1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 24
Текст из файла (страница 24)
О т н о ш е н и е: точка принадлежит прямой, Сформулируем аксиому: каждые две точки принадлежат некоторой прямои (или, как чаще говорят, через каждые две точки проходит прямая), Геометрия возникла из практики, в частности, из измерения земли; само слово «геометрия» означает «землемерие». Греческий ученый Евдем Родосский (4 в. до н.э.) писал: «Геометрия была открыта египтянами и возникла из измерения земли.
Это измерение было им необходимо вследствие разливов Нила, постоянно смывавших границы (участков земли). Нет ничего удивительного в том, что эта наука, как и другие, возникла из потребностей человека. Всякое возникающее знание из несовершенного состояния переходит в совершенное. Зарождаясь путем чувственного восприятия, оно постепенно становится предметом нашего рассмотрения и, наконец, делается достоянием разума». Так геометрические знания, зародившиеся из чувственного восприятия в практике, стали достижением разума в логической системе «Начал» Евклида (ок.
300 г. до н. э.). Однако с современной точки зрения эта система далеко не совершенна. Принятое теперь понимание оснований геометрии сложилось лишь к концу Х!Х столетия. Согласно происхождению геометрии, ее основания лежат фактически в практике: для планиметрии, можно сказать, — в измерениях земли. Соответственно, наиболее естественные логические основания геометрии, содержащиеся в ее аксиоматике, должны возможно ближе выражать ту же практику, лишь представляя се в идеализированном виде.
Так мы и подойдем к основаниям планиметрии. К основаниям стереометрии мы обратимся, опираясь на планиметрию. Замечания. ). Слово «аксиома» происходит от греческого и означает «достойное признания»; прежде и понимали «аксиому» как положение, достойное признания ввиду его очевидности, не требующее доказа- г ' Основные пОнятия Аксггоматики плАн!глтети1ги 149 тсльства, безусловное.
В этом смысле и теперь говорят, например, о моральных аксиомах. Аксиомы геометрии тоже толковали как «не требующие доказательства но очевидности». Например, в и:исстном учебнике геометрии 1уггселева так и было написано: «Аксиомы. Так называют истины, которые вследствие своей очевидности принимаются без доказательства»'). Но понимание это изменилось; в «Словаре русского языка» дается определение: «Аксиома — положение, принимаемое без доказательства в качестве исходного, отправив~о для данной тсорнн. Неоспоримая истина, совершенно очевидное утверждСНИг» Таким образом, прежнее значение слова <аксиома» толкуется теперь как вторичное.
В науке же «аксиома» понимается всегда в смысле первого определения; его мы и воспроизвели в начале нашего изложения. Соответственно от аксиом, в принципе, не требуется ничего, кроме того, чтобы они давали основание теории. Но в геометрии, поскольку она неразрывно связана с наглядным содержанием, пренебрегать очевидностью аксиом не следует. Термином «геометрия» обозначают теперь многие теории, порой довольно далекие от первоначальной элементарной геометрии. Но мы, говоря о геометрии, будем иметь в виду обычные — евклидовы— планиметрию и стереометрию, пока не перейдем, указав на это явно, к другим теориям, включаемым в геометрию (см.
части 3 и 6). ф 2. Основные понятия аксиоматики планиметрии Согласно общему плану, указанному в ф 1, изло жение аксиоматики начинается с перечисления основных понятий — объектов и отношений, Мы принимаем за Основные ебъекты: 1) точки, 2) отрезки. Основ ны с от ноше ни я: 1) точка служит концолг отрезка, 2) точка лежит на отрезке, 3) два отрезка ривньг друг другу, илн, как мы будем также говорить, один отрезок равен другому.
'1 1л и с е л с и А. П. Злемеитариая геометрия. — М., !914. С 1. 150 чАсть з. злементАРпхя геомсгРпя Точки обозначаются, как обычно: А, В, М и т. п., отрезки — а, Ь и т. п. Если точка С лежит на отрезке а, то кратко пишем: С на а ') (см. рис. 1). Точки, лежащие на отрезке, а также его концы считаются точками »того отрезка, т. е. принимаем определенно точка А принадлежит отрезку а, если опа и С В Рис.
1. Точнн Л,  — копны о.р~зка а,  — лежи г на и .тежнт на ием плп служит его концом. Это обозначаем так: А еи а (не смешивать с «А на а»1). Теперь, пользуясь основнымн понятиями, определим некоторые другие понятия, относящиеся к отрезкам (не придерживаясь принятой в школе формы определения с глаголом «называется»). 1. Отрезок а содержится в отрезке Ь (в записи а ~ Ь), если все его точки являются также точками отрезка Ь (рис. 2,а). Ь Рпс 2. а — а содержится в Ь; б — а и Ь образуют с; в — а и Ь составляют с; г — о и Ь налегают друг на друга 2.
Отрезки а, Ь образуют отрезок с (в записи с = = а '(Ь), если онп содержатся в с и у с нет точек, не принадлежащих им (рис. 2,б). Дословно так же определяется, что несколько отрезков образуют один отрезок. '1 Говорят также: «точка ис'юп внутри отрезка»; но всегда говорят: «на прямой», «на стороне треугольника» и т.п. Вираженне «оа отрезке» короче, чем «внутри отрезка», н более соответстнует наглядному представлению, когда отрезок рассматривается сам па себе, а не как часть прямой.
1 -' ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ АКСИОМАТИКН ПЛАИИМЕТРИИ Ш! 3. Отрезок с составлен из отрезков а, Ь, если с = = а, ' Ь и отрезки а, Ь не имеют общих точек, кроме одного общего конца (рис. 2,в). Вообще, отрезок с составлен из нескольких данных отрезков, если онп образуют его и попарно не имеют общих точек, кроме концов. 4. Отрезок а отлажен вдоль отрезка Ь от его конца Л, если у этих отрезков есть общий конец А н один из них содержится в другом. Мы говорим также, что такие отрезки налегают друг на друга (рнс. 2,г). 5. Два отрезка пересекаются, если у них есть единственная общая точка, лежащая на них обоих (рис.
3). Рпс. 3. а и Ь пересекаются Подчеркнем, что при аксиоматическом изложении основные понятия заранее не определяются; все, что от нпх требуется, должно быть высказано в аксиомах. Но смысл основных понятий и содержание аксиом отражают то, откуда они возникли. Наши основные объекты можно определить из их исходного наглядного смысла. Точка — это мысленный образ предельно точно указанного места, так что в нем уже не различаются разные места.
По Евклиду «точка — это то, что не имеет частей». Отрезок — это мысленный образ туго натянутой нити. Однако такие определения носят «предматематический» характер, и их не следует смешивать с математическими определениями, поскольку в них участвуют не математические понятия, такие как «место» или «нить».
Аксиомы планиметрии мы делим на две группы: а) Линейные аксиомы. В них не присутствует представление о плоскости, так что они могли бы относиться к точкам и отрезкам, лежащим на одной прямой. Поэтому мы и называем их линейными, 152 чхсть 2 алементАРнхя Геоматаня б) Плоскостные аксиомы. Они касаются фигур, не укладывающихся на прямой. Говоря здесь о прямой и плоскости, мы понимаем их в наглядном смысле; понятие о них в нашу аксиоматику не включается, так что сказанное представляет собой только пояснение к разделению аксиом на «линейные» и «плоскостныеж Так как аксиомы должны давать исчерпывающее основание для вывода теорем без всяких ссылок на наглядные представления, то в ннх указываются, в частности, и такие свойства основных объектов, которые при наглядном понимании представляются настолько очевидными, что их не стоит упоминать, как например, первая из линейных аксиом, с которой начинается следующий параграф.
Линейные аксиомы мы делим в свою очередь на две подгруппы: а) «Аксиомы связи» вЂ” связи точек и отрезков. Эти аксиомы касаются только отношений точек и отрезков: точка служит концом отрезка и точка лежит на отрезке. б) Аксиомы равенства и измерения отрезков. Замечания. 1. Мы излагаем основания планиметрии — геометрии на плоскости. Само понятие плоскости в ннх не упоминается; в них плоскость — это, так сказать, та среда, то пространство, где выполнены высказываемые далее аксиомы н соответственно «разыгрывается», имеет место основанная на них геометрия. 2.
В обыденной речи говорят не «отрезок», а «прямая» — «проведем прямую», «иди по прямой» и т. п. Но прн атом никто не имеет в виду «бесконечную прямую во всей ее бесконечности»,— в отличие от того, как это принято теперь в геометрии. Понятие «конечной прямой» вЂ” отрезка — первично и берется из практики, а понятие «бесконечной прямой» возникает из представления о возможности продолжать отрезок за оба конца без ограничения. В современном изложении начал геометрии все переворачивается; бесконечная прямая принимается за нечто первичное, а отрезок определяют как часть прямой.
Однако в геометрии прямые в их актуальной бесконечности почти не встречаются, а всюду фигурируют отрезки. Даже параллельные прямые, появ- с а. лннепные Аксиомы сВязи и их следстВия 153 ляясь в определении и в аксиоме о параллельных, дальше нс нужны: всегда имеют дело не с ними, а с параллельными отрезками. Далее. Отрезок нзобра' ается, например, чертой на бумаге, но подобное и=ображенне (модель) бесконечной прямой уже нее хможно: бесконечная — значит, уходяшая за всякие пределы Вселенной.
В учебниках и преподавании г«омстрни говорят о прямой, проведенной на чертеже. но на нем проводят конечную прямую — отрезок — с той точностью, с какой позволяют средства черчения. Позтому. строго говоря, в преподавании дог сьастся;Птаннца и некоторый обман. Наконец, можно зачотитгн что н «Началах» Ввкт41дз прямая понимаетсн как конечная. Гще Лобачевский имел в виду конечную прямую, когда писал: «Величина прямой линии определяется сравнением ее с другой» '). В учебнике Киселева различаются «конечная» и «бесконечная» прямые').
Параллельные — зто конечные прямые, которые не пересекаются, как их ни продолжать. ф 3. Линейные аксиомы связи и их первые следствия Как уже сказано, зги аксиомы касаются только отношений точек и отрезков. ), (аксиома существования). Существует хотя бы один отрезок; у кажс)ого отрезка есть деа и только деа конца; кроме того, на каждом отрезке лежит хотя бы одна точка. )а (акснома проведения отрезка). Каждые две точка служат концами отрезки, и притом только одного. Другими словами: каждые дее точки можно соединить отрезком, и прнтол4 единственным.
Отрезок с концами А, В обозначаем обычно АВ (нли ВА). )а (аксиома деления отрезка). Всякая точка, лежащая на отрезке, делит его на деа отрезка, т. е. если С на АВ, го АВ составлен из АС и ВС. !4 (аксиома соединения отрезков). Два отрезка, имеющие дее общие точки, образуют один отрезок; его концами служат деа из их концов. ') См. Об основанннх геометрИи. — М„Л., 1956, С, 32.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
