1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 6
Текст из файла (страница 6)
й !. Типы кривых второго порядка Мы знаем, что уравнения первой степени представляют прямые линни. Естественно задаться вопросом о множествах, определяемых в прямоугольных координатах уравнениями второй степени. Такое общее уравнение имеет вид анх'+ 2а,схУ+ актУт+ 2а,х+ 2а,У+ а, — О; (!) предполагается, конечно, что хотя бы один из коэффициентов ан, ам, ам отличен от нуля ').
Определение. Геометрическое место (илн множество) точек, координаты которых удовлетворяют такому уравнению, называется кривой второго порядка (сокращенно КВП). Это определение инвариантно относительно выбора системы координат: координаты в одной системе выражаются через координаты в другой системе линейно, так что подстановка таких выражений для х и у в уравнение (!) не может повышать его степень (см. 2 7). При атом члены второй степени не могут и исчезнуть. Иначе при обратном переходе от «новых» координат х', у' к «старым» х, у они не могли бы появиться.
Оказывается, уравнения второй степени могут представлять существенно разные кривые. Существует восемь типов кривых второго порядка. Перечислим их. Во-первых, это эллипсы, гиперболы и параболы; формально их можно определить так. !. Эллипс — это кривая (рис. (9), представляемая в подходящей системе координат уравнением вида кт ут — Г+ — = !. (2) '! Принято висеть 2ам, 2аь 2а, для удоастаа, которое скажется дальше; 2а,тху = идар+опух, 2а~х = а~х ! +а~! х, ... П. С ТИПЫ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА (Как правило, подразумевают, что а > Ь > О.) Простейший случай — когда а = Ь. Тогда уравнение представляет окружность х +у =а'.
Таким образом, окружность — простейший частный случай эллипса. Рис. 20 Рис. !9 2. Галербола — это кривая (рис. 20), которая в подходящих координатах представляется уравнением вида 22 Ма — — — =!. в2 Ве (3) Простейший частный случай получается прн а = Ь,— это так называемая равнобокая гипербола (рис. 2!), представляемая уравнением хв — у' = а'. Если повернуть оси на 45', это уравнение преобразуется в 2х'у' = а'-. Так что в таких координатах равнобокая гипербола представляет график обратРис.
21 ной пропорциональности. 3. Парабола — это кривая (рис. 22), которая в подходящих координатах представляет график пропорциональности квадрату или, друп!ми словамн,— график простейшей квадратной функции у = ахх. 9 А. Д. Авеасандрав. и. Ю. Нецеееаев 34 ЧАСТЬ 1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ 1'ЕОЛ!ЕТРИЯ Однако в аналитической геометрии принято менять оси ролями и задавать параболу уравнением у-" = 2рх. (4) Г!осаму именно так — будет видно дальше (см.
$5), Уравнения (2), (3), (4), какими мы определили здесь эллипсы, гиперболы и параболы, называются их каноническими уравнениями (понятно, что в других координатах они будут задаваться уравнениями другого ш1да). Рис. 22 Рис, 23 Кривые трех названных типов — эллипсы, гиперболы, параболы — обладают ридом замечательных геометрических свойств и могут быть определены разными геометрическими условиями; это будет сделано далыпе (см. 2 3, 4, 5).
В частности, онп представляют собою кривые, получающиеся, если прямой круговой конус (конус вращения), образуемый прямыми, проходящими через одну точку — вершину конуса, — пересекать плоскостями, ис проходящими через вершину (рис. 23). Поэтому опи называются коническими сечениями. Их можно было бы назвать также «настоящими» КВП в сравнении с остальными пятью тинами КВП. За коническими сечениями следуют три типа КВП, состоящих из прямых. 4.
Пара иересекаюи(ихся яряммк (рис. 24). В подходящих координатах она представляется уравнением ух — кеха = О. и, е ФОРИА эллипсА, ГипеРБОлы и пАРАБОлы Зв 6. Пара параллельных арямых (рис. 26). В подходящих координатах оиа представляется уравнением уе Рис. 24 Ряс 25 6. Одна прямая (рис. 26), В подходящих координатах она представляется уравнением у» = О. Наконец, есть еще два типа вырождающихся КВП: 7. Одна гочка. Ее представляет уравнение хе+ + ус = О в таких координатах, в которых она принята за начало. 8. Пустое мноясестао — пустая «кривая» без точек.
Ее представляет уравнение типа х' + р' + 1 = О или хэ + ! = О. С этими КВП мы уже встречались, рассматривая обобщение уравнения окружности в $3 гл.1. Итого мы перечислили 8 типов КВП. Других КВП не бывает, как будет доказано дальше в $7. А теперь рассмотрим некоторые геометрические свойства конических сечений. й 2. Форма эллипса, гиперболы и параболы Исслсдуем форму эллипса, гиперболы и параболы, исходя из данного выше их определения каноническими уравнениями. Эллипс. Он имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии; их называют его осями.
Оси -пересекаются в его центре симметрии или — центре эллипса. Эти свойства непосредственно видны нз того, что 36 часть с дндлитичгскдя геометрия эллипс может быть задан уравнением х' «г — '+ —, =1, аг Здесь осями его служат осп координат, а центром— начало координат. Действительно, отражение относительно оси х состоит в замене точек (х, у) на (х, — р), т. е.
в перемене знака у. Поэтому, вообще, если у входит в некоторое уравнение только в четных степенях, то кривая, представляемая таким уравнением, симметрична относительно оси х (ср, замечание в конце $ 5 гл. 1). Аналогично, если уравнение содержит х только в четных степенях, то ось д есть ось симметрии кривой. Симметрия (или отражение) относительно точки, слу'кащей началом координат, состоит в замене точек (х, у) на ( — х, — у). Поэтому если в уравнение входят члены только с чстнымп степенями или даже четными суммами степеней (т. е. для каждого члена ах«уз сумма а+ р четна), то начало является центром симметрии кривой ').
Точки пересечения эллипса с осями называются его вершинами. Величины а, Ь представляют собой расстояния от центра до вершин эллипса (так как прн д=б из (1) следует, что х=+.а, и при х=б— что у = ~Ь). Их называют полуосями эллипса, Окружность характеризуется, очевидно, их равенством. Ось эллипса, которой отвечает большее из чисел и, Ь, называется большой, другой — малой. Обычно предполагают, что в уравнении (1) а ) Ь, так что а — большая полуось, Ь вЂ” малая и ось х — «большая ось»„ ось у — «малая» (рис. 27).
Из уравнения (1) следует, что (х) ( а, (у( ( Ь, т. е. эллипс заключен в прямоугольнике, ограниченном прямыми х = ~а и у = =ЕЬ. Эллипс ограничивает эллиптическую «площадку», которую тоже назызг вают эллипсом; она задается неравенством —., + рг + —, <~1. Она выпукла — отрезок, соединяющий любые две ее точки, содержится в ней. (Докажите это.) ') разумеется, все сказанное сохраняет силу, если слово ° четный» заменить всюду в атом абзаце иа сиово «нечетный». !! и фоги!и элл!!Нси, гипееволы и пАРАГОлы 37 Эллипс как проекция окружности. Эллипсу можно дать следующее определение.
Эллипс — это кривая, котораи получается при сжатии окружности к какомулпбо се диаметру. При проектировании с плоскости Р на плоскость !,> происходит сжатие вдоль прямых, перпендикулярных линни пересечения плоскостей Р, Я. Поэтому данное определение эллипса равносильно тому, что эллипс есть проекция окружности (рис. 28). Сжатие фигуры в (и Рис. 27 раз к оси х состоит в том, что каждая точка (х, у) фигуры переходит в точку (х,у) с х=х, у= —, так что х=х, у=!!у. По- !! ' Рис.
28 Рис. 29 этому окружность хи+ у' = аи переходит в криву>о х>+ ьс>гс п-, и или, если положить — =Ь, >! Х !! — + — =1 а ь ! ! Совершенно так же растяжение окружности от прямой дает эллипс. Поэтому плоские сечения прямого кругового цилиндра — эллипсы (рис. 29). за чхсть» лпалптичаскья геомкти»я Гипербола. Опа имеет двс оси симметрии н центр симметрии.
Это видно из ее уравнения х' »»« — — — =1. д«Ь« (2) Как и для эллипса, осями служат осн координат, центром — начало. Одна ось — «мнимая» — ие пересекает гиперболу, другая — «всщественная» — пересекает в двух точках, называемых вершинами. (Наглядно это очевидно, а формально доказывается «в два слова». Если х = О, т. е. берется ось у, то из (2) получается у' = — Ь', что невозможно.
Если у = О— берется ось х, — то хе = а' и х = ~а.) Следовательно, величина а есть расстояние от центра гиперболы до ее вершин. Она называется вещественной полуосью, а Ь вЂ” мнимой (потому что прн замене Ь на 1/ — 1 Ь уравнение гиперболы переходит в уравнение эллипса). Всегда подразумевается, что а, Ь)О. .г Из уравнения (2) очевидно, что — ', »1, Поэтому х') ат. Следовательно, ив гиперболе иет точек с ~х! ( а. Оиа состоит из двух ветвей, раздек ленных целой полосой между прямыми х= а, Ь х = — а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
