одинаково имеет место в любой системе прямоугольных координат.

(Иначе оно относятся к фигуре в связи с данной системой координат.) Следует заметить, что общая теория алгебраических поверхностей выходит за пределы аналитической геометрии и входит в предмет особой области математики в так иазьюаемои алгебраической геометрии. Критика. Все сказанное повторяет применительно к геометрии в пространстве то, о чем говорилось в отношении геометрии на плоскости. И соответственно тому, что там было сказано, сказанное здесь надо понимать с известной долей критики и с условыостью.

Это относится в первую очередь к основным понятиям уравнения и поверхности. 1. В уравнении Р(х, у, г) = О левая часть есть функция трех переменных х, у, г и, как «выражение», может не содержать части этих переменных, подобно, например, уравнению х = О.

(Впрочем, если написать в виде х+ у + г — у — г = О, то стоящее слева выражение будет содержать у и г,— смотря как понимать слово «содержит».) 1У 5 О ЗАДАНИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ЛИНИЙ УРАВНЕНИЯМИ 119 Поэтому запись уравнения сама по себе его не определяет: должно быть указано, к каким переменным оно относится (как для функции требуется указать область задания): так, например, уравнение можно рассматривать для двух переменных (на плоскости), или для трех (в пространстве), нли для одной переменной.

Постоянная — тоже функция; функция, равная одному н тому же числу во всей области задания, в пространстве — для всех х, у, г. Поэтому формально равенства 1 = О, 0 = 0 тоже валяются уравнениями. Первое никогда не выполняется и, стало быть„задает пустое множество, второе выполняется при любых х, у, г и, следовательно, определяет все пространство. Можно исключить эти «уравнения нулевой степени>, включив в определение уравнения, что его левая часть Р(х,у,г) есть функция, отличная от постоянной. Когда уравнение рассматривается как задающее кривую (или поверхность), необходимо указывать не только область определения, но и то, к каким координатам оно относится. Например, я спрошу: что залает уравнение у = 1? Вы, вероятно, ответите: «прямую» (или «плоскость»), а я скажу: «окружность в полярных координатах, я обозначил радиус игреком».

Характеристики

Список файлов книги