1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 17
Текст из файла (страница 17)
(Выясните, когда имеет место каждый из этих случаев.) Уравнение плоскости. Теорема 2. Всякая плоскость представляется в прямоугольных координатах линейным уравнением вида ах + (ту + сг + д = О. (4) Дока з а тел ь от в о. Пусть а — данная плоскость и А,  — такие точки, что отрезок АВ псрпендикулярен плоскости а и дслнтся ею пополам. Плоскость а является геометрическим местом (множеством) точек М, для которых АМ = ВМ '). Если в равенстве АМЯ = ВМ' выписать квадраты расстояний в коор- ') Зго свойство плоскости легко Аоказиаается из соотаетстаумш го свойства припой.
Если ги — какая-либо то ~ка, то прополич чгрсз исе и то ыи г1, Ь' илоскосгь и а пгп прписпясч георг от о ппячой. или сиямхя пл плоскости дпнатах, то квадрасы координат уничтожатся и мы получим равенство вида (4). Этот вывод совершенно аналогичен соответствующему выводу уравнения прямой на плоскости.
С) 5 2. Прямая на плоскости Прямоугольныс координаты на плоскости можно задавать началом координат О и единичными векторамн по осям: ) по оси х, ) — по оси у (рис. 71). Они взаимно ортогональны в силу взаимной перпендикулярности осей. Так что 1з=)'с=-!, 17=0, (1) Эти векторы служат основнымн вскторамн. Вектор г= ОМ, проведенный из начала в точку М, — «радиус-вектор» точки М вЂ” представляется в виде: (2) г = х(+ уу.
Здесь х, у — координаты точки М. По исходному обычному определению это координаты проекций М„, Рис. 71 Рис. 72 М» точки М на оси (рис. 71). Согласно с этим они являются проекциями радиус-вектора г на оси. Скалярно умножая (2) на ! и на 7, найдем (благодаря (1)) ОМ„=(г =х, ОМ„=/г = йч Прямая, очевидно, может быть задана какой-либо точкой Л, через которую оиа проходит, и ненулевым 102 ЧАСТЬ Е АИАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ вектором У, сй перпендикулярным — «вектором нормали» нли «норма.чью У к прямой» (рис. ?2)'), Теорема 1.
Прямая на плоскости представляется линейным уравнением ах + Ьу + с = О, причем а, Ь вЂ” это координаты вектора нормали У, — с = У ОА — скалярное произведение вектора нор- мали на радиус-вектор точки Л на прямой, До к а за тел ьст в о. Пусть М(х, у) — какая-либо точка прямой, заданной точкой А и нормалью У. Тогда (если М отлична от А) АМ ) У, так что АМ У = О. Если же М совпадает с Л, то ЛМ = О, поэтому также ЛМ У = О. С другой стороны, для всякой точки М, нс лежащей на данной прямой, вск- тор ЛМ не ортогонален У.
Таким образом, точка М лежит на прямой тогда н только тогда, когда АМ У = О. Это равенство представляет поэтому уравнение прямой, стоит лишь развернуть его в ко- ординатах. Пусть х, у — координаты точки М и а, Ь вЂ” коор- динаты нормали У, так что ОМ = (х+?у и У= = )а -',— !Ь. Тогда ЛМ = ОМ вЂ” 0А =((х+ ту) — ОА, и потому из равенства АМ.У = О следует, что АМ У=()х+ ту)(!а+)Ь) — ОА У= = — ах+ Ьу — ОА У = О, что и требовалось доказать. Р Таким образом мы не только передоказали еще раз прежнюю теорему 1.2.! о представлении прямой линейным уравнением, но и выяснили геометрический смысл его коэффициентов.
Нетрудно доказать и обратную теорему. Теорема 2. Всякое линейное уравнение представляет прямую, причем коэффициенты при х, у — это ') Нормолыо иазмвлстся прямпя, перпендикулярная прямой (или плоскости). пс г пгямкя нк плоскости координаты некоторой нормали к прямой, а свободный член равен взятому с обратным знаком скалярному произведению атой нормали на радиус-вектор какой-либо точки прямой. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть дано уравнение ах+ Ьу+ с= О. Берем вектор У с координатами а, Ь и такую точку А, что У ОА = — с (такую точку легко найти хотя бы иа прямой, идущей через О по вектору У. Укажите как) Через точку А проводим прямую 1, перпеидикуляриую вектору У.
Тогда по предыдущей теореме уравнение атой прямой и будет данным (рис. 73). П Ю Вспомним еще теорему; два уравнения задают одиу и ту же прямую тогда и только тогда, когда их Ряс 73 коэффициеиты пропорциоиальны (дополиеиие к теореме 1.2.1). Читатель сам ее докажет, заметив, в первую очередь, что векторы Уь Уз перпендикулярны одной прямой, тогда и только тогда, когда они параллельны и, стало быть, получаются один из другого умножением иа число (ср. доказательство теоремы 3, $3). П Важный частный случай уравнения прямой — так называемое уравнение в нормальной форме, Это такое уравиеиие, в котором вектор нормали к прямой единичный, так что аз+ Ьт = 1. Теорема 3. Всякая прямая может быть представлена уравнением в нормальной форме: ах+ Ьу= р; аз+ Ь'=1, р) О. (4) В нем р — расстояние прямой от начала О (т.
е. если р ~ 0 — длина опущенного на нее из О перпендикуляра) и а, Ь вЂ” координаты нормали, направленной от прямой в сторону от начала (или в любую сторону, если прямая проходит через начало). Доказательство. Пусть и — единичный вектор нормали к прямой и а, Ь вЂ” его коордииаты. так что а'+Ь'= 1. ге4 чьсть г. Аг<АлитическАя ГЯОметРия По теореме 1 прямая представлястся уравнением ах+ Ьу = — с. Если же она проходит через начало, то с = О, и уравнение прямой будет ах+Ьу=О в согласии с утверждением теоремы. Пусть прямая не проходит через начало, и пусть ОР— опущенный нз него перпендикуляр — направленный отрезок.
Тогда если нормаль направлена по нему, то ОР = рл, где р =! ОР ! — длина перпендикуляра — расстояние от О до прямой. Поэтому ОР л = р ~ О и нормаль л направлена в сторону от Рис. 74 начала, если ее откладывать от тачки на прямой (рис. 74, а). Вместе с тем согласно теореме ! — с=ОР л=р. Таким образом, уравнение прямой имеет вид ах+ + Ьу = р, причем а, Ь, р имеют имснно тот смысл, какой указан в теореме.
П Следующая теорема устанавливает замечательное свойство уравнения в нормальной форме. Теорема 4. Если прямая задана уравнением в нормальной форме, то для всякой точки М(л,у) величина ах+ Ьу — р= ~д представляет собой расстояние от точки до прямой со знаком пи<ос, если <И лежит от прямой с той стороны, к<,:. <справ.гена нормаль, и со знаком минус, гч. 2. пРямАя ИА плОскости если М лежит с противоположной стороны (и, значит, с той стороны, где леркит начало О, если прямая через него не проходит) (рис. 74, б).
Доказательство. Пусть прямая г7 задана уравнением вида (4) — в нормальной форме. Заметим, что для точек прямой сказанное в теореме верно, так как гг' = О. Возьмем какую-либо точку М(х,у), не лежащую на данной прямой г), н пусть МЯ вЂ” опущенный из нее перпендикуляр на данную прямую д.'Мы имеем ЯМ = ОМ вЂ” Ог;г, и если л(а, Ь) единичная нормаль, то лаМ = ~ ~ ЯМ ~ = ~ Д. (6) Причем лЯМ = +гг, если М лежит с той стороны, куда направлена и, и лг,гМ = — д в противоположном случае. Вместе с тем, по представлению скалярного произведения в координатах, лОМ = ах-г Ьу, (7) а лОО = р — расстояние от О до прямой с соотнетствующим знаком.
Таким образом, из полученных равенств (5), (6), (7) ~аг=пЯМ=лОМ вЂ” лО~=ах+ Ьу — р, что и требовалось доказать. 0 Координаты единичного вектора — это косинусы углов, которые он образует с положительными направлениями осей.
Поэтому если а — угол нормали с положительной полуосью к, то а=сова, Ь=эгпа. Поэтому уравнение в нормальной форме можно написать в виде: х сова+ у згп а = р. Если прямая задана каким-нибудь грлзпсгпгем ах+ Ьу+с=О, 106 ЧАСТЬ Ь АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ то переход к нормальной форме состоит, во-первых, в переходе к единичной нормали, т. е.
к замене а, Ь и с соответственно на а ь С п~/а~+ Ьс ' пт~ас+Ьс па/ас+ Ьс Во-вторых, знак у корня нужно выбрать так, чтобы свободный член получился отрицательным (если только с Ф 0), т. е. у корня берется знак, противоположный знаку с. Если прямая задана общим линейным уравнением ах+ Ьу+ с = О, то расстояние сг можно найти по формуле )ах+Ьу+с1 — .,/ай,,с (Докажите зто.) и 3. Плоскость и прямая Общее уравнение плоскости. Выведем уравнение плоскости; этот вывод проводится совершенно так же, как вывод уравнения прямой на плоскости ($2). Пусть дана некоторая плоскость а и выбрано начало отсчета О, из которого проводятся радиус- векторы. Возьмем на плоскости а какую-нибудь точку Мм и пусть л — какая-нибудь нормаль плоскости а, т.
е, перпендикулярный ей ненулевой вектор. Произвольная точка М лежит на плоскости сх тогда н только тогда, когда вектор МРМ перпендикулярен нормали и или М совпадает с Ма. Это равносильно тому, что равно нулю скалярное произведение векторов л и МоМ: и ' МоМ = О. Если г, гс — радиус-векторы точек М, Ма, то М,М = г — гь Поэтому написанное равенство равносильно таким: л(г — гч)=О; иг=у И=лес) ()) Итак, точка М лежит на данной плоскости в том н только в том случае, когда ее радиус-вектор удо- пс 3. плОскОсть и пРямАя !От влстворяет уравнению (1), в котором и — нормаль н то — радиус-вектор, какой-либо точки данной плоскости.
Это значит, что (!) есть уравнение плоскости в векторной форме (см. рис. 75, а на с. !1О). Из доказанного выводится Теорема !. В прямоугольных координатах всякая плоскость задается уравнением первой степени. До к а з а те л ь с т в о. По доказанному плоскость задается уравнением (!). Выразим в ием скалярное произведение через координаты. Координаты данного вектора нормали и обозначим а, Ь, с. Координаты радиус-вектора т точки М на плоскость — это ее координаты х, у, г. Согласно выражению скалярного произведения в координатах пт =-ах+ Ьу+ сг. Поэтому из второго уравнения (1), полагая а = — о(, получаем ах+ Ьу+ сг+ д = О.
(2) Это и есть уравнение данной плоскости, поскольку оно — только переписанное в координатах ее векторное уравнение (1). Теорема доказана. Е! Перепишем еще в координатах первое из уравнений (!). Если хо, уо, го — координаты радиус-вектора т,, то координаты вектора т — то суть х — хо, у — уо. г — го.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
