1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 20
Текст из файла (страница 20)
2. Всякую фигуру, задаваемую системои двух уравнений, можно задать одним уравнением. Действительно, если фигура задается системой (Р(х, у, г) =О, О(х, у, г) =О), то она же, очевидно, задается одним уравнением Р'(х, у, г) + Ое(х, у, г) =О. Самый простой пример. Ось г задается как пересечение двух координатных плоскостей х = О, у = О, и оиа же задается уравнением хе+у»=0. В этом смысле она является, согласно данному выше об. щему определению, алгебраической поверхностью второго порядка. Вообще пересечение любого числа фигур, заданных уравнениями Р1 = О, ..., Р„= О, можно задать одним уравнением Р1+ ...
+ Р, = О. г Е Г20 ЧАСТЬ Ь АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Точка (О, О, 0) представляется пересечением трех плоскостей х = О, у = О, е = 0 и вместе с тем — одним уравнением хг + рг ( ег О так что она тоже поверхность второго порядка. Вообще термин «поверхность» (как и «кривая») имеет в аналитической геометрии смысл, отличный от того, как его понимают в других частях геометрии в согласии с наглядным представлением. 3.
Объединение фигур, представляемых уравнениями Р~ = О, ..., г, = О, представляется одним уравнением — их произведением Р, ... Р„ = О. Уравнение может представлять пустое множество, как я простейшем случае х'+ 1 = О. Если уравнение 6 = 0 представляет пустое множество, то представляет то же, что г" =О. 4. Если пользоваться модулем (как (х( и т. п.), то неравенства можно записывать в виде уравнения. Всякое нестрогое неравенство можно привести к виду Р(х, у, е) ) О, а это равносильно уравнению; г" — ~ Р(= О.
(А каким уравнением (с модулем) можно задать строгое неравенство?) Цилиндры, проекции. В аналитической геометрии цилиндром называют фигуру, образованную параллельными прямыми, т. е. являющуюся объединением этих прямых; соответственно эти прямые называются образующими цилиндра. Фигура, через каждую точку которой проходит образующая данного цилиндра так, что каждая образующая цилиндра ее пересекает и притом в одной точке, называется направляющей цилинг)ра Обычно это некоторая кривая, и цилиндр наглядно представляет собою бесконечную поверхность. Пример — круговой цилиндр, направляющей которого служит окружность, а образующие перпендикулярны ее плоскости (рис. 79). Плоскость — тоже цилиндр, направляющей его служит прямая. Особая роль цилиндров в аналитической геометрии состоит в тогц ~то это поверхности, которые задаются уравне- гг ь о зхдлнии нове хностгп и линии и ьвнениямн 121 ниями, не содержащими одной из координат, Это можно выразить утверждением: Теорема.
Уравнение Р(х, у) = 0 в прямоугольных координатах х, у, х задает цилиндр с образующими, паралле.гьнь>ми оси г. Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, при таком уравнении, когда даны х„угь удовлетворяющие ему, значение координаты х остается ничем не связанным: она может принимать любое значение. Это н значит, что прямая х = хм у = уь, параллельная оси х, содержится в фигуре с данным уравнением, и так как это верно для любых Рис. 79 (хь, уь), удовлетворяющих уравнению, то вся фигура покрыта такими пря.
мыми Т. е, она представляет собой цилиндр с образующими, параллельными оси г, Б С другой стороны, если имеется цилиндр, то выберем прямоугольные координаты так, чтобы ось г была параллельна его образующим. Образующие пересекают тогда плоскость ху,' и точки пересечения образуют фигуру — направляющую цилиндра. Представляя ее уравнением Р(х,у) = О, получим тем самым уравнение цилиндра. Если поверхность, заданную уравнением г (х, у, г) = = О, мы пересечем плоскостью х = с =- сопя(, то получим кривую >., задаваемую системой двух уравнений: (г (х, у, с) = О, х — с = О). В первом уравнении только две переменных, и оно задает поэтому в пространстве цилиндр с образующими, параллельными оси х, а на плоскости ху — кривую с тем же уравнением Р(х, у, с) = О.
Эта кривая является проекцией кривой (.. Такими соображениями постоянно пользуются, например, изучая форму поверхности по ее сечениям, когда в сечениях получаются у>не известные кривые. Цилиндры представяяют собой частный случай поверхностей, образуемых (иногда говорят порождаемых) прямыми; эти прямые называют прямолинейными образующими или, короче, образующими 122 ЧАСТЬ Ь АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ поверхности, а сами поверхности называют лннейчатыми.
Примером может служить конус, как его понимают в аналитической геометрии, — поверхность, образуемая прямыми, проходящими через одну точку. Глава ч' ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА В 1. Разные типы поверхностей второго порядка Определение. Подобно кривой второго порядка, поверхностью второго порядка — сокращенно ПВП— называется множество точек, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению второй степени: анх'+ а„ув+ а,,г'+ 2а„ху+ 2амуг+ + 2а„хг+ 2а х+ 2алу+ 2а г+ а»= О. (!) Предполагается, что хотя бы один из коэффициентов при членах второй степени не равен нулю (иначе уравнение было бы первой степени). Это свойство сохраняется при преобразовании к любым другим прямоугольным координатам.
Это доказывается буквально так же, как в случае КВП (т. е. в случае уравнения с двумя переменными). При преобразовании координат координаты х,у,г выражаются через «новые» координаты х', у', г' линейно. Поэтому степень уравнения не может повышаться. Но и понизиться она не может, так как иначе прн обратном преобразовании не получалось бы уравиеиие второй степени. Задача, как и в случае КВП, состоит в том, чтобы выяснить, какие есть типы ПВП, какого геометрического вида. Но прежде чем перечислить их, установим одно их общее свойство.
Лемма. Пересечение ПВП с плоскостью представляет собой КВП, кроме того особого случая, когда оно оказывается всей плоскостью. (Подобно тому, как КВП может представлять собой прямую или две прямых, ПВП может быть плоскостью или парой плоскостей, задаваемых, например, уравнением гт = ав (так что г = ~а и г = О, если а =О).) Т 2 РАЗНЫЕ ТИПЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА 1З3 х' Р2 г' + — + — =!. 2 Ь2 22 (2) В частности, при а = Ь = с получаем сферу х2 + ут + гт = а2 Из уравнения (2) очевидно, что (3) Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть даны какая-то ПВП н некоторая плоскость а. Можно преобразовать координаты так, чтобы она стала плоскостью е = О. Уравнение данной ПВП будет иметь тот же вид (1). Уравнение сечения этой ПВП плоскостью а получается из него, если в нем положить х = О, так что получится уравнение без г. Для этого уравнения есть разные возможности.
а) Оно содержит члены второй степени и, стало быть, представляет КВП. Однако члены второй степени могут исчезнуть (ес.тн все они содержали г). Тогда может быть еще три случая. б) Получается линейное уравнение оно представляет прямую, а прямая тоже есть КВП. в) Линейных членов тоже нс будет (если они содержали только х), и останется только свободный член: уравнение будет а — — 0; и если аз ~ О, оно представляет пустое множество, которое тоже есть КВП.
г) Наконец, может случиться, что все члены исчезнут н уравнение сведется к 0 = О. Оно всегда выполняется, ему удовлетворяют любые х, у, так что оно представляет всю плоскость. П Этот разбор разных случаев поучителен, ои показывает, как за деталями могут обнаруживаться возможные существенные Особенности рассматриваемого вопроса. Оказывается, есть 15 разных типов ПВП.
Перечислим их, указав уравнения, которыми они задаются в подходящих координатах. Эти уравнения называются каноническими. 1. Эллипсоид (рис. 80) ЧАСТЬ 5. АНАЛНТИЧЕСКА55 ГЕОМЕТРИЯ 124 Это значит, что эллипсоид содержится в прямоугольном параллелепипеде, задаваемом неравенствами (3) (рис. 81). Сечение эллппсоида плоскостью а=О представляет эллипс — + — =- 1 х 5/ цс Ь5 То 5ке верно для сечений плоскостями х = О, у = О.
Рис. 80 Рпс 81 Пересечением эллнпсоида с плоскостью, если он вообще имеет с нею общие точки, будет либо эллипс, либо одна точка. В сасамом деле, эллипсоид ограничен. Поэтому по доказанной лемме это псресечение может быть только ограниченной КВП, т. е. либо эллип- /'5 l сом, либо одной точкой. В последнем случае плоскость — касательная к эллипсоиду (рис.
82). Далее идут два типа Рис. 82 ПВП, называемых гиперболоидами. 2. Однополостный гиперболоид (рис. 83) хс уС вЂ” + — — — = 1. а' Ь' с' (4) 3. Двуполостнечй гиперболоид (рис. 84) Ас уС г~ — + 5 — — 1 (5) Ь' с' т, ! РАзные типы пОВеРхнОстей ВТОРОГО пОРядкА 228 (числа а, Ь, с в уравнениях (2), (4), (5) называют полуосями эллипсоида и гиперболоидов). Плоскость г = О пересекает первый гиперболоид х Е по эллипсу —;+ —, =' ). Ь2 Это сечение называется горловым; от него гиперболоид расширяется в обе стороны.
Ряс. 84 Рис 83 У двуполостного гиперболоида иначе: никакая плоскость е = е« при (ес(«. с его вовсе не пересекает. Действительно, при е=ес уравнение (5) дает К2 Е2 «2 — + — =- — — 1 (О. а2 22 с2 А это уравнение определяет пустое множество. Следовательно, двуполостный гиперболоид состоит из двух «полостей», разделенных целым слоем между двумя параллельными плоскостями г = ~с. Плоскость у = О пересекает гиперболоиды по гиперболам (рис. 85, а, б) «2 22 — — —,=1, !! «2 2 Лиаз!о! и пп!, плоскость х = О пересекает гиперболоиды по гиперболам. Впрочем, всякая плоскость, проходянсап снрсз ось г, пересекает гпцсрболоиды по .
:Инсрбсч . 2!. Дсй!Ств!Ггсл!,!Нч ьо доказанной лемме сечсння, ляют с с: .,ВП. В данном случае 126 ЧАСТЬ Ь АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ непосредственно видно, что эти кривыс состоят из двух бесконечных ветвей (не прямых). А из всех КВП так устроены только гиперболы. 4. Конус (рис. 86) ио + Ь~ с' Эта поверхность состоит нз прямых, пересекающихся в одной точке — вершине конуса (при выбранных координатах, когда уравнение имеет написанный вид, вершина — в начале координат). Рис. 85 Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
