1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 13
Текст из файла (страница 13)
1ь( = (а! Следорательно, ка = Ь. Теорема доказана. П Координаты вектора. Теорема 2. Пусть в плоскости даны два неколлинеарных вектора а, Ь. Тогда всякий вектор х в этой плоскости может быть представлен в виде « =ха+ уЬ, и притом единственным образом. (Говорят: вектор х разлагается по векторам а,Ь.) Доказательство. Отложим векторы а, Ь от одной точки О: получим ОА =а, ОВ = Ь, и проведем прямые ОА, О — обозначим их а, Ь.
Согласно теореме 2 предыдущего параграфа всякий вектор в той же плоскости однозначно разлагается на составляющие, параллельные прямым а, Ь: х=х,+ х„. (1) Так как векторы а, Ь параллельны прямым а, Ь, то по доказанной только что теореме 1 векторы х„ хь выражаются через векторы а, Ь: х,=ха, х„=уЬ. Таким образом, нз (!) следует х=ха+ уЬ.
(3) Это представление единственно, поскольку представления (1), (2) единственны. П Теорема 3. Если векторы а, Ь, с некомпланарны, то всякий вектор х выражается через ник в виде «= ха+ уЬ+ гс. До к а за тел ь ство. Отложив векторы а, Ь, с от — > — Ъ. одной точки О, получим ОА=а, ОВ=Ь, ОС=с н проведем прямые ОА, ОВ, ОС; обозначим их а, Ь, с. По теореме 2 предыдущего параграфа любой вектор х однозначно разлагается на составляющие по этим прямым: (4) х=х,+ х,+ х,. !!! к умнОжение вектОРА нА числО По теореме 1 существуют такие числа х, у, е, что х„=ха, х,=уЬ, х,=хе, причем такие числа единственны. Из (4) и (5) х = ха+ уЬ+ ес, 75 (5) (б) причем х, у, г определены однозначно, так как представления (5), (4) единственны.
Ел Определение. Числа х, у в теореме 2 и х, у, х в теореме 3 называются координатами вектора х относительно векторов а, Ь (в базисе а, Ь) и соответственно относительно векторон а, Ь, с (в базисе а, Ь, с). Теорема 2 утверждает: на плоскости при неколлинеарных векторах а, Ь всякий вектор х имеет относительно них определенные координаты; он выра>кается через них по формуле (3). Очевидно, вместе с тем, что по той же формуле всякие два числа, заданные в фиксированном порядке, определяют некоторый вектор х. Аналогично, теорема 3 утверждает: при некомпланарных векторах а, Ь, с в пространстве всякий вектор х имеет относительно них определенные координаты; он выражается через них по формуле (6). Очевидно, вместе с тем, что всякая упорядоченная тройка чисел х, у, е определяет по той же формуле некоторый вектор х.
Определение. Векторы а, Ь на плоскости и а, Ь, с — в пространстве называются основными (или, как говорят, они образуют базис). Значение координат вектора состоит не только в том, что они задают вектор, но и в том, что операции сложения и умножения вектора на число представляются такими же операциями с координатами, т.
е. справедлива следующая Теорема 4. При сложении векторов их координаты складь!Еаются, так что координаты суммы равны суммам соответственных координат. >Ури умножении вектора на число его координаты ул!ножаются на то же число, так что координаты произведения вектора на число равны произведениям координат на это число. Для того чтобы доказать эту теорему, нужно установить основные свойства умножения вектора на число.
76 ЧАСТЬ Е АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5. Распределительный закон (дистрибутивность) для численных множителей: для любого вектора а прн любых числах х, у (х + у) а = ха + уа. б. Распределительный закон (днстрибутнвность) для умножаемых векторов: для любого числа х и любых векторов а, Ь х(а+ Ь) =ха+ хЬ. Доказательство. (4) Достаточно рассмотреть случай, когда х ~ О, у чь О, а Ф О. Сравним векторы (ху)а и х(уа). Длины их очевидно равны.
Если ху>0, то либо х>0, у>0, либо х<0, у(0. В первом случае умножение на у и х не изменяет направления, во втором — изменяет его дважды, так что по-прежнему х(уа) 77(ху)а. Если ху О, то один из сомножителей, скажем, х > О, а другой у ( О. Поэтому при умножении на у, потом на х направление изменяется так, что х(уа) 7,( а как и (ху)а. Таким образом, во всех случаях х(уа) 77(ху)а. П Докажем первый распределительный закон (5): (х + у) а = ха + уа. Д о к а з а т е л ь с т в о. равно нулю или а = О, этому допустим, что х ~ одного знака, то векторы Если одно из чисел х, у то формула очевидна. ПоО, уФО, ачьО.
Если х, у ха, уа, (х + у)а одинаково Алгебраические свойства умножения вектора иа число. Из определения умножения вектора на число непосредственно вытекают три свойства умножения. !. Если а=О нли х=О, то ха= 0 (так как по первому условию !ха)=)х) (а!). 2. ! а = а для всякого вектора а. 3. ( — !) а= а. Далее, умножение вектора на число обладает тремя «вычислительными» свойствами или, как еще говорят, для него выполни|отса следующие три «закона». 4.
Сочетательный закон (ассоциативность): для любого вектора а и любых чисел х, у х(уа) =(ху)а. Н!, 3. УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО направлены и длина вектора ха+ уа равна сумме длин векторов ха и уа, как и длина вектора (х+ +у)а. Это легко вычислить. Так как х, у одно!О знака, то )х+у)=)х)+(у). Поэтому )(х+ у)а !=! х+ у!!а ~=(~ х|+(у~)~а ~= = х Ц а !+) у !! а(. С другой стороны, так как х, у одного знака, то векторы ха, уа одинаково направлены, и потому длины их складываются, так что ~ ха+ уа ~ = ~ ха ~+ ~ уа 1 = ~ х ~ ~ а ~ +! у Й а ~.
Итак, векторы (х+ у)а и ха+ уа сонаправленны, и длины их равны, поэтому оии сами равны, что и требовалось доказать. Допустим теперь, что х, у разных знаков. Если прн этом х+у = О, то (х + у) а = О и ха + уа = ха — ха = О. Если же х+у чь О, то либо ( — х), либо ( — у) того же знака, что х+ у. Допустим, это ( — у). Тогда по доказанному (х + у) а — уа = (х + у — у) а = ха, откуда (х+ у)а = ха+ уа. П Докажем второй распределительный закон (6): х (а + Ь) = ха + хЬ.
Доказательство. Если х= О или хотя бы один из векторов а, Ь нулевой, то равенство очевидно. Поэтому допустим, что х ~ О, а ~ О, Ь Ф О. Пусть, кроме того, а Я Ь. Тогда складываем а и Ь по правилу параллелограмма; откладываем от точки О векторы ОА=а, ОВ=Ь и получаем 00=а+ Ь (рис. 53). Если х ) О, то векторы ха, хЬ представ!!Аются отрезками ОА', ОВ' (где ОА' = хОА, ОВ' = = хОВ), и получается параллелограмм ОА'0'В', подобный первоначальному (рис.
53). Поэтому 00' = = х00, т. е. ОА'+ ОВ' = х0.0. тв ЧАСТЫ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Следовательно, хОА+ хОВ =х(ОА+ ОВ); таким образом, ха+хЬ = х(а+Ь) при х » О, Рис 53 Рис. 54 Если х «. О, то нужно только заменить векторы на противоположные и применить гомотетию с коэффициентом (х! (рис, 54).
П й 4. Скалярное произведение Угол между векторами. Углом между двумя ненулевыми векторами а, Ь называется угол, образована ный представляющими ик направленными отрезкад — -> — г ми 0.1 = а, ОВ = Ь, от- д' ложснными от одной а А точки. г Лемма. Эчот угол ме зависит от точки 0 (без этого свойства его нельи А зя было бы считать угРис. 55 лом между векто- рами). Вействительно, пусть (нсколлннсарные) векторы а, Ь отложены от точек О, О', так что (рис. 55) 0 В = 0'В' = Ь. 0 А = 0',4' = а, Тогда АВ = А'В' = Ь вЂ” а. Поэтому треугольники ОАВ и О'А'В' равны «по трем сторонам».
Стало быть, их соответственные углы пьс скхляенов пеоизведение 79 равны, так что г'. О = г' О', что и требовалось доказать. П Угол между векторами а, Ь обозначается г. (а, Ь). Ортогональность. Два свободных ненулевых вектора называются ортогонильными, есл и угол между ними равен 90, т. е. если представляющие их направленные отрезки, отложенные из одной точки, перпендикулярны.
Нулевой вектор считается ортогональным любому. Обозначение — то же, что для перпендикулярности: а ( Ь и т. д. Скалярное произведение. Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. Для векторов а, Ь оно обозначается аЬ (или а.Ь), так что по определению аЬ=!а! !Ь! соз ~(а, Ь). (!) Если же хотя бы один из векторов а, Ь нулевой, то аЬ = О.
Отметим два важных частных случая. 1. Если а= Ь, то ~(а, Ь)=О и !а(=!Ь~. Поэтому а а =(а(е. Произведение а а обозначается ат и называется скалярным квадратом или просто квадратом вектора. 2. Для ненулевых векторов а, Ь их скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда соз ~ (а, Ь) = О, т. е. векторы а и Ь ортогональны: а .1. Ь. Итак, аЬ = О равносильно тому, что а Л. Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
