1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 8
Текст из файла (страница 8)
(8) Возводим в квадрат и подставляем г', из (3). Тогда простые преобразования приводят, так же, как в случае эллипса, к уравнению (6) Но теперь с) а (вследствие неравенства в условии (!)). Поэтому можно положить се — а'= Ьт, и мы получим: (7) Мы доказали, что точки, для которых выполняется первое из равенств (2), принадлежат кривой с уравнением (7), т. е. что первая ветвь гиперболы в ней содержится.
Но это не вся гипербола. Уравнению (7) удовлетворяет также и вторая ее ветвь. Это вы докажете аналогично предыдущему, исходя из второго равенства (2). Теперь нужно доказать, что не только обе ветви содержатся в кривой (7), но и что они ее исчерпывают. Тогда н будет доказано, что уравнение (7) действительно задает гиперболу, определенную ее фокальным свойством. Обратимся к соответствующему выводу, так же как в случае эллипса.
Из выражения (3) для гт1, пользуясь (7) и тем, что с'= аз+ Ь', находим: ае с г'=(х+ с)'+ — х' — Ьт= ~а+ — х) . 1 а' Ф Отсюда, полагая — =е (как и в (! !), 3 3), получаем е г, =+-(а+ ех). (8) Минус здесь возможен — в отличие от случая эллипса. Из уравнения (7) очевидно, что (х( ) а. Поэтому 46 ЧАСТЬ Ь АИАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ при — х ) а, поскольку с ) а, будет — (а + — х) = а с = — а — — х) с — а) О. и Аналогично найдем г,, исходя из выражения (3): для г, оно отличается только знаком прн с. Поэтому можно сразу написать его, изменяя в (8) знак при е: г, = -~- (а — ех).
(9) Здесь опять возможны обе знака. Г!ри х ) а имеем г, = а+ ех, г„= — а+ ех. При — х а имеем г, = — (а+ ех), г, = а — ех. В обоих случаях )г, — гс! = 2а. Итак, мы доказали, что каждая точка кривой с уравнением (7) лежит на одной из ветвей гиперболы. Наше утверждение полностью доказано. П Таким образом, мы доказали, что определения гиперболы ее фокальным свойством и каноническим уравнением равносильны. Рис. 34 Фокальное свойство гиперболы дает простой способ чертить се.
Втыкаем в бумагу две булавки в фокусах гиперболы и прикрепляем к ним — к одной и другой — две нитки; на пнх надеваем колечко и, натянув нитки, помещаем его в точке между фокусами, где должна быть вершина гиперболы. Если теперь перемешать колечко, натягивая нитки, то каждая из ннх — от булавки до колечка — будет удлиняться на ИСК ПАРАЕОЛА; ЕЕ ФОКУС И ДИРЕКТРИСА 41 одну и ту же величину, так что разность их будет постоянна.
Поэтому острие карандаша, вставленного в колечко или прижатого к нему, будет описывать ветвь гиперболы (рис. 34). $ б. Парабола; ее фокус и директриса. Директрисы эллипса и гиперболы Точка Р называется фокусом параболы, прямая 0 — ес директрисой. Покажем, что парабола определяется указанным геометрическим свойством, Доказательство. Введем координаты, проведя ось х перпендикулярно директрисе Рис.
35 через фокус. Начало возьмем в середине отрезка между директрисой и фокусом. Длину этого отрезка (расстояние от фокуса Р до директрисы) обозначим р, так что фокус будет точкой (~ ф, 0), а директриса — прямой х = — Р (рис. 35). 2 Расстояние от точки М(х, у) до директрисы будет =~ +й (2) Расстояние же т = РМ до фокуса будет т = ~/(х — — ) + у'. (3) Параболе можно дать следующее геометрическое определение. Парабола — это кривая, образованная точками, равноудалениыми от данной точки и от данной прямой (при условии, что данная точка не лежпг на этой прямой).
Т. с. если Р— данная точка, 0 — данная прямая, а т и д — расстояния от точки М до Р и 0, то парабола образована точками М, для которых г=д. 48 часть ь Анхлитичьскля гсометяпя Из равенства г = д получаем да = га, т. е. ,2,1 х-+ рх+ — =х- — рх+ — +у', 4 ' ' 4 (4) откуда у'= 2рх.
(5) Этим доказано, что точки с г=д содержатся н кривой с уравнением уа = 2рх. Обратное доказывается «обратным ходомхч из (5) получаем (4), и, извлекая корни, получаем г = — д. ь) Итак, определения параболы равенством г = д и уравнением (5) равносильны. Директрисы эллипса и гиперболы. Эллипс, отличный от окружности, и гипербола характеризуются вместе с параболой общим свойством. Это кривые, образуемые точками, у которых отношение расстояний до данной точки г и до данной прямой Р (не проходящей через г) одно и то же. То есть если г и д — расстояния точки М до г и Р, то г — = е = сон 51.
а' (б) а~ а с а Кривая с постоянным отношением (б), очевидно, определяется двумя величинами: отношением е в (б) (зксцснтриситет) и расстоянием р фокуса от директрисы. Для эллипса и гиперболы а« Р= (У) Причем для эллипса е 1, а для гиперболы е ) 1, н это число есть не что иное, как зксцентриситет. Для параболы же, как следует из предыдущего, е = 1.
Прямая Р также называется директрисой, а точка Р— фокусом кривой — эллипса или гиперболы. По симметрии эллипса и гиперболы у них по два фокуса и две директрисы. Это те самые фокусы, которые фигурируют в фокальном свойстве. Директриса и фокус, для которых выполнено (6), располагаются с одной стороны от центра. Директрисы перпендикулярны линии фокусов и расположены от центра на рас- стоянии н б уРАВнение В пОляРных ХООРдинхтАх 49 Окру кность исключается: для нее с=О; у нес нет директрисы. Дока~кем, что эллипс, отличный от окружности, и гипербола обладают указанным свойством. Рассмотрим рнс. 36.
Введем координаты х, у как и раньше так, чтобы фокусы были в точках г!( — с, О), гх(с, О). директриса Ре — это прямая х = д = а/е. Уточекк эллипса (х) = а и е ( 1 Поэтому расстояние произвольной его точки М(х, у) от директрисы Р, будет е г(з =- д — х = — — х. (8) е Рис. 36 Вместе с тем по формуле (!2) 9 3 фокальное расстоянн г, =а — ех. (9) Поэтому г, = ес/,, что и требовалось доказать.
По симметрии эллипса точно так же г! = ес(!. Стало быть, равенство (6) на эллипсе выполняется. Обратно: из (6) и (8) следует (9), а из (9), как показано выше, в 9 3, вытекает уравнение эллипса. Таким образом, равенство (6) с е ~ 1 характеризует эллипс, что н требовалось доказать. Аналогичны!! вывод для гиперболы читатель проведет сам. Здесь нужно иметь в виду, что для одного фокуса есть дас формулы расстояния (по формулам (8), (9) 5 4).
Для каждого из этих «расстояний» нужно проверить равенство г/!е = е. С) 9 6. Уравнение в полярных координатах Возьмем полярные координаты с началом в фокусе рассматриваемой кривой — эллипса, гиперболы или параболы, а начальный луч направим через ближайшую к фокусу вершину или, что равносильно, в сторону соответствующей директрисы перпендикулярно к ней (рис. 37). При таком выборе координат радиальная координата точки на кривой есть не что нное, как фокальный радиус. 80 ЧАСТЬ ! АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ По свойству директрисы и фокуса г = ей. (!) Пусть д — расстояние от фокуса до директрисы, а х — координата точки, когда ось х направлена по начальному лучу, т. е.
к директрисе. Тогда если х ( <д,то д=д — х. (2) Рис. ЗТ Так будет для эллипса, параболы и той ветви гиперболы, которая ближе к'взятому фокусу. Вместе с тем в полярных координатах х=гсозО. Поэтому (!) дает г = ед = е (д — х) = ед — ег соз О, откуда г= ед 3 1+ е сои е ' () Это и есть уравнение эллипса, параболы и одной ветви гиперболы в полярных координатах. Рис. 38 Рис, 39 Величина ед имеет простой геометрический смысл. я При О= — формула (3) дает г = ед; это значит, что 2 еу есть расстояние от фокуса до кривой по перпендикуляру к осн (рис.
38). Оно называется фокальным параметром и обозначается р. В случае гиперболы для другой ее ветви (рис. 39) д=х — а. и.е гахвнеиие в поливных коогднихтлх б1 Поэтому г = ес( = е (х — с)) = ег соэ Π— е!7, откуда — ея еч г 1 — есоев есоев — ! (4) Для параболы е = 1 и с) = р, это то самое р, которое входит в ее уравнение. Введем фокальный параметр р в уравнения (3), (4): г= !+есоеВ ' г= есоев — 1 (6) Однако чаще начальный луч полярных координат направляют противоположно, от ближайшей вершины.
Тогда угол и изменяется иа и., и косинус меняет знак. Поэтому при таких координатах уравнения будут г (6) ! — есоеВ ' 1+есоев ' При задании уравнениями (5) начальный луч 0=0 проходит через точки, блихкайшие к фокусу. При задании уравнениями (6), напротив, начальный луч не пересекает ни параболу, ни гиперболу. Гиперболу не пересекают лучи, для которых знаменатель неположитслен. (В каком угле заключены эти лучи?) Значение уравнения конических сечений в полярных координатах. Согласно первому закону Кеплера (открытому им около !610 г.), планеты двигаются по эллипсам, в фокусе которых находится Солнце.
Потом Ньютон вывел из своего «второго закопав и закона тяготения, что всякое тело под влиянием притяжения Солнца необходимо двигается по кривой — эллипсу, параболе или ветви гиперболы — с фокусом в Солнце, которая охватывает фокус (как на рис. 37), не считая того случая, когда оно движется прямо к Солнцу или от него. Естественно принять за начало координат центр Солнца и в качестве одной из координат взять расстояние от него. В качестве другой естественно взять угол поворота радиус-вектора, идущего из центра Солнца к движущемуся телу. Тем самым мы вводим полярныс координаты в плоскости, в которой расположена траектория небесного тела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
