1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Равенство АВ= АВ верно, а по лемме (поскольку С = А и 0 = В) оио имеет место тогда и только тогда, когда АА = ВВ. Поэтому для того, чтобы лемма была верна во всех случаях, нужно присоединить к векторам (направленным отрезкам) «нуль-векторы», у которых начало и конец совпадают. Все они считаются равными друг другу. Каждая точка представляет собой нуль-вектор, если се рассматривать как его начало и конец.
Длина нуль-вектора равна нулю, а направления он не имеет (!). Вообще, вместо векторов — направленных отрезков можно рассматривать «векторы» †упорядоченн пары точек: одна точка — «начало», другая — «конец», ие исключая их совпадения.
В некоторых случаях так векторы и определяют (как пары точек), и это бывает более удобным. Теоретически это безразлично, так как направленный отрезок определяется своими началом н концом. Достоинство направленного отрезка перед парой точек — в наглядности. ем ч и.ГЬ ! юылпгическхя гсомстеия Свободный вектор. Определение. Свободным вектором (или просто вскгоуоч) называется абстрактный объект, связанный с разными направленными отрезками тем, что ка и зй из равных друг другу направленных отрезков читается представителем данного свободного некто»а, а неравные направленные отрезки представляю. разные счободныс векторы.
Тз~ понимаемый вектор называется свободным потому, что ои представляется направленным отрезком ис;ависимо от того, от какой точки тот отложен. Равные наиранленные отрезки ЛВ. Л'В', отложенные от разных точек, представляют одни и тот же вектор. Так что говорят. Л — это вектор а, отложенный от точки Л, а Л'В' — тот >кс вектор, отложенный от точки А'. Это можно сравнить, например, с силой, когда она рассматривается независимо от того, к какому телу она приложена, как, скажем, сила тяги локомотива; ее можно приложить к разным поездам.
Так и вектор можно «прилагать» — откладывать от разных точек. В частности, все нуль-векторы АЛ, ВВ и т. п. представляют один и тот же свободнын нуль. вектор, который обозначается О. Даииос опредечение вектора в виде «бстрактного объекта, представляемого направленными отрезками, выражает то, как на самом деле понимают вектор в геометрии. Дальше это будет особенно ясно видно при определении сложения векторов. Векторы — это объекты, с которыми производят определенные действия, прежде всего сложение. Учитывая это, мы дальше уточним определение вектора. Точное наглядное представление вектора дается перемещением материальной точки или, более грубо, материального тела.
Перемещение определяется направлением и расстоянием, на какое оно происходит: на 2 км к северу, !О шагов вправо п т. п. Данное конкретное перемещение материальной точки из геометрической точки А в В изображается направленным отрезком АВ. Но одно и то же перемещение могут совершать разные тела из разных мест, и их перемещения изобразятся равными направленными Н1. Е СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ 65 отрезками. Так, люди в строю, делающие по команде два шага вперед, совершают одно и то же перемещение: «два шага вперед».
Вектор, как и перемещение, характеризуется направлением и расстоянием или длиной. Задать вектор — значит задать направление и расстояние (длину). Направление задается направленным отрезком нли лучом, и исе направленные отрезки, сонаправлснные с данным, имеют данное направление. Поскольку у равных направленных отрезков одно и то же направление и одна и та же длина, то онн представляют один и тот же вектор. Фраза «Вектор а отяожен от точки А» значит, что построен направленный отрезок АВ, представляющий этот вектор, и мы будем писать АВ = а.
Длина нли л1одуль вектора — это длина представляющего его направленного отрезка, она обозначается как модуль )а! и т. п. Замечание. Данное здесь определение вектора как абстрактного объекта, представляемого направленными отрезками, может представляться необычным. Однако все общие понятия имеют такой характер. Что такое «дом» вообще как не абстрактный объект, связанный с конкретными домами? И как бывают разные типы домов, так бывают и разные «типы» векторон — неравные абстрактные векторы. Однако такой взгляд в математике непривычен, вместо этого пользуются понятием множества и дают определение: вектор — это множество всех равных направленных отрезков, и даже хотят представить его множеством равных направленных отрезков, отложенных от всех точек пространства (хотя едва ли кто-нибудь на самом деле так представляет вектор). В духе этой теоретико-множественной установки нужно определять так: «дом» вЂ” это множество всех домов; число два — это множество всех пар предметов, и т.
п. На самом же деле вектор — это представляемый направленными отрезками элемент векторной алгебры, $2. Сложение векторов Определение. Если материальная точка переместилась из точки А в точку В, а потом из В в С, то получается перемещение из А в С. Поэтому, есте- 3 А. Д. Алеке«акров, н. ю. не«автаев 66 ЧАСТЬ Е АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ственно, считается, что направленныс отрезки АВ, ВС, представляющие эти перемещения, складываются и дают в сумме направленный отрезок АС (рнс. 45). Это записывается так: АВ+ ВС= АС. В соответствии с этим определяют сложение (свободных) векторов.
Пусть ланы два вектора а, Ь. Откладываем а от какой-либо точки А и получаем направленный отрезок АВ =. а. Затем от точки В от- вЂ.1 кладываем вектор Ь и получаем ВС = Ь. Тогда направленный отрезок АС представляет вектор с, который и принимается за сумму векторов а и Ь: с = = а+Ь. с а Ю 2 В Ркс. 46 Рис.
46 Однако это определение связано с произвольно выбранной точкой А. Поэтому нужно еще доказать, что сумма — вектор а+Ь вЂ” не зависит от выбора точки А. То есть нужно доказать Корректность. Независимо от тово, с какой точки А начинается построение суммы, оно дает равные направленные отрезки АС и тем самым — один и тот ясе вектор с = а + Ь. Короче, если АВ= А,В, и ВС= В,С,, то АС= Л,СР Доказательство. По лемме, доказанной в предыдущем параграфе, равенства АВ = Л,В, и ВС= = В,С, равносильны равенствам ЛА, = ВВИ ВВ, =— = СС,. Ъ Отсюда, по транзитивности равенства, АА~ = ССИ А отсюда по той же лемме, на которую только что Иь Е СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ сослались, следует ЛС = Л,С,, что и требовалось доказать.
П Описанная операция получения всктора с по векторам а, Ь называется их сложением по правилу треугольника. При всей наглядности это правило страдает тем недостатком, что в нем сложение производится в определенном порядке, так что еще нужно доказать, что сумма не зависит от порядка слагаемых. Но это непосредственно видно при сложении ло правилу параллелограмма. Оно производится так. Если векторы а, Ь пе параллельны, их откладывают от одной точки, получая АВ =а, АС= Ь, и на отрезках АВ, ЛС строят параллелограмм. Его диагональ АО и дает сумму а+ Ь (рис.
46). Действительно, в параллелограмме а=ЛВ =СО, Ь=ЛС= = ВО. Поэтому с=АО=АВ+ВО=а+Ь, н точно так же с = ЛО = АС.+ СО = Ь + а. Стало быть, а+ Ь = Ь+ а. Если векторы откладываются на одной прямой, то равенство а+Ь =Ь+а выводится из сложения длин, если а 77 Ь, и из их вычитания, если а 74 Ь. Читатель сам проделает этот вывод. Сложение по правилу треугольника соответствует сложению перемещений, совершаемых одно вслед за другим. Сложение по правилу параллелограмма соответствует сложению двух одновременных перемещений, как, например, при движении по палубе плывущего корабля. В физике пользуются правилом параллелограмма, поскольку складываются векторы, например, силы, приложснныс в одной точке.
Подобно правилу параллелограмма, отметим пропило параллелепипеда; сумма трех векторов, не параллельных одной плоскости, представляется диагональю параллелепипеда, построенного на этих векторах, отло кенных от одной точки, как ребрах (рис. 47). Замечание. Если не вводить понятие свободного вектора, а определять вектор только как направлен- 68 ЧАСТЬ Е АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ный отрезок, то сложение векторов, вообще говоря, невозможно, так как складываются не данные налравленные отрезки, а только равные им.
Складывать можно направленные отрезки с общим началом. Алгебраические свойства сложения векторов. Е Для каждых двух векторов а, Ь однозначно определена их сумма с = а+ Ь. 2. Сложение векторов яереместительно (коммутативно), т. е. а+ Ь = Ь+а. (Это доказано.) Рис. 47 Рис. 48 3. Сложение векторов сочетательно (ассоциативно), т. е. (а+ Ь)+ с = а+ (Ь+ с). Доказательство очевидно, если складывать но правилу треугольника (рис. 48): (АВ+ ВС) + СО = АС+ СО= АО= = АВ+ ВО = АВ+ (ВС + СО).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
