1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 12
Текст из файла (страница 12)
4. Прибавление нуль-вектора ничего не меняет: а+О=а, так как АВ+ ВВ = АВ. 5. Для каждого вектора есть противоположный — а, т. е. такой, что а+ ( — а) =-О, (Если а = АВ, то — а = ВА и АВ+ ВА = АА.) Все эти свойства означают, что векторы образуют коммутативную группу относительно сложения (то, что векторная операция записывается как сложение, Нь Е СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ указывают, говоря, что это группа «в аддитивной записи»). 6.
Однозначно определено вычитание, т. е. для каждых двух векторов а, Ь существует такой вектор е — нх разность, — что а = Ь+ с; пишут с = а — Ь. Действительно, если сложить с = а + ( — Ь), то по определению это и будет разность векторов а Ь, Ь+ с = Ь+ а+ ( — Ь) =а+ (Ь+ ( — Ь)) =а+ О =а. Другой разности нет, так как если а = Ь+с, то, прибавляя ( — Ь) к обеим сторонам равенства, получим а + ( — Ь) = Ь+ с + ( — Ь) =- с + Ь+ ( — Ь) = с+ О = с.
Разложение вектора на составляющие. Самолет пошел на посадку. Его перемещение состоит из двух Рис. 49а Рис. 49б Рис. 49в составляющих: вертикальной и горизонтальной: первая показывает, насколько он снизился. вторая — насколько н в каком направлении он переместился над землей за время снижения (рис. 49а). Вес груза, висящего на треноге, разлагается вдоль ног треноги на три составляющие (рис. 49б).
Вес тела на наклонной плоскости разлагаетси на давление то ЧАСТЬ С. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ иа плоскость н «скатывающую силу» вдоль плоскости (рис. 49в). Коротко говоря, составляющие данного вектора— эти такие векторы, сумма которых равна этому вектору. Он «составляется» из них, как сумма из слагаемых, и разлагается на них, как на слагаемые. Поэтому и говорят о разложении на составляющие. Разложение вектора в плоскости.
Всякий вектор е плоскости однозначно разлагаегся на составляющие, параллельные двум данным пересекающимся прям ьсм, Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть даны прямые а, Ь, пересекающиеся в точке О, и в той же плоскол а сти — вектор и. Отложим его от точки О, так что Рис. 50 — ь будет ОУ = и. Пусть ОУ не лежит ни на одной из прямых а, Ь. Проведем из точки У отрезки УА((Ь, УЩа с концами А на а н В на Ь (рис. 50). Тогда по правилу параллелогралсма ОУ = ОА+ ОВ. Векторы и, = ОА, иь — — ОВ н являются составляющими вектора и вдоль прямых а, Ь: и,((а, иь((Ь, и, + + иь = и.
Если в((а, так что вектор и = ОУ оказывается на прямой а, то он сам и служит своей составляющей и, вдоль а, а иь = О, так что в = и, + иь. Если же и(сЬ, то ии = О и иь = и. Итак, доказано, что вся<тор разлагается на составляющие по прямым а, Ь. Нужно доказать, что такое разложение единственно. Пусть пмеются два разложения, так что = ~, + ~ь = и, + в,. (() Отсюда ьь — и, = и' — и . Здесь вектор и, — и, параллелен прямой а, а и,' — и параллелен прямой Ь. Ясно, что они могут быть равны„только если они нулевые, т. е. если !Н.
Е СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ 71 е, — еь =О, еь "ь=О, так что е.'=па еь =еь. Значит оба разложения (!) совпадают и двух разных быть не может, что и требовалось доказать. П Разложение вектора по прямой и плоскости. Всякий вектор е допускает, и притом единственное, разложение на две составляющие: одну — е„параллельную данной прямой а, другую — е, параллельную данной плоскости а, пересекающей прямую а; в формулах: е = е, + е„е, ~! а е„13а. Дока з а тел ь ство.
Пусть е — данный вектор, а и а — данные прямая и плоскость, пересекающиеся в точке О. Отложив вектор е от точки О, получим ОР = е 1рис. 51). Пусть )т — плоскость, проходящая через прямые а и О)т. Она пересекает а по некоторой прямой Ь. По доказанному вектор е = Ор разлагаетея на со. а! Рис. 52 Рис. 51 ставляющис по прямым а и Ь: е = па+ еь. Но еь есть, очевидно, его составляющая, на плоскости еи еь = е . Следовательно, еа + еа.
Единственность такого разложения доказывается аналогично предыдущему. П Разложение вектора по трем прямым. Всякий вектор е допускает, и притом единственное, разложение на составляющие, параллельные трем данным прямым а, Ь, с, не параллельным одной плоскости: е = — е, + еь+ е„т2,!1а, еь!!Ь, е,11с. Доказательство. Пусть даны три прямые, не параллельные одной плоскости. Перенесем их, если 72 ЧАСТЬ Ь АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМГТРИЯ нужно так, чтобы они пересеклись в одной точке О; обозначим их а, Ь, с (рис. 52).
Пусть а — плоскость, проходящая через прямые Ь, с. Данный вектор разложим на составляющие э„э по прямой а и плоскости а. Затем разложим э по прямым Ь, с. В результате получим разложение э на составляющие: э = э, + эь+ э„э,((а, эв)(Ь, э,((с. Такое разложение единственно, так как по доказанному выше разложение э = э„+ э единственно и разложение э = э, + э, единственно. Б Общий вывод о разложении на составляющие. Полученные выводы можно суммироватьс Теорема 1. Всякий вектор допускает, и притом единственное, разложение на составляющие в каждом из трех следующих случаев: а) по двум пересекающимся прямым, если вектор параллелен проходящей через них плоскости; б) по пересекающимся прямой и плоскости; в) по трем прямым, не параллельным одной плоскости.
П Из этой теоремы вытекает Теорема 2. При сложении векторов соответствующие составляющие складываются. Доказательство. Докажем эту теорему, например, для разложения векторов по прямой а и пересекающей ее плоскости а. Пусть даны векторы и,э, и пусть тэ = и+ э. разложив эти векторы по прямой а и плоскости а, имеем и = и, + и„э = э, + э„тв =- тв, + и „. Тогда из первых двух разложений тэ = и+ э = и, + и, + э, + э, = (и„+ э,) + (и, + э ), Здесь вектор и, +э, параллелен прямой а, а и„+ + э — параллелен плоскости а, т.
е. они представляют разложение вектора и+ э = тв. Поэтому, ввиду единственности разложения, в. = и. + э., тэ = и,+ ,+ э, что и требовалось доказать. В случае других разложений доказательство совершенно такое же. П Доказанную теорему можно перефразировать так: Векторы можно складывать по составляющим. пьз эмножвния вектоях нх число $ 3. Умножение вектора на число. Координаты вектора Коллинеарность и компланарность. Свободные векторы называют коллинеарными, если представляющие нх направленные отрезки параллельны некоторой прямой.
При этом удобно считать нуль-вектор коллинеарным любому свободному вектору. Обозначение — то же, что и для параллельности: а||Ь и т. д. Свободные векторы называют компланарными, если представляющие их направленные отрезки параллельны некоторой плоскости. При этом, опять же, удобно считать нуль-вектор параллельным любой плоскости, Поэтому три вектора, среди которых есть нуль-вектор, всегда компланарны. Другими словами, если векторы откладывать из одной точки, то коллинеарные векторы окажутся лежащими на одной прямой, а компланарные — в одной плоскости. Умножение вектора на число. Произведением вектора а на действительное число х называется вектор, обозначенный ха или ах, такой, что, во-первых, его длина равна |х| |а| и, во-вторых, если а чь О, то при х ) О ха (( а и при х < О ха )) а (если а = О или х = О, то, по первому условию, |ха/ = О, так что ха = О).
Теорема Е Ненулевой вектор а и вектор Ь коллинеарны тогда и только тогда, когда существует такое число х, что Ь = ха; такое число х при данных а и Ь единственное. Доказательство. Если а ~ О и Ь = ха, то Ь||а, как следует из самого определения умножения вектора на число (по которому либо Ь = О, либо Ь( а, либо Ь((а). усть а чь О и Ь(|а.
Найдем такое х, что Ь = ха. Если Ь = О, то х=О. Если Ь ~) а, то берем х = |Ь| =|Ь|/|а|. Рассмотрим вектор ха= — а. По опре|а| делению умножения на число | ха |= — | а |=| Ь!, |а| |я| и так как х)О, то ха(~а Л так как Ь))а то ха ( ( Ь. Таким образом, ! ха / = | Ь / и ха ф ф Ь, следовательно, ха = Ь. 74 ЧАСТЬ ! АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Если Ь Ть а, то берем х= — )Ь|/(а(, и тогда из определения умножения на число (ха(= — (а ~=(Ь!, и так как ха14а, то ха)).Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
