1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Координаты радиус-вектора ОМ и принимаются за координаты точки М. Убедимся, что это те же координаты, какие были определены в предыдущем пунлте. Отложим векторы 2, у, й от начала О, получим «трехвекторник» 02)й из векторов ОА = 2, ОВ=), 07= й. Проведем прямые ОА, ОВ, ОС вЂ” это будут оси координат х, у, г; направление на них указывается векторамн 2, ), й (рис. 62). Ц!. К КООРДИНАТЫ В ПРОСТРАНСТВГ Из равенства (2), умножая на 1, у, й, находим х=(г, у=тг, г=йе, (3) т. е.
х, у, г — это проекции радиус-вектора г на оси координат. Если М„ М„, М, — проекции точки М на оси, то проекции на оси вектора г = ОМ вЂ” это длины отрезков ОМ„, ОМ„, ОМ, с соответствующим знаком. Если, например, М, на положительной полуоси, то направление ОМ, совпадает с направлением оси х и проекция на ось х, по определению, положительна; Рис. 63 Рис. 62 в противном случае она отрицательна. Поэтому координаты проекций точки М на осях — это те же самые х, у, 2, что находятся по формулам (3). Общие прямолинейные (аффинные) координаты.
Можно взять любые трн некомпланарных вектора е„е,, е,. Вместе с точкой О они образуют трехвекторник Ое,е,е, (рис. 63). Радиус-вектор представляется в виде ОМ=г =хе, + х е,+ х е,. Числа хп хм хз задают радиус-вектор и тем самым— его конец, точку М, т. е. они служат ее координатами относительно трехвекторника Ое~еие,. Таким образом в пространстве вводятся координаты относительно любого трехвекторника; аналогично на плоскости вводятся координаты относительно любого двухвекторника.
Геометрически эти координаты определяютси так. Векторы еь ем еи откладываются от начала О; вв ЧАСТЬ Ь АНАЛНТИЧЕСКЛЯ ГЕОМЕТШзв получаем ОА = еь ОВ = ез, ОС = ез. Проводим прямые ОА, ОВ, ОС вЂ” это будут оси х„хз, хз; на них задаем направления по векторам е„ез, ез и тем самым определяем положительные и отрицательные полуоси (рис.
63). На осях вводим координаты: если М— точка на оси хь то ее координата х, определяется из формулы ОМ = х,еь ~ом! То есть если ОМ й е,, то х, =; если же ОМ +4 е„ /е, / то х = — —, Другими словами, если точка М ле- (ом~ жит на положительной потуоси хь то х, ) 0; если же на отрицательной полуоси, то х~ О. А )х1! — это, можно сказать, длина отрезка ОМ, измеренная в масштабе ~е,(. Так же определяются координаты на осях хь хз (т. е.
аналогично определению координат при единичных векторах на осях). рнс. 64 Координаты точки М в пространстве находим, проектируя ее на оси параллельно координатным плоскостям. Именно, проекция на ось М, — это такая точка на оси хь что прямая ММ~ параллельна плоскости хзхз. Это равносильно тому, что М, — это точка, в которой плоскость, проходящая через М параллельно плоскости х,х,, пересекает ось хь Аналогично находятся проекции Мь Мз точки М на оси хь хз.
Отрезки ОМЬ ОМ,, ОМ, на осях служат ребрами параллелепипеда с диагональю ОМ (рис. 64,б). (Особые случаи, когда точка М лежит на одной из коор- 1Н. 5. КООРДИНАТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ динатных плоскостей или на какой-либо оси, легко рассматриваются дополнительно.) Аналогично, на плоскости координаты хь хз определяются для точки М из разложения ее радиус-вектора: ОМ=т=ех,+ех,. Оси координат проводятся через О вдоль векторов е1, ез и координаты на них определяются как и выше. Координаты точки М Определяются по ее проекциям ..М1, Мз вдоль прямых, параллельных осям, Вектор ОМ служит диагональю параллелограмма со сторонами ОМР ОМ, (рис. 64, а). Читателю стоит рассмотреть зти построения на плоскости и в пространстве; как определяют координаты точк! и как по данным координатам находят точку.
Введенные здесь координаты на плоскости и в пространстве называют аффинными (в случае плоскости они упоминались в гл. 1, ~ 4). Их называют косоугольными (в отличие от прямоугольных), когда векторы е,, е,, ез единичные, т. е. когда на осях обычный масштаб, но они не взаимно перпендикулярны. Вектор в системе координат. При данных основных векторах всякий вектор задается своими координатами. Пусть вектор а отложен от точки А, так что получаем направленный отрезок АВ = а. Точки А, В задаютси радиус-векторами ОА, ОВ: ОА=еа,+еа,+еа,, ОВ = е Ь, + е Ь, + езЬН где а,,..., Ьз — координаты точек А, В, Так как АВ=О — ОА, то А В = е, (Ь, — а,) + е, (Ь, —,) + е, (Ьз — аз).
То есть мы получаем результат: Координаты вектора, представленного направленным отрезком, равны разностям координат его конца и начала. П 96 ЧАСТЫ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ $6. Правые и левые тройки векторов. Векторное произведение. Смешанное произведение Упорядоченной тройкой или просто тройкой векторов называется совокупность трех векторов, в которой указан их порядок: какой является первым, какой — вторым, какой — третьим.
При записи тройки векторов они всегда располагаются в порядке их номеров. Тройка некомпланарных векторов называется правой (левой), если эти векторы, отложенные от 2 одного начала, располагаются так же, нак расставленные (примерно под прямыми углами) пальцы правой (левой) руки: большой палец — по первому векто1 ру, указательный — по второму, средний — по третьему (рис.
66). Тройку векторов, отло- женных от одной точки— Ряс 65 общего их начала,— будем называть трехвекторником, Если векторы компланарны, трехвекторник назовем плоским. Соответственно только что данному определению различаются правые и левые трехвекторникн. Так как векторы всегда можно отложить от одной точки, то говорим лн мы здесь о тройках или трсхвекторниках — безразлично. Точно так же система прямолинейных координат называется правой (левой), если основные ее векторы образуют правую (левую) тройку.
Указанное правило различения правых и левых троек равносильно каждому нз следующих четырех. 1. Трсхвекторннк правый, если третий вектор направлен от плоскости двух первых в ту сторону (в то полупространство), куда движется правый винт, когда его головка врацгается от первого вектора ко второму (рис. 66, а). Если то же будет для левого винта, то трехвекторник левый. 2. Трехвекторник правый, если при взгляде на него изнутри построенного на нем параллелепипеда (из первого квадранта построенной на нем системы мыс ввктовное пвоизведание 9! координат) векторы видны так, что переход от первого ко второму и далыне — к третьему — происходит против часовой стрелки (рис.
66, б). Если же это переход по часовой стрелке, то трехвекторник левый. 3. Трехвекторник правый, если при взгляде на плоскость первых двух векторов со стороны третьего поворот от первого ко второму виден как идущий против часовой стрелки. Если — по часовой стрелке, то трехвекторник левый. Рнс. 66 4. Трехвекторник правый, если после того, как вы встали на плоскость двух первых векторов со стороны третьего и протянули правукз руку по первому вектору, второй вектор оказался направленным вперед (рис. 66, в).
У левого трехвскторника — то жс для левой руки, (Прндумайтс еще правила для правого (левого) трехвекторника.) Различение правых и левых троек векторов имеет важное значение в физике — в законах электромагнетизма. Например, направление напряжения магнитного поля вокруг проводника с током определяется «по правилу правой руки». Но в геометрии самой по себе нет ни правого, ни левого, — ни пальцев, ни винтов, ни часовых стрелок. Поэтому данные наглядные определения правых и левых троек ие относятся к самой геометрии. В ней должно быть принято определение, основанное только 92 ЧАСТЬ Е АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ на ее собственных понятиях; как его можно дать, мы сейчас скажем.
Определение. Выберем какой-нибудь прямоугольный трехвекторник и назовем его основным. Праеыл1и будем называть трехвекторники, которые можно получить нз основного непрерывным движением и изменением векторов без того, чтобы трехвекторник становился п.тоским. В противном случае трехвскторник назовем левым. Прп этом можно доказать, что левые трехвекторники также переводимы друг в друга, непрерывно и без обращения в плоскис. Если две тройки векторов либо обе правые, либо обе левые, то говорят, что онн одной ориентации.
Если же одна правая, другая левая, то говорят, что они разной ориентации. Если основной трехвекторник представить пальцами правой руки, то мы получим наглядное различение правых и левых трехвекторников. Но в самой геометрии понятие праахл вое и левое чисто условны, реально в ней только то, что есть два вида Г трехвекторников — две их разные ориентации. а Векторное произведе- ние. Рис. 67 Определение. Вектор- ным произведением вектора а на не коллинеарный ему вектор Ь называют вектор, обозначаемый а Х Ь, который определяется следующими тремя условиями: 1) длина вектора а Х Ь равна произведению длин векторов а и Ь на синус угла между ними: ~ а Х Ь! =! а ~ ~ Ь | Е1п е'.
(а, Ь). 2) вектор а Х Ь ортогонален обоим векторам а, Ь; 3) вектор аХ Ь направлен так, что векторы а, Ь, а Х Ь образуют правую тройку (рис. 67). Если векторы а и Ь коллинеарны, то положим аХЬ=О. Модуль векторного произведения а Х Ь равен площади параллелограмма, сторонами которого служат векторы а, Ь, отложенные от одной точки. Это следует нь 6. ВектОРнОе пРОизведение 93 из того, что площадь 5 такого параллелограмма как раз равна (а! !Ь! 61п л' (а, Ь). Если векторы а, Ь неколлинеарны, то, отложенные от одной точки, они определяют содержащую их плоскость, и вектор а Х Ь, ортогональный этим векторам, перпендикулярен этой плоскости.
Ввиду этих двух замечаний можно векторное произведение геометрически определить так. Векторное произведение а Х Ь неколлинеарных векторов а, Ь по модулю равно площади построенного на них параллелограмма, перпендикулярно его плоскости, и образует с а, Ь правую тройку. Из определения векторного произведения следует: Векторное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители коллинеарны. Алгебраические свойства векторного произведения (в них а, Ь, с — любые векторы и ь — любое число).
1. Антикоммутативностьк а Х Ь = — Ь Х а. 2. Ассоциативность по отношению к численному множителю: ). (а Х Ь) = (ка) Х Ь. 3. Днстрнбутивность относительно сложения: а Х (Ь + с) = а Х Ь + а Х с. Первые два свойства легко устанавливаются из определения. Перестановка векторов а, Ь изменяет направление вращения от первого сомножителя ко второму. О втором свойстве можно заметить, что оно очевидно при ь ) О, а при ь - О вектор ьа направ. лен противоположно а и вращение от ка к Ь противоположно вращению от а к Ь. Трудность представляет доказательство третьего свойства — дистрибутивности, Для его доказательства заметим следующее: если вектор а единичный и Ь ему ортогонален, то вектор а Х Ь получится, если повернуть Ь в плоскости, перпендикулярной а, на прямой угол в таком направлении, чтобы он образовывал с а и Ь правую тройку (наглядно: при взгляде на плоскость со стороны а поворот должен быть виден как происходящий против часовой стрелки).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
