1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Лемма 1. Пусть а, Ь вЂ” два неколлинеарнглх вектора, вектор Ь~ получен проектированием вектора Ь на плоскость а, перпендикулярную а. Утверждается, 94 ЧАСТЫ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ что аХ Ь = а Х Ь|. При этом векторное произведение аХ Ь| направлено в плоскости а по лучу, перпендикулярному Ьн так что тройка Ь,, аХЬ„а правая (наглядно: при повороте винта от Ь| к аХЬ| он движется по а). Д о к а з а т е л ь с т в о. Площади параллелограммов, натянутых на векторы а, Ь и а, Ь|, равны, так каь Ь| — высота параллелограмма (рис.
68). Направление же вектора а Х Ь|, очевидно, то же, что у а Х Ь. Оио перпендикулярно плоскости векторов а, Ь; вращение же от а к Ь и от а к Ь, идет ь в одном направлении. П Лемма 2. Векторное произведение а Х Ь можно получить следующим образом: ( а) проектируем Ь на пло- скость а, перпендикулярную +ь а: пусть Ь, — эта проекция; б) умножаем полученн ю проекцию — вектор Ь, — на ~а); в) полученный вектор )а( Ь, поворачиваем на 90' в Рис 68 плоскости а в направлении, при котором винт идет вдоль а. Полученный вектор и будет векторным произведением а Х Ь.
Действительно, по лемме 1, аХ Ь = а Х Ь~ и направление вектора аХЬ~ определяется как сказано здесь, в лемме 2. Его длина )аХЬ|) равна )а)(Ь|), поскольку Ь, ) а. П Теперь докажем дистрибутивност|и а Х (Ь+ с) = а Х Ь+ а Х с. Будем получать стоящие здесь произведения, как указано в лемме 2. При этом: а) проекция суммы Ь + с равна сумме проекций: (Ь+ с), = Ь, + с,; б) умножение на )а( дает ~ и ~(Ь+ с), =~ а~Ь, +(а~с,; (!) в) при повороте взаимное расположение векторов сохраняется, так что сумма переходит в сумму (диа- зи.к вектогнов пиоизвединне гональ параллелограмма поворачивается вместе со сторонами, (см.
рнс. 69). Следовательно, из (1) получаем а Х (Ь+ с) = а Х Ь+ а Х с. П Выражение векторного произведения в координатах. Пусть, как принято, У, у, Ь обозначают основные векторы правой системы координат, так что они Рис. 69 !) единичные, 2) взаимно перпендикулярные, 3) образуют правую тройку. Тогда из определения векторного произведения непосредственно следует, что УХу=й, уХЬ=У, ЬХУ=у, уХз= — Ь, ЬХу= — У, зХЬ= — у, зХ з=б, уХ у=О, ЬХЬ=О.
Пользуясь этими равенствами и правилами действия с векторным произведением, найдем выражение для произведения любых двух векторов: и Х Ь=(Уа~+ Уаз+ Ьаз) Х (УЬ! + УЬз+ ЬЬз) Согласно правилам действия перемножаем эти суммы почленно, но помним о порядке сомножителей (их нельзя переставлять). Так как з Х У = у Х у = Ь Х Ь = = О, то получаем а Х Ь = (и Х у) а,Ь, + (у Х У) а,Ь, + (з Х Уг) а, Ь, + + (Ь Х у) азЬ! + (у Х й) аА + (Ь Х!) азЬз. 96 ЧАСТЬ Ь АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Располагаем члены по порядку векторов т, у, Ь и тогда получаем а Х Ь=((а,܄— азЬТ) +1(озЬ, — а,Ь,)+ Ь(а,ЬТ аА) Смешанное (скалярно-векторное) произведение.
Смешаннылк или скалярно-векторным, произведением тройки векторов а, Ь, с называется скалярное произведение первого вектора на вскторнос произведсние второго на третий: (аЬс) =а(ЬХ с). (Порядок сомножителей важен, так как с Х Ь = = — (Ь Х с); но вместе с тем а(Ь Х с) = (Ь Х с)а.) Теорема 1.
Смешанное произведение (аЬс) = 0 тогди и только тогда, когда векторы а, Ь, с компланорнвс Если же они не компланарны, то (аЬс) равно по модулю объему параллелепипеда с ребрами а, Ь, л с (отлозсенными из одной в точки); (аЬс):» О, если тройка а, Ь, с правая, 3 (аЬс) ( О, если она левая. Доказател ь с т в о. Докажем сначала вторую Ряс 70 часть теоремы как болеесо- держательную. Пусть а, Ь, с — правая тройка векторов; мы их откладываем от одной точки. По определению (аЬс) = а (Ь Х с) = ( а (( Ь Х с ~ соз ф, (2) где ф — угол между векторами а и ЬХс. Построим на векторах а, Ь, с параллелепипед. Одна из его граней — параллелограмм со сторонами Ь, с. Примем ее за основание.
По свойству векторного произведения се площадь равна (рис. 70) 5=(Ь Х с(. Другое ребро а образует с перпендикуляром к плоскости основания, направленным как ЬХс, угол ф. И так как тройка а, Ь, с правая, то вектор а направлен в ту же сторону, что Ь Х с. Позтому угол ф И! Е ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ острый, созсе 0 и (4) ~ а ~созег= и — это высота параллелепипеда, Объем параллелепипеда вычисляется пз формуле )Т =Я~, и из формул (3), (4) получаем Р =! Ь Х с !~ а ~ созч. Сравнивая с (2), получаем (аЬс) = Г, по и требовалось доказать для правой тройки.
Если тройка векторов а, Ь, с левая, то векторы а и ЬХ с направлены в разные стороны от плоскости векторов Ь, с. Г!оэтому угол еэ тупой, созср ( О, и вместо (4) будет !а!созгр = — Ь. Поэтому получается, что (аЬс) = — Г Итак, вторая часть теоремы доказана. Докажем первую сс часть. Допустим, что (аЬс) = О, но векторы а, Ь, с некомнланарны. Тогда по доказанному было бы (аЬс) = = -~-)т, где (т — объем построенного на них параллелепипеда, т. с. было бы (аЬс) чь О. Значит, если (абс) = О, то векторы компланарны.
Пусть теперь векторы а, Ь, с компланарны. Если Ь, с коллинеарны, то Ь Х с = О и (аЬс) = 0; если а = О, то опять (аЬс) =О. Если же а чь О и Ь, с неколлинеарны, так что Ь)(с ~ О, но все три вектора компланарны, то, значит, а ! Ь Х с и а(Ь Х е) = О, что и требовалось доказать. Таким образом, теорема доказана полностью. П В определении произведения (аЬс) векторы играют разную роль, но у параллелепипеда, на них построенного, они — ребра и, стало быть, равноправны. Поэтому из доказанной теоремы вытекает Следствие 1. (аЬс) = (Ьса) = (еаЬ). (5) До к аз а тел ьств о. В доказательстве теоремы ! применительно к произведению (Ьса) параллелепипед будет тот же, и только за основание будет принята другая грань, построенная на векторах с, а.
Поэтому 4 А. Д. А»евс»»ХР»», Ы. Ю. Нев»ее»ев в ЧАСТЬ Ь АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (Ьса) = .+'т', и именно (Ьса) = (т, так как тройка Ь, с, а правая, если а, Ь, с правая. То же будет для тройки с, Ь, а. П Так как с Х Ь = — (Ь Х с), то (асЬ) =а(с Х Ь) = — а(Ь Х с) = — (аЬс) и тройка а, с, Ь левая, если а, Ь, с правая. Отсюда и из равенств (5) вытекает Следствие 2. При перестановке любых двух векторов — сомножителей -- произведение (аЬс) меняет знак, П Выражение смешанного произведения в координатах.
Пусть н некоторой правой прямоугольной системе координаты векторов а, Ь, с будут (аь ав а,) и т. д. Тогда, пользуясь выражением в координатах для скалярного произведения и векторного произведения, по формуле (2) получим (аЬс) = — а(Ь Х с) —— =. а, (Ьт"з Ьзсэ) + ат(Ьзс, — Ь,сз) + аз (Ь|ст — Ь2с1). (6) Стоящая справа величина есть не что иное, как опрс- делитель: А1 А2 ОЗ (аьс)= ь, ь, ь,, гз ез Действительно, разлагая этот определитель по элементам первой строки, мы получим формулу (6). Таким образом, смешанное произведение векторов равно определителю из их координат (относительно основной правой прямоугольной системы координат).
П Об ориентации. Если тройка а, Ь, с правая, то (аЬс) ) О, если левая, то (аЬс) ( О, и вследствие (6) это равносильно тому, что такие же знаки имеет определитель нз координат вектора. Это можно превратить в определение, которос будет выглядеть так; Пусть в пространстве выбрана система прямоугольных координат, которая принята за основную. Тогда тройка некомпланарных векторов называется правой, если определитель из их координат относительно основной системы положителен; в противном !у. ь Рвсстояине между тОчкАми СФЕРА. плОскОсть 99 случае тройка называется левой. (Подразумевается, что в определителе порядок строк соответствует порядку векторов в тройке, и порядок столбцов — порядку координат в основной системс.) Основная система координат — тройка се основных векторов— правая, так как определитель из их координат относительно них самих равен единице: 1 О О о!о=(.
о о Данное формальное определение «правого» и «левого» дает ясное алгебраическое основание для их различения. При этом очевидно, что непрерывным изменением векторов нельзя правую тройку перевести в левую, не делая «по пути» векторы компланарными, так как нельзя от положительных значений определителя перейти к отрицательным, не проходя через нуль, если элементы определителя изменяются непрерывно. Несколько сложнее доказать, что всякую правую (как и левую) тройку можно непрерывно перевести в любую другую правую (соответственно — в левую), не делая векторы компланарными. Глава !Ч СФЕРА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ $1.
Расстояние между точками. Сфера. Плоскость Теорема 1. В прямоугольных координатах х, у, а расстояние между точками А(хл, ул, гл) и В(хв. ув, ав) выражается как корень квадратнь1й из Суммы квадратов разностей их координат: ! АВ(=4(хв — хл)»+(ув — ул) +(гв ал) . (1) До к аз а тел ь ство. Квадрат вектора АВ равен сумме квадратов его координат (в прямоугольной системе координат, когда основные векторы единичные н взаимно перпендикулярные). Вместе с тем координаты вектора АВ равны разностям координат его 100 ЧАСТЬ Г, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТР!ГЕ конца и начала: хл — хл и т. д, Из этих двух фактов непосредственно следует формула (1).
П Уравнение сферы. Сфера есть геометрическое место (множество) точек, удаленных на заданное расстояние от одной точки — центра сферы; их расстояние от него — это радиус сферы. Таким образом, если Π— центр, а )с — радиус сферы, то она является множеством всех таких точек М, что ОМ' = Ве. В прямоугольных координатах расстояние выражается формулой (1). Поэтому если хо, уо, гп — координаты центра О и х, у, г — координаты произвольной (переменной) точки М сферы, то (х — хо)'+ (у — у )а+ ( — го)' = лс'.
(2) Это уравнение сферы; ему удовлетворяют координаты всех ее точек и никаких других. Если возве ти уравнение (2) в квадрат и раскрыть скобки, то оно примет вид хз 1 уг 1- гг + их + (гу -1- сг + д = О (3) Аналогично вопросу, рассмотренному в связи с уравнением окружности, можно поставить вопрос: при каких условиях на коэффициенты а,, д уравнение (3) представляет сферу и что оно вообще может представлять? Ответ: кроме сферы оно может представлять точку и пустое множество.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
