1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 28
Текст из файла (страница 28)
(б) Отрезки составляют один отрезок (рис. 7). (в) Отрезки налегают друг на друга. Соответственно различаются три вида углов: угол с наложенными сторонами — нулевой; в дальнейшем этот случай исключается из рассмотрения. Угол со сторонами, составляющими один отрезок, — развернутый. Угол, образованный отрезками, лежащими каждый с одной стороны от другого,— настоящий или, как обычно говорят, неразвернутый. Доказательство теор ем ы 1. Пусть даны отрезки АВ, АС, Если отрезок ЛВ не имеет (кроме точки А) общих точек ни с каким отрезком, содер- 17О ЧАСТЬ К Э.ЧЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ жащим АС, то он лежит по одну сторону от АС (по самому определению располоитения с одной стороны). Допустим, отрезок ЯВ имеет, помимо Я, еще обшую точку с отрезком а, содержащим АС.
В таком случае по аксиоме соединения отрезков 1, отрезки АВ и а образуют один отрезок М1т'. Так что АВ н АС содержатся в МЛ. Можно считать, что точка А лежит иа ИМ (сслп бы А совпадала, например, с М, то можно продолжить отрезок МЛ' за точку М). Точка Я делит отрезок Мй на АМ и АЛ~, и возможны два случая: 1) АВ, АС содержатся в одном из этих отрезков. Тогда один из них (более длинный), как следует из ь а л' г л В АТ Рнс. 7 Рнс. 8 теоремы 4, $4, содержит другой, т.
е. они налегают друг на друга. 2) АВ, АС содержатся в разных отрезках АМ, АУ, например, АВс:ЯМ, АСс Ай! (рнс. 8). Тогда точки В, А, С расположены на отрезке М)т' в порядке возрастания длин отрезков МВ, МА, МС (согласно той же теореме 4, 5 4). Поэтому точка А лежит на отрезке ВС. А это и значит, в силу аксиомы 1т деления отрезка, что отрезки ЯВ, АС образуют один отрезок ВС. Таким образом, теорема 1 доказана. П Если отрезок а служит стороной, а его конец А— вершиной неразвернутого угла, то говорим, что угол отложен от отрезка а, от его конца А по ту сторону от отрезка а, где лежит другая сторона угла. Угол обозначается либо вершиной, либо стороиамп: ~Π— угол с вершиной О, ~аЬ вЂ” угол со сторонами а, Ь; когда же стороны обозначаются концами, то угол со сторонами АВ,АС обозначается ВАС или САВ (или ~ВАС, ~САВ).
Поперечиной угла назовем отрезок с концамн, на сторонах угла. Поперечины АВ, А~В, углов О, 01 называем соответствениылти, если ОА ан 01Я и ОВ м О~В~ (рис. 9). Углы мы называем равными, если у них есть равные соответственные поперечины (рис. 10). ПЛОСКОСТНЫЕ АКСИОМЫ И ИХ ПЕРВЫЕ СЛЕДСТВИЯ 171 П)т (аксиома равных углов и откладывания угла). У равных углов все соответственные поперечины равны. От любого данного отрезка от данного его «онца и по данную сторону от него можно отложить Ряс. 9 РВС. 10 угол, равный данному неразаернутому углу, и зто можно сделать единственным образом. Поясним наглядный практический смысл этой аксиомы. Представим себе угол, начерченный на какой- нибудь плоской поверхности; чтобы начертить равный угол в другом месте, можно приложить к сторонам начерченного угла два стержня, как-то скрепив их в вершине, и перенести их в нужное место.
Для того чтобы при перенесении отрезки не «разболтались» и угол не изменился, мы скре- Рис. 11 пим пх какой-нибудь поперечиной (рис. ! ), поперечина здесь не отрезок, а реальный стержень). Перенеся угол с поперечиной и начертив по нему угол в нужном месте, мы и проделываем операцию, о которой в отвлеченном виде сказано в аксиоме П)е.
172 ЧАСТЬ Е. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Введем еще аксиому о мере углов, аналогичную аксиоме Пь Для этого нам потребуется следующее Определение. Вудом говорить, что отрезок с проходит внутри угла а0, если один конец отрезка с находпсся н вершине угла и отрезок с пли его продолжение пересекает какую-нибудь поперечину угла аЬ. (Тогда л)ч, идущий из вершины угла вдоль отрезка с, пересекает всякую поперечину )тла, как это будет доказано.) Вели же угол развернутысс, то всякий отрезок, исходяп1пй пз его всршпны и ие налсгаюсций ни на одну из сторон, считается проходящим внутри этого угла. )!1, (аксиома меры угла).
Если некоторому углу е отнесено число единисса, то кажг)олсу углу лсожно сопостивигь положитесьног чиг со — численную меру этого угла в масгитабе Р, — стобы иыполнллись условия: (а) Равные углы имеют одну и т(с же меру. (б) Если отрезок с проходит внутри угла о0, то мера угла аЬ равна сумме мер углов ас и Ьс. Далее можно было бы принять аксиому существования угла с данной мерой, меньшей меры развернутого угла (аналогично аксиоме Пс существования отрезка данной длины), Но в этой аксиоме нет надобности, так как, во-первых, существование угла с данной мерой может быть доказано, а во-вторых, оно в элементарной геометрии не использувтся (в ней имеют дело с тригонометрическими функциями, а они определяются через длины отрезков).
Наконец, можно было бы принять для углов аксиому о замене масштаба: при изменении масштаба все численные меры углов умножаются на одно и то же число. Но это можно доказать совершенно так же, как доказывается аналогичное утверждение для отрезков ($4, теорема 2). Разница лишь в том, что мера углов ограничена: она не может превосходить меру развернутого угла. Однако это не изменяет доказательства. Отсюда же следует и единственность численной меры угла.
Из определения равенства углов вытекает важное для нх измерения следствие: Теорема 2. Все развернутые угльс равньс. Д о к а з а т е л ь с т в о. Стороны развернутого угла О образуют один отрезок. Поэтому если на них взяты .'..ЮСИОСТИЫЕ АКСИОМЫ И ИХ ПЕРВЫЕ СЛЕДСТВИЯ !73 т;иии Л, В, то поперечина АВ содержится в этом от-.изке и, следовательно, содержит вершину угла О, и, .—.о аксиоме 11, сложения длин отрезков, )АВ(= = (ЛО(+ (ВО).
Поэтому если на сторонах другого ;.звсрнутого угла О' взяты такие точки А', В', что сз.)' ж ОА, О В'ж ОВ, то Л'В' си АВ (см. теорему За, ч 4!. Это значит, что соответственные поперечины рзвны. так что углы равны, что и требовалось доказать. П В геометрии принято измерять углы двумя мас- !абамн. градусами и радианами. По определению, :!"зд1с 1 — то такой угол, что развернутый угол и 1ЬО, а рзд!!аи — это такой угол, что развсрн,тый >го! равен и радианов. ФТндаментатьное различие между мерой углов и дзи!<ой отрезков состоит в том, что есть геометриче- . и выделенные углы, как развернутый угол или прямой угол, но никаких геометрически выделенных в! ь отрезков нет. Как сторона неразверн того згла расположена с со одну сторону от другой сто стороны, так по ту же сторону располагается и всякая попере- О л л, а чина угла.
Это непосредственно следует, в силу Рис. ! й теоремы 1, из того, что концы поперечины расположены на сторонах угла. Па том же основании заключаем, что всякий отрезок с концом в вершине угла, пересекающий поперечину„ лежит с той же стороны (рис. 12). Теорема 3. Если отрезок, проведеннв!й из вершины угла, пересекает какую-,!ибо его поперечину, то он или некоторое его продолжение (не за вершину) пересекает любую другую поперечину. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть имеется угол аЬ с вершиной О, и пусть отрезок ОС пересекает поперечину АВ(А на а, В на Ь; см. рис. !2). Это значит, что точки А, В лежат с разных сторон от отрезка ОС, и, стало быть, как следует из теоремы 1, стороны угла аЬ лежат с разных сторон от ОС. Поэтому если А! на а, В, на Ь, то отрезок А,В, пересекает 174 члсть к элементхгнья геоматгия отрезок с, содержащий ОС, Вместе с тем отрезки Ь и ОС лежат с одной стороны от а.
Поэтому отрезок А|В,, пересекает с в точке, лежащей с той же стороны от а, т. е. в точке, принадлежащей отрезку ОС или его продолжению за точку С, что и требовалось доказать. П Треугольником будем называть объединение трех отрезков, соединяющих попарно три точки, не лежащие на одном отрезке. Эти точки — вершины треугольника, отрезки — его стороны Треугольник обозначается своими вершинами: АВС (или ЛАВС) и т. и. Теорема 4. Если пряная не проходит ни через одну из вершин треугольника и пересекает его сторону, то она пересекает еи1е одну и только одну его сторону. Доказательство.
Пусть прямая а пересекает сторону АВ треугольника АВС и не проходит через вершину С. Тогда точки А, В лежат по разные стороны от прямой а, и по аксиоме деления плоскости точка С лежит по одну сторону от нее либо с точкой А, либо с В. В первом случае, когда С и А лежат с одной стороны от прямой а, то С,  — с разных сторон; тем самым прямая а пересекает отрезок ВС и не пересекает АС.
Во втором случае, напротив, прямая а пересекает АС и не пересекает ВС, Теорема доказана. П Теорема б. Если два разных угла аЬ, ас отложены по одну сторону от отрезка а, то либо отрезок Ь проходит внутри угла ас, либо с — внутри угла аЬ. Доказательство. Пусть углы аЬ, ас с вершиной О отложены по одну сторону от отрезка а. Возьмем на сторонах а, Ь точки А, В и еще точку 0 на продолжении отрезка а за вершину О, Проведя отрезки АВ, ВР, А0, получим треугольник АВР (рис. ! 3). Прямая с, содержащая отрезок с, пересекает сторону А0 треугольника АВР в точке О и не проходит через вершину В, стало быть, по теореме 4, она пересекает еще одну сторону.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
