1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Этн ветви уходят в бесконечность, х так как при )х(- оо также (у(-» со. Асимптоты гиперболы. Прямые Ь Ь у= — х, у= — — х (3) Я и Рик 30 обладают в отношении гиперболы с уравнением (2) важными свойствами. Если точка, двигаясь непрерывно по гиперболе, удаляется в бесконечность, то она неограниченно приближается к одной из этих прямых (рис. ЗО).
Прямая, обладающая н отношении какой-либо ириной подобным свойством, называется ее асимпто- П.т. ФОРМА ЭЛЛИПСА. ГИПЕРБОЛЫ И ПАРАБОЛЫ 39 той. Наше утверждение о прямых (3) состоит, стало быть, в том, что они служат асимптотами гиперболы. Докажем зто утверждение. Из уравнения (2) следует, что для точки Х(х, у), лежащей на гиперболе, имеет место равенство е у = —,х- — Ь-.
ь Пусть точка Х расположена, например, на той части гиперболы, где х ) О, у ) О. Вертикальная прямая, проходящая через нее, пересечет прямую у= ь = — .с в некоторой точке Х!(х, у,), так что и у = — ех ° Ь' а' Поэтому у', — уе =-Ь', откуда ье У! У= Р,+и. (4) = — х и иее 1 б Рис. 31 Остальные части гиперболы, где х ) О, у <„' О н т.
п., не нужно рассматривать, так как нз симметрии гиперболы относительно осей ясно, что для них выполнено аналогичное. Е) Из доказанного вытекают следующие два Замечания. 1. Чертить гиперболу надо так, чтобы ее ветви, «распрямляясь», прижимались к асимптотам (рнс. 31, и верный, рис. 31, б неверный). Если х- +аю, то у - +ао и у! — +аа; поэтому из равенства (4) следует, что у,— у — О. Тем самым точка Х неограниченно приближается к прямой у = Ь лс ЧАСТЬ Ь АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 2.
При движении точки по гиперболс двпукение это на больших расстояниях все меньше отличается от прямолинейного — от движения по асимптотс. Парабола. Она имеет одну ось симметрии — это ось х, когда параболу представляет каноническое уравнение у' = 2рх. Точка пересечения параболы с осью называется ее вершиной. Каждая прямая, параллельная оси, пересекает параболу в одной точке. 3 3.
Эллипс; его фокальное свойство Эллипсу можно дать (и очень часто дают) следующее чисто геометрическое определение. Эллипс — это фигура (кривая), образованная точками, у которых сумлса расстояний от двух заданных точек фиксирована (и больше расстояния ма жду двумя указанными точками). То есть если гь гт — данные точки, то эллипс образован точками М, для которых Р,М+ РТМ = сопз1) Р,РТ. (1) Последнее неравенство необходимо: оно означает, что сумма двух сторон треугольника г,гзМ больше третьей ').
Точки Рь Р, называются фокусалеи эллипса. Если они сливаются, то у ловие (1) сводится к тому, что РМ = сопз(; точки с этим условием образуют окружность. Она считается частным (иногда — вырожденным) случаем эллипса. Здесь мы будем понимать эллипс в смысле данного определения и докажем, что он задается в подла рз ходящих координатах уравнением †, + †, = 1 (т. е. о' Ьз является эллипсом в смысле данного в 3 ! определения).
Л о к а з а т е л ь с т в о. Введем прямоугольные координаты с началом посредине между фокусами, т. е. в середине отрезка т,рз, и с осью х, проходящей через фокусы (рис. 32). Введем обозначения: постоянную в (1) обозначим 2а и положим Р~М = ть ГвМ = тз, так что условие (1) будет выглядеть сле- ') Точки М с условием Р,М+ гзМ = г",гз образуют отрезок Риси точек М с ~~М+ гзМ ( Г1гз ве ствгсстаУет. п.з.
эллипс; его вокальное свопство 4) дующим образом: г, + г,=2а. (2) Полагаем еще Р~Рэ = 2с, так что расстояние фокусов от начала равно с и фокусы расположены в точках г",( — с,б), Рз(с,б). Поэтому г', =(х+ с)'+ уз, гз=(х — с)'+ у', г; "— г, '= 4сх. (3) Из (2) находим: г',-' = (2а — г,)з = 4аз + г-", — 4аг „4 аг, = г; '— г„'+ 4а'. (4) Отсюда, пользуясь последним равенством в (3), получаем г, = — х+а. (б) Возводим в квадрат и подставляем г пз (3).
Тогда простые преобразования (которые вы должны проделать!) приводят к уравнению х~ у~ —,+,, =1. (6) Так как а ) с, то можно положить а' — с'= Ьх. Тогда уравнение (б) совпадет с уравнением (2) из $ 1: — + — =! Х' !/' (7) чг Ь~ Рис 32 Что мы доказали, выведя это уравнение? Мы доказали, что координаты точек эллипса (в его геометрическом определении условием (2) ) удовлетворяют уравнению (7), т. е. что эти точки содержатся среди точек, удовлетворяющих этому уравнению: другими словами — что эллипс содержится в кривой, представленной уравнением (7).
Но это еще не значит, что он и есть эта кривая: ведь она может содержать точки, для которых условие (2), определяющее эллипс, не выполняется. Стало быть, нужно еще проверить, что нз уравнения (7) вытекает условие (2). 42 часть ь аналитическая геометяня Действуя «в лоб>, нужно, пользуясь уравнением (6), вывести выражения для гь г2. с г, =а+ — х, я с г =а — — х а (8) н, сложив кх, получить: г1 + гт = 2и. Проделаем этот вывод. Из выражения (3) для г"; н из уравнения (7) находим: ~ 2 гз =(х+ с)'+ Ьз — —, х-'.= (1 — —; ) хг+ 2сх+ сз+Ь'-', 1 к ьн так как Ьг аэ сэ то г-',=(и+ — х) . (9) Извлекая корень, получим для г~ или выражение (8), или то же со знаком мпнус: г, = — (а + — х) .
(10) Почему (10) пе может выполняться? Расстояние г, ) О, а правая часть здесь положительна при с а-1- — х < О. Однако это невозможно в силу урава пения (7): нз него очевидно следует, что 1х~ < а, но г с тогда а+ — х > О, поскольку 0 « — 1.
а а Такам образом, извлечение корня нз (9) дает для г~ только выра>кение (8), Так как в формулах (3), нз которых делается вывод, г, отличается от г~ только знаком при с, то н для г, получаем выражение (8). В результате мы получаем, что г~ + гх = 2а. Следовательно, уравнение (7) задает эллипс (в данном его геометрическом определении).
П Отметим, что дальше — в $ 4 — прн аналогичном выводе извлечение корня даст другой результат. Замечание. Проверку можно провести нз геометрических соображений без выкладок. Из уравнения (7), как уже замечено, следует, что х ~ [ — а, а). Каждому х нз этого промежутка соответствует определенный у' и, стало быть, два значения; ~у. Вместе с тем с каждой стороны от отрезка )х) < а на перчендикуляре к нему лежит по одной точке М с дан. ной суммой Р~М+ РхМ (сумма этих расстояний рас- И.З.
эллипс; его Фоккльное свонстВО 4з тет с удалением М от оси х и потому имеет данное значение только в одной точке с каждой стороны от оси). Но, по доказанному при выводе уравнения (7), эти точки лежат на кривой с этим уравнением. А так как на том же перпендикуляре с каждой стороны есть по одной точке этой кривой, то эти точки совпадают с указанными точками. Тем самым эта кривая и есть эллипс, что и требовалось доказать. Определение. Отношение (11) называют эксцентриситетом эллипса (потому чзо оно показывает, насколько фокусы удалены от центра; для окружности с = О, так что е = 0». С этим обозначением формулы (8) записываются компактно: (12) г, =а+ ех, гт == а — ех. Расстояния г> — — г>М, г> = Р,М называют фокальными радиусами точки М на эллипсе. Свойство эллипса, выраженное условием Р>М+ + г>М = сонэ(, называ>от его фокильнь>м свойством.
Поэтому полученный нами результат можно выразить так, Определения эллипса его фоиальным свойством и каноническим уравнением равносильны. Фокальное свойство дает простой способ чертить эллипс. Воткнув в бумагу две булавки в фокусах эллипса, прикрепляют к ним концами нитку длиной в Рис. ЗЗ две большие полуоси. Оттягивая нитку острием карандаша, обводят одну половину эллипса, потом— другую (рис. 33). часть ! Анплччт>шескдя геомгтр>чя й 4. Гипербола, ее фокальное свойство 44 Гиперболу можно опрсдслить геометрически следующим образом. Гнпербо,>а — зто кривая, образованная точками, у которых модуль разности расстояний от двух заданных точек фиксирован (и меньше расстояния между данными точками). То есть если Р>, Ра — данные точки, то гипербола образуется точками М, для которых 1Г,Л1 — ЕеМ1= сонэ! < Г,Га. Неравенство здесь выражает, что разность двух сторон треугольника г>АМ меньше третьей ').
Так же, как в случае эллипса, точки Рь Ра называются фокусалеи гиперболы, расстояния Г,М, Г,М до точки М на гиперболе называются фокальными радиусами; само свойство гиперболы, выра>конное условием (1), называется ее фокальным свойством. Здесь мы будем называть гиперболой кривую, определенную фокальным свойством (1). Задача состоит в том, чтобы доказать, что это определение ранят уа насильно данному выше в 5 1 уравнением —, — —, = 1, ое ь' Д о к а з а т е л ь с т в о. Введем обозначения: Р~М= = г„г>М = гт, сопз1 = 2а и условие (1) запишем в виде )гч — ге~ = 2а.
Это означает, что выполнено одно из двух равенств: г, — г»=2а, или г,— г, =2а. (2) ') Тачки М, дпя которых 1Г,М вЂ” Г>М ~ = Г~Гт, образуют даа пуча с иача том а точках Гь Гт. Точек М с 1Г,М вЂ” ГеМ) ) Г,Га ие сущеста>ст. Соответственно, гипербола состоит из двух «ветвей»с на одной выполняется первое из этих равенств, на другой — второе. Введем такие же координаты, как в случае элч>>пса. Начало берем посредине между фокусами, ось х проводим через фокусы.
Полагаем Р>ра = 2с. Фокусы расположены в точках Р~( — с,0), га(с,0). Поэтому (так же, как в случае эллипса) г', = (х + с)'+ у', г, '= (х — с)а + у', (3) г', — ге =- 4сх. (4) 11. е гипегеолА, ее ФокАльное сеОпстВО 45 Возьмем ту ветвь гиперболы, на которой выполнено первое из равенств (2): г1 — ге = 2а. Тогда (2а г )г Отсюда, пользуясь (4), так же, как в случае эллипса, получаем г, =а+ — х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
