1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Поэтому первое уравнение (1) в координатах выглядит так: а(х — х,) + Ь(у — уо)+ с(г — г,) =О. (3) Это уравнение плоскости, проходящей через точку (хо, уо, го) и имеющей нормаль с координатами а, Ь, с. Теорема 2 (обратная теореме 1). Всякое уравнение первой степени в прямоугольных координатах в пространстве задает плоскость. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть дано уравнение первой степени ах+ Ьу+ сг+ о(=0. (4) Подберем какие-нибудь хо, уо, го, удовлетворяющие этому уравнению, так что ах,+ Ьу,+ сг,+ о(=О. 108 ЧАСТЬ ! АИАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Вычитая из (4), получим а(х — ха)+ Ь(у — у„)+ с(г — ае) =О. (5) Сравнив это уравнение с уравнением (3), видим, что оно представляет плоскость, проходящую через точку Мо(х,, ущ ге) и перпендикулярную вектору и = = (а, Ь, е). А уравнение (5) по его выводу равносильно (4)'). Следовательно, и уравнение (4) задает плоскость. Теорема доказана. Б Теорема 3. Два уравнения первой степени звдают одну и ту же плоскость в том и только в том случае, когда одно получается из другого умножением на численньчй множитель.
До каза тельство. Пусть даны два уравнения Если одно получается из другого умножснием иа некоторое число, то уравнения, очевидно, равносильны и, стало быть, задают одну и ту же плоскость. Нужно доказать обратное; если уравнения (6) задают одну и ту же плоскость, то одно получается из другого умножением на число. Допустим, уравнения задают плоскость а. Тогда а, Ь, с и аь Ьь е~ являются координатами векторов, перпендикулярных а и, стало быть, коллинеарных. Поэтому они пропорциональны: (7) а,=Ла, Ь,=ЛЬ, с,=-Лс. Подставляя (7) во второе уравнение (6), получаем Л(ах+ Ьу+ сг) + д, =О, д, = — Л (ах + Ьу + сг).
откуда И так как из первого уравнения (6) д = — (ах + + Ьу + сг), то с(, = ЛГ1. ') Уравнения называются равносильными, если всякий набор переменных, удовлетворяющий первому, удовлетворяет и второму, и обратно, т.е. в координатах равносильные уравнения ато такие, которые задают одну и ту же фигуру — одно и то же множество точек. Это относится к любым уравнениям, не только первой степени. ах+ Ьу+ сг+ д= — О, а,х+ !бу+ с,г+ д, — --О.
(6) Пка ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ 109 Вместе с (7) это и значит, что второе уравнение получается из первого умножением на число, что н требовалось доказать. П Говорят, что коэффициенты уравнений пропорциональны, и пишут; а, Ь, с, а Ь с в Эта запись и означает, что существует такое числами, что а, = Ха, ..., д, = ьс(. Она условна, так как не исключает нуля в знаменателе.
Но если, например, с = О, то и с1 — — О. Уравнение плоскости в нормальной форме. Векторным уравнением плоскости в нормальной форме называется такое ее уравнение (1), в котором и— единичный вектор нормали и р )О, т. е.
уравнение вида иг=р; (п(= (, р' эО. (8) Неравенство р ) О всегда можно обеспечить, меняя, если нужно, знаки в обеих частях равенства. В таком случае р — это расстояние плоскости от начала, а нормаль и направлена от плоскости в сторону, противоположную той, где лежит начало (если же оно лежит на самой плоскости, то направление и безразлично). Действительно, пг = р ) О тогда и только тогда, когда векторы и, г не нулевые и образуют острый угол (рис.
75, а). Вектор и единичный, поэтому пг — это проекция вектора г на луч, идущий нз начала в направлении и, т. е. это длина перпендикуляра, опущенного из начала на данную плоскость. А это и есть расстояние от начала до плоскости. П Расстояние от точки до плоскости.
Для уравнения в нормальной форме выполняется следующее красивое соотношение. Теорема 3. Для всякой точки М если ее радиус- вектор г подставим в нормальное уравнение плоскости а, то получим пг — р ' ~у. гд< у — -расстояние от точ и ~1 до плоскости а. Знак плюс имеет лгвсто, сслп ч с М и начало О лежит ио ЧАСТЬ Ь АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ с разнык сторон от плоскости; если же — с одной стороны, то имеет место минус (на самой плоскости, разумеется, о = 0) . Действительно, пусть М вЂ” точка, не лежащая на данной плоскости а, а Мо — точка на а (рис. Уб,б).
Рассмотрим скалярное произведение М,М л, где л— единичная нормаль к а, направленная, как в нормальном уравнении. Тогда если точка М лежит от плоскости а со стороны, противоположной той, где лежит начало, то МоМ.л ) О. Если же — с той же стороны, где начало, то М,М.л ( О. о й Рис. 75 По абсолютной величине это скалярное произведение есть не что иное, как длина проекции отрезка МАМ на прямую вдоль л, т. е. длина перпендикуляра.
опущенного из точки М на плоскость а. А это то же, что расстояние д от М до а: ) МЕМ )=у. Теперь заметим, что МоМ=»»о где», »о — радиус-векторы точек М, Мо. Поэтому М,М л = л» вЂ” л»,. А так как точка Мо лежит на плоскости а, то по уравнению (1) лто= р. ил 3. Плоскость и птямхя Таким образом, М»М л = лг — р. Сравнивая с (9) и вспоминая о знаке произведения М,М л, получаем, что где д — расстояние от точки М с радиус-вектором г до плоскости а и знаки « †» или «+» берутся в зависимости от того, лежит ли точка М от плоскости и со стороны начала или с противоположной стороны.
Что и требовалось доказать. П Чтобы получить нормальное уравнение плоскости не в век~орах, а в лрямоугольных координатах, достаточно выразить в координатах произведение лг. Тогда мы получим ах+ Ьу+ сх = р, и так как вектор л единичный, то а'»- Ь'»- с'=1. (1О) Координаты единичного вектора — это не что иное как его «иаправляющие косинусы». Если дано уравнение плоскости в общем виде Ах+ Ву+ Сг+ 0 = О, (11) то для того, чтобы получить из него нормальное уравнение, нужно обеспечить равенство (10) и р ) О. Для этого делим на ~ ~/А'+ В'+ С» и берем знак, противоположный знаку О (чтобы прн переносе свободного члена в правую часть там было р ) О).
Если же не заботиться о знаке, то можно сформулировать такой результат: расстояние точки М(х, у, х) до плоскости с уравнением (! 1) есть Лх+ Ву+Се+ В Замена координат в пространстве. Полученную формулу можно применить к случаю, когда рассматривается одна из координатных плоскостей некоторой прямоугольной системы координат, отличной от исходной. Расстояние до этой плоскости равно (по 112 чАсть е АНАлигическля ГеомеГРия модулю) соответствующей координате в этой системе, Таким образом, мы получаем важное следствие — то, что переход от одной прямоугольной системы координат в пространстве к другой осуществляется по линейным формулам. (Для плоскости аналогичный факт был доказан в главе 1.) Воспользоваться этим нам придется при классификации поверхностей второго порядка в гл.
У. Уравнение плоскости в отрезках на осях. Так называется уравнение аида — + — + — = 1. Х Д Х и Ь с Во-первых, это — уравнение плоскости, так как оно первой степени. Во-вторых, а, Ь, с — это координаты тех точек на осях, где их пересекает данная плоскость. Например, при у = х = О, т. е. на оси х, получаем х = а, т.
е. а — это длина отрезка оси х от начала до точки пересечения, взятая с должным знаком. Общее уравнение приводится к такому виду, если все коэффициенты не равны нулю: делим на свободный член и меняем знак. Задачи. 1. Рассмотрите плоскости, в уравнениях которых равны нулю по одному, по два коэффициента и свободный член также может равняться нулю. 2. При каком условии плоскость может быть задана уравнением вида г = (е~х+ Ьеу+!? Каков геометрический смысл йь йм 1?. Чему равен тангенс угла наклона плоскости к плоскости г = О? 3. Плоскость, проходящая через три точки М,, М„МЬ, перпендикулярна МЬМ~ ?с МЬМЬ Точка М лежит в этой плоскости тогда и только тогда, когда векторы М,М,, М,М,, М,М компланарны.
Выразите это условие через смешанное произведение и получите уравнение плоскости в векторной форме, а также в координатах (с определителем). Задание плоскости двухвекторником. Зададим некоторую плоскость а любой ее точкой А еп а и парой лежащих в се неколлинеарных векторов гп и и (рис. 76). Векторы пз и и называются направляющими векторами плоскости а. Они образуют базис пл 4 пРямАя В пРОСТРАг!стае ыз в плоскости а. Любой вектор АХ, где Х вЂ” произвольная точка плоскости а, можно разложить по векторач 4н и л (так как АХ11а): АХ =!гп+ еп.
(12) Поскольку ОХ = — ОА+ + АХ, то, подставляя в это равенство выражение (12) и полагая, как и раньше, ОА = гс н ОХ.= = г, окончательно получаем г = г, + !4п + еп. (13) Рнс 76 Это уравненпе задает плоскость а в пространстве: положение любой точки Х сна определяется заданием упорядоченной пары действительных чисел (1,А), причем каждой такой парс соответствует некоторая точка плоскости а.
Точка А отвечает паре (0,0). Это — парал4етрическое задание плоскости. $4. Прямая в пространстве Параметрические и канонические уравнения прямой. Всякий вектор, не равный нулю, направленный вдоль прямой, называется ее направляющим векто- м, ром, а Прямая 1, очевидно, за- ~ге дается любой лежащей на ней точкой МВ и направляющим вектором о. Откладываем от точки Мс век- о тор МВМ~ = о и проводим Рис. 77 прямую М,М, (рис, 77). Точка М лежит на прямой ! тогда и только тогда, когда вектор МВМ коллинеарен о, т. е.
когда сушествует такое число 7, что М„М = о!. (1) 1!4 ЧАСТЬ Е АИАЛИТ$РЗЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Если ОМЬ = г„ОМ = г — радиус-векторы точек Мо и М„то М,М =г — г,, и потому (!) означает (2) ! = и!+ го. При каждом ! это дает радиус-вектор некоторой точки М иа прямой 1; с изменением 1 «от — оо до +оо» точка «пробегает» прямую. Уравнение (2) определяет, таким образом, прямую, задавая каждую ее точку значением переменной 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
