1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Алгебраические свойства скалярного умножения (в них а, Ь, с — любые векторы и х — любое число). (1) Коммутативностгк аЬ = Ьа. (11) Ассоциативность по отношению к числовому множителю: (ха)Ь = х(аЬ). (111) Дистрибутивность относительно сложения: а (Ь -1- с) = аЬ -(- Ьс. До ка за тель ство. 1. Ясно из определения по формуле (1). 11. Если х = О при а = О или Ь = О, то равенство верно; обе его части — нули.
Пусть х чь О, а ~ О, Ь ~ О. Тогда (ха) Ь = ! ха ! ! Ь ! соз ~ (ха, Ь) = ! х ! ! а ! ! Ь ! соз х. (ха, Ь). (2) во чдсть ь АнАлитическйя Геометгия Если х > О, то 1х1= — х и ха)(а, так по,~ (ха, Ь) = = ~ (а, Ь). Поэтому (ха) Ь = х1а 1~ Ы соз х. (а, Ь) = х (аЬ). Если х ( О, то 1х ~ =- — х. Но ха11а, так что (рпс. 56) д И а д Ряс. 56 ~ (ха, Ь) = и — х' (а, Ь) и соз х (ха, Ь) = — соз х' (а, Ь). Поэтому из (2) (ха) Ь = — х1а1~ Ы( — соз ~ (а, Ь)) = х ~ а11Ь ) соз ~ (а, Ь); таким образом, формула (П) верна во всех случаях.
П1. Для доказательства дистрибутивности докажем сначала важные формулы: (а+ Ь)э = а'+ Ь'+ 2аЬ, (а — Ь)' = а'+ Ь' — 2аЬ. (3) Действительно, если один из векторов нулевой, то формулы очевидно верны, Пусть векторы а, Ь ие и, получим Рис 57 равны нулю. Отложив их от одной точь (рис. 57) ОА=а, ОВ=Ь, АВ=Ь вЂ” а. По известной формуле косинусов АВЯ=ОА'+ ОВ' — 2ОА ОВ созО или в векторах (а — Ь)'=1а(7+1Ь)' — 21а1.1Ь| сов х.'(а, Ь), и, по определению скалярного произведения, (а — Ь)э = а'+ Ь' — 2аЬ. !!!.с склляРное пгоизведеьч!е а! Так как а ( — Ь) = — аЬ (по свойству !! скалярного произведения), то (а+ Ь)г = а'+ Ьг+ 2аЬ.
Отметим еще, что из доказанных формул (3) непосрсдстненно следует, что (а + Ь)'+ (а — Ь)г = 2 (а'+ Ьг). (4) Теперь обратимся непосредственно к доказательству дистрибутивности. Пусть даны трн вектора а, Ь, с. Положим а+ Ь=р, а+ с.=« (5) н применим формулу (4) к векторам р, «: (р + «)г+ (р — «)' = 2 (р'+ «г) Из (5) находим (пользуясь формулами (3)) (р + «)г = (2а -(- (Ь+ с))г 4аг+ (Ь+ с)г+ 4а (Ь+ с) Кроме того, (р — «)' = (Ь вЂ” с)', и так как (Ь + с)'+ -(-(Ь вЂ” с)г = 2(Ьг+ сг), то (р+ «)г+ (р — «)' = 4а(Ь+ с) + 4аг+ 2(Ьг+ сг) Вместе с тем, из (5), 2 (р' + «г) = 2 (а + Ь)' + 2 (а + с)' = = 4аг+ 2Ь'+ 2с'+ 4аЬ + 4ас. Сравнивая зто с предыдущей формулой, в силу равенства (4) получаем а (Ь + с) = аЬ+ ас, что и требовалось доказать.
П Замечание. Работа силы Г на пути а выражается формулой В'=)Г~ !а1. сов~ (Г, а), т. е, Ф' = Г а. Пусть на тело действуют две силы Гь Гг. Тогда работа их равнодействующей Г = Г!+ + Гг будет (Г!+ Гг)а Г! а+ Гг То есть работа суммы сил равна сумме их работ: работы складываются вместе с силами. чАсты. Анллитическля геометгия 82 Диагональ параллелепипеда. Пусть ОА = а, ОВ=Ь, ОС=-с — векторы,идугцие по ребрам параллелепипеда, и ОО =й — вектор диагонали. Тогда И = а+ Ь+ с. Поэтому если а, Ь, с — длины ребер и а, р, у — углы между ОВ и ОС и т. д., то д'=а'=(а+ Ь+ с)'= = а'+ Ь'+ с'+ 2аЬ + 2Ьс + 2са = = а'+ Ь'+ с'+ 2аЬ соз у + 2Ьс соз а + 2са соз 8.
Проекция вектора на ось. Осью называют прямую, на которой указано направление. Пусть а — данный вектор и е — ось. Представим вектор а отрезком АВ = а и спроектируем на ось е. Пусть А', В' — проекции точек А, В. Проекв иней вектора на ось пал зывают длину отрезка А'В', если направление вектора А'В' совпадает с направлением оси, и длину А'В' с минусом, в' л' е если направление А'В' Ряс 58 противоположно направлению оси (рис, 58). Направление оси можно указать единичным вектором е. Тогда проекция на ось равна ае = ~ а ~ сов Л (а, е).
(8) аЬ=а,Ь, + азЬ,. В частности, если а =- Ь, то получаем а'=ат1+ат~. (Докажите это.) Тут заключен, между прочим, тот вывод, что проекция на ось не зависит от выбора точки А, от которой откладывается вектор а. Скалярное произведение в координатах. Теорема 1.
Если основные векторы единичные и взаимно ортогональные, то скалярное произведение любых двух векторов равно сумме произведений ил одноименных координат. На плоскости В пространстве (7) (8) аь=аь, + ь,+аь„ а =а +аз+а ° з Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть основные векторы на плоскости еь ез единичные и взаимно ортогональные, т. е. ез = ез = 1, е,е, =- О. (9) Векторы а, Ь в той же плоскости представляются через еь ез.. а =а,е, +азе,, Ь= Ь,е, + Ь,е,.
Выполняем умножение, пользуясь свойствами скалярного произведения: аЬ = (а,е, + а,е,) (Ь,е, + Ь,е,) = = а Ь е', + а Ь е е, + азЬ е е, + а Ь е,„'. Отсюда ввиду (9) получаем выра'кение (6). Рассмотрим в пространстве три основных вектора еь ез, ез. Если оии единичные и взаимно ортогональныс, то е-', = ез = е,'- = 1, е,ез = е,е, = езе, = О. (! О) Векторы а, Ь в пространстве представляются через эти векторы: а=ае,+аез+ае,, Ь=Ье,+Ье,+Ье,. Я Выписав получим Если оси или, езе суть которые (е~ ( = (ез в.з. скаля»воя пяоизввдвнив произведение аЬ и воспользовавшись (19), подобно предыдущему выражение (7). Е) е — единичный вектор, то его проекции на что то же, скалярные произведения е~е, езе, не что иное, как косинусы углов аь аз, аз, он образует с осями (поскольку ~1»1 =! и ~ =1»з! = 1): е,е = соз ~ (»ь е) = соз а„ езе = сов ~ (е„е) =сова„ е,е = соз ~ (е„е) = соз аз.
84 ЧАСТЬ Ь АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Это так называемые «направляющие косинусы» вектора е. Так как е' = Е то созе а, + созоаз+ соз'а, = Е ф 5. Координаты в пространстве Прямоугольные координаты. Забыв пока о векторах, опишем, как вводятся в пространстве прямоугольные координаты. Возьмем какую-нибудь плоскость а н введем на ней прямоугольные координаты х, у. Любой точке М в пространстве отнесем три координаты: две коорди- наты х, у — это коордим т~п наты ее проекции М на плоскость а, а третью координату г определяем с у л так: ~г~ равно расстоя« нию точки М от плоско,г т сти а, причем г ) 0 с одной какой-нибудь сторог о ны от нее, г ( 0 с другой м стороны и г = 0 на саРис 59 мой а (рис.
59). Так как расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость, то ~г~ = ММ,. Так каждой точке пространства однозначно относятся три координаты х, у, г: координата х считается первой, у — второй, г — третьей. Обратно: если заданы любые три числа в определенном порядке хо, уо, го, то найдется точка М с координатами х = хо, у = уо, г = го.
Действительно, берем на плоскости а точку М с координатами х = хо, у = у,. Если г, = О, то это и есть точка М. Иначе проводим из М„ перпендикуляр к плоскости а на длину )го! в ту сторону, где г > О, если го > О, и в обратную сторону, если го < О. Конец М этого перпендикуляра и будет иметь координаты хо, уо, го. П В изложенном определении прямоугольных координат координата г занимает особое положение.
Однако нетрудно определить координаты так, чтобы все трн играли одинаковую роль. НЬ К КООРДИНАТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ Выберем в пространстве какую-нибудь точку О и проведем через нее три взаимно перпендикулярные прямые. Введем на них координаты с общим началом в точке О (рис. 60) и назовем зти координаты х, у, х.
Проведенные прямые называются осями координат: «ось х», «ось у», «ось х». «Г!лоскостью ху» называется плоскость, проходящая через оси х и у. Аналогично определяются плоскости хг и ух. (В предыдущем определении координат плоскостью ху была исходная плоскость и.) Ряс. 60 Рис. 61 Определим координаты любой точки М следующим образом. Берем ее проекции М„М„, М, на оси и координаты их иа осях принимаем за координаты х, у, х точки М (рис.
61). (Убедитесь, что это те же самые координаты, какие были определены сначала.) Принято изображать координатные оси так, как на рисунке 61. Ось х считается вертикальной, направ. ленной вверх; оси х, у считаются горизонтальными: ось х — направленной вперед (на зрителя), ось у— вправо. Такая система координат называется правой. Если представить себе винт, ввинчивающийся в положительном направлении по оси г, то головка винта должна вращаться от положительной полуоси х к положительной полуоси у.
Если изменить направление оси х (или любой другой) на противоположное, то получится «левая» система координат. Ей соответствует не обычный, а левый винт. Нахождение координат точки и, обратно, нахождение точки с данными координатами проще всего представлять так.
Опускаем из М перпендикуляр 86 ЧАСТЬ Л АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ММ на плоскость ху, из точки М опускаем перпендикуляр М«М» на ось х. Длины отрезков, взятые с должными знаками, и дадут координаты точки М: ММ дает г, М М„дает у, М„О дает х. Точку с данными координатами ха, уе, га находим построением в обратном порядке: сначала строим точку М„ затем по перпендикуляру к оси х — точку М и, наконец, по перпендикуляру к плоскости ху находим М(х, уо, ге). Координаты и векторы. Радиус-вектор точки. Систему координат можно задать, указав ее начало О и единичные векторы по осям.
Это одинаково возможно на плоскости и в пространстве; различие лишь в том, что на плоскости задаются два вектора, а в пространстве — три, Если строится прямоугольная система координат, то векторы берутся взаимно ортогональнымн. Расссмотрим введение координат в пространстве (на плоскости все будет аналогично и только несколько проще). Выберем в пространстве точку О и три взаимно ортогональных единичных вектора 2, (, й: 2 22 й2 ) 2) )й й ° б Каждая точка М оказывается концом вектора ОМ. Он называется радиус-вектором точки М. С другой стороны, всякий вектор г, если его отложить от точки О, задает некоторую точку М вЂ” конец радиус-вектора ОМ = г. Вектор г определяется своими координатами х, у, г относительно основных векторов 2, ), й. Вместе с ним определяется и точка М: (2) О.В = г =- гх + )у + йг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
