1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Допустим, д = О, рчьО. Тогда уравнения (2) дают: — — — =О, 1+ — =0 а а с Ь Рас. !00 и уравнение (!) выполнено. Аналогичное получим при р = О, д~ О. Следовательно, и при р или а, равных нулю, прямая Г' содержится в гиперболоиде. Покажем, что через каждую точку гиперболоида проходит прямая с.. Возьмем на гиперболоиде точку М(лс,уа, га). Нужно найти такие р и а, чтобы выполнялнсь равенства (3) Если в первом равенстве хотя бы один из множителей яри р и д отличен от нуля, то полагаем до .со ао р= 1 — —, д= — —— Ь ' а с и первое равенство (3) выполняется. Второе тоже выполняется, так как при подстановке в него р и д ч. с ПРямолннвиные овялзуюшие пвп 143 нз (4) получаем уравнение (1), которое выполняется, поскольку точка М(хну«,.г«) лежит на гиперболоиде. Если первое равенство сводится к О = О, то берем второе н полагаем Р= — '+ — ', ) =1+ —" «и а с ' « Здесь д ФО, так как у« = Ь (поскольку в первом равенстве (4) 1 — —."' = О).
Если эти значения Р и д « подставить в первое равенство (3), то получим уравнение 11), которое выполняется, так как точка М(хзь уо, го) лежит на гппгрболоидс. Итак, через каждую точку гиперболоида проходит прямая ь. Он покрыт этими прямыми; они — его образующие. Совершенно такой же вывод получается для прямых с уравнениями Р( + ) — Ч(1 «) Ч( ) — Р(1+ «) П (5) Любые две образующие из разных семейств пересекаются, кроме того случая, когда они параллельны. Это, естественно, доказывается тем, что уравнения (2) и (5) с данными Р и д решаются совместно.
Тогда получается, что онн разрешимы всегда, кроме того случая, когда рд = — 1. А в этом случае прямые параллельны, как можно убедиться (ввиду неразрешимости уравнений они не пересекаются, но онн могли бы скрещиваться). Образующие гмперболоида вращения. Рассмотрим однополостный гиперболоид вращения. Он симметричен относительно плоскости своего горлового сечения и относительно всякой плоскости, проходящей через ось вращения (при каноническом уравнении эта ось— ось г; плоскость горлового сечения — плоскостьа = О).
Пусть Π— центр гиперболоида, А — точка на горловой окружности и отрезом ОА — это радиус горловой окружности, он перпендикулярек оск. Образующие гиперболоида, проходящие через точку А, перпендикулярны ОА и образуют с направлением оси равные углы. Это ясно из симметрии. При отражении в плоскости, проходящей через ось и точку А, 144 ЧАСТЬ Ь АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ они должны переходитьодпа в другую, так же, как при отражении в плоскости горлового сечения. Проходящая через них плоскость перпендикулярна ОА; она пересекает гиперболоид по этим двум образующим. Так квк гиперболоид при вращении вокруг оси переходит сам в себя, то его образующие переходят в образующие.
Одна из рассмотренных образующих прн вращении дает образующие одного семейства, другая — другого семейства (рис. 1О1). Русский инженер В. Г. Шухов (1853 — 1939) предложил в 1896 г. конструкции из металлических балок, располагаемых так, как расположены образую~~ д, ~ щае гиперболоида вращения. Такие конструкции оказались легкими и прочными; онн применяются для устройства водонапорных башен и высоких радиомачт.
Можно изготовлять зубчатые Рис. 1О1 колеса в форме гиперболоидов вращения с зубцами, идущими по образующим из одного семейства. Передача происходит с одного такого колеса на другое с осямн, расположенными под углом. Важно, что зубцы прямые и могут быть сравнительно длинными, а усилие распределяется на всю их длину Поверхность с прямолинейными образующими. Поверхностей с одним семейством прямолинейных образчюших — необозримое количество, ио двумя семействами. оказывается, обладают только однополостные гиперболоиды и гиперболические параболоиды (не считая, конечно, плоскости — у нее не только два, а бесконечно много семейств прямолинейных образующих).
Теорема 3. Поверхность с двумя семействами прямолинейных образующих — это, не считая плоскости, либо однополосгный гиперболоид, либо гиперболический параболоид. Эта теорема является, можно сказать, следствием другой не менее замечательной теоремы. Теорема 4. Прямые, пересекающие три попарно скрещивающиеся прямые, образуют однополостный Ч.
4. ПРЯМОЛИНЕЯИЫЕ ОБРАЗУЮЩИЕ ПВП 145 гиперболоид или гиперболический параболоид При атом в случае гиперболоида нужно к указанным прямым присоединить еще три чособых» прямых, каждая из которых пересекиет только две из данных и параллельна третьей данной прямой. Оараболоид получается, если три данные прямые параллельны одной плоскости; если такой плоскости нет — получается гиперболоид, Три данные прямые будут принадлежать одному семейству прямолинейных образующих получающейся поверхности, а те прямые, которые их пересекают (включая три «особыхь) образуют другое их семейс во.
Задачи !. Проведите во всех деталях выводы, кратко указанные в тексте: а) о втором семействе образующих параболоида, б) о втором семействе образующих гиперболоида, в) о пересечении образующих параболоида, г) о пересечении образующих гиперболоида (явно выпишите формулы для координат точки пересечения через параметры р, д; р', о' образующих одного и другого семейств и вь(ясните, при каких параметрах образующие параллельны).
2. Выведите уравнение гиперболоида, получающегося при вращении прямой с вокруг другой прямой а; прямые скрещиваются, основание О их общего перпендикуляра на прямой а неподвижно, 3. Докажите: если три прямые попарно скрещиваютсв, то через каждую точку любой из иих проходит прямая (и притом только одна), которая пересекает две другие, или пересекает одну и параллельна другой. А что будет, если две из трех прямых ие скрещиваются и в других случаях взаимного расположения трех прямых? (Какие вообще возможны случаи взаимного расположения трех прямыхр) 4.
Докажите: если на поверхности с двумя семействами прямолинейных образующих есть прямая, им не принадлежащая, то поверхность — плоскость. 5. Покажите, что у параболоида образующие одного семейства параллельны одной плоскости, образующие другого — параллельны другой плоскости. 6. Покажите, что образующие гиперболоида параллельны образующим асимптотического конуса. Часть 2 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Во второи части мы начипасч подробное аксиочатическое построение элементарной геометрии. Оно является как бы тем стержнем, вокруг которого строится весь курс. Это построение продолжается и в третьей, и в шестой (последней) части.
Аксиочатика евклидовой геометрии, которую мы предлагаем в этой части, заведомо избыточна: она включаст в себя аксиомы измерения величин — длин отрезков, мер углов, площадей простых плоских фигур, объемоа простых тел. Поэтому здесь не развивается подробно теория измерения геометрических величин, а ее изложение откладывается до шестой части. Там же будет дана другая, более экономная аксноматнка евклидовой геометрии. Здесь же, в первых двух главах, исходя из предложенной аксиоматики, выведены основные теоремы элементарной геометрии (или указан путь, на котором они мокнут быть легко получены).
Третья глава посвящена более специальным вопросам элементарной геометрии. Следует отметить, что в этой части подробно обсуждаются различные возможные подходы к определениям основных понятий школьной геометрии — отрезка, прямой, угла, многоугольника, многогранника, геометрического тела и т. д. Глава 1 АКСИОМЫ ГСОМЕТРИИ й 1. Общее понятие об основаниях геометрии Основания геометрии образуются теми ее понятиями и положениями, исходя из которых можно ее развивать путем чисто логических рассуждений. Положение, принимаемое без доказательства в качестве исходного, отправного для данной теории, в ча- ь ь овщее понятие ов основлниях гвомет»ин 14т стностн для геометрии, называется аксиомой.
Аксиомы говорят об основных понятиях теории. Совокупность аксиом, лежащих в основаниях теории. называют аксиомигикой этой теории; говорят так «с: «система аксиом». К аксиоматике можно относить и основные понятия, н тогда слова основания геометрии и аксиома- тика геометрии означают одно и то же. К основаниям можно еше относить доказательства исходных теорем н обоснование важнейших понятий, таких, как, скажем, понятие плошади. 3аказаггльством называется, вообще, убедительное рассуждение. Положение (утверждение) теории, котооое доказывается илн подлежит доказательству, называется теоремой.
Обычно, тем более в школьном изложении геометрии, в доказательствах используют наглядные соображения. Но при строго логическом изложении зто нужно исключить, и доказательство должно опираться только на уже установленные положения. А так как они, в свою очередь, тоже должны на чем-то основываться, то приходим к тому, что в основе должны лежать некоторые положения, принимаемые без доказательства, т, е.
аксиомы. Аналогичное выполняется для понятий и их определений. Обычно опредечение состоит в том, что определяемое понятие разъясняется через другие, можно сказать, к ним сводится. Но нельзя сводить одни понятия к другим до бесконечности. Поэтому должны быть исходные понятия, которые принимаются без предзарительных определений. Все, что от них требуется, высказывается в аксиомах (поэтому говорят, что аксиомы служат «скрытыми» определениями основ н ы т пои яти й), Понятия могут быть двух типов; одни описывают объекты, такие как «точка», «прямая», «круг» и т.п., другпс описывают отношения объектов друг к другу, такие как «прямые пересекаются», «точка лежит внутри круга» и т.
п. Основные понятия при изложении геометрии можно выбирать по-разному, например, мы примем за основнос понятие «отрезок», тогда как чаще принимают «прямую». В качестве аксиом тоже можно брать разные положения геометрии; такие возможности мы рассмотрим специально в части 6. 148 ЧАСТЬ 2. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Аксиоматика излагается так, что сначала перечисляются основные понятия, а потом формулируются аксиомы. Например, примем следующие основные понятия. О б ъ е к т ы: точки, прямые.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
