1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Теорема 4 доказана. П Следствие !. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. Следствие 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Оба следствия выводятся из теоремы 4 с использованием теоремы 2, Читатель докажет их самостоятельно. П Теорема 5. Всякая плоскость а делит все не принадлежащие ей точки на два таких класса, что отрезок, соединяющий точки одного класса, не пересекает и, а отрезок, соединяющий точки рознь!х классов, пересекает а.
Доказательство. Берем какую-нибудь точку А, не принадлежащую а, и относим в класс р(, вместе с точкой А, все такие точки М, что отрезок АМ не 182 ЧАСТЬ Х ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ имеет с а общих точек; все остальные точки, не принадлежащие Гх, относим в класс Рь Пусть М, М вЂ” две точки, отличныс от А и ие лежащие в плоскости а. Через точки А, М, М проходит плоскость () (аксиома Пр.(). Отрезки ЛМ, АМ, МА1 лежат в (1 (следствие теорем 1, 2). Если плоскость () не имеет с а общих точек, то, очевидно, М, Л/ ~ Рн и отрезок ММ не имеет с а общих точек.
Допустим, плоскости а и (1 имеют общую точку. Тогда, в силу аксиомы Пр.З, они пересекаютси по прямой. Эта прямая а разбивает плоскость () за вычетом самой прямой а на две открытые полуплоскости (в силу аксиомы деления плоскооти). Из определения классов Рн Ре ясно, что точки одной из этих полу- плоскостей входят в Ри точки другой — в Рь По свойству полуплоскостей, если точки М, А' принадлежат одной из них, то отрезок М,Ч не пересекает пря. мую а. Если же то ~ки М, М принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок ММ пересекает прямую а.
А так как точки полуплоскостей содержатся в классах Р, и Рь то получаем сказанное в теореме: МАГ ие пересекает а, если точки М, М из одного класса, и пересекает, если точки из разных классов; что и требовалось доказать. П Дополнение. Другой вариант аксиом стереомстрии. Считая планиметрию известной, можно, переходя к стереометрии, принять, что на каждой плоскости выполняется планиметрия. Г!одобная аксиоматика удобна при таком изложении геометрии, когда сначала излагается планиметрия, а потом — стереометрия (при этом безразлично, на каких аксиомах строится сама планиметрия). Такое изложение дано в книге: Александров А.Д., Вернер А Л,, Рыжик В. И. Геометрия. 9 — !О. Учебное пособие для школ и классов с углубленным изучением математики.
М,, Просвещение, 1984. Там используется понятие величины — расстояния между точками,— но его можно заменить численным расстоянием. Тогда аксиомы стереометрии представляются следующим образом (с теми же основными объектами и отношениями): 1. (Аксиома расстояния.) Каждым двум точкам сопоставлено расстояние — положительное число (или величина). 11. 1. ТРЕУГОЛЬНИКИ, ПЕРПННДИКУЛЯРЫ !83 2. (Аксиома плоскости.) Существует хотя бы одна плоскость, и на каждой плоскости выполняется планиистрня.
При этом численная длина каждого отрсзла равна данному по аксиоме 1 расстоянию между Е1О ЛОНЦаМН. Дальше следуют трп пространственные аксиомы —. те жс, что и выше: Пр. 1, Пр. 2, Пр. 3. Глава )1 НАЧАЛА ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ $ 1. Треугольники, перпендикуляры Напомним, что треугольником мы называем фигуру, образованную тремя отрезками с попарно общиын концами,несодержащимися в одномотрезке'). Стороны, вершины, углы треугольника определяются как обычно. так же как равенство треугольников— по равенству сторон и соответственных углов. Из того.
что вершины нс содержатся в одном отрезке, сл д) сг, что углы треугольника настоящие, и каждая сторона служит поперечиной противоположного угла (см. теорему 1, $6, гл. 1). Вьтолняются три классические теоремы о равенстве треугольников (только мы устанавливаем нх в ином порядке): (1) по трем сторона.и, (11) по двул1 сторонам и углу между ними, (111) по стороне и двум арилежаи!им углам. Доказательство (1). Пусть у треугольников АВС, А1В1С, равны стороны: АВ = А,В, и т, д. Ввиду этих равенств отрезки ВС, В,С, являются соответственными поперечинами углов А, Аь По условию ВС = В1С1.
Значит, .У А = .У А,. Аналогично доказывается, что л' В = .У В, и .У С = г. С1 (рис. 21). С! ') Треугольником называют м каркас, н часть плоскостн, как в словах: «треугольннк пз проволока» нлн «вырежьте треух"ольннк нз бумагнъ, н трн точкп, не ле1кащне на одной прямой и трн соеднняющне нх огрезка.
!84 ЧАСТЬ К ЭЛЕМЕНТАРИАЯ ГЕОМЕТРИЯ Д о к а з а т е л ь с т в о (П). Пусть у треугольников АВС, А1В~С1 АВ= Л,ВО АС= А,СО ~ А = ~ АР Ввиду первых двух равенств у углов А, А, поперечины ВС, В,С, соответственные, и по равенству углов онп равны. Поэтому из (1) треугольники равны (рпс. 22). Б 41 а йис. 21 Рис. 22 Доказательство (П1). Пусть у треугольников АВС и А|В~С~ ЛВ=АВ,, ~А=~ЛИ х. В=~ВО Отложим вдоль А1С, отрезок А,С„равный АС. Тогда вниду (!1) треугольник А,В1С, равен етАВС. Стало быть, его угол В1 равен углу В в треугольнике АВС.
По аксиоме откладывания угла, угол, равный В, может быть здесь только один, так что угол В, тут один и тот же (в гтАВ~С1 и ЗАВСЕ). Тем самым ЛА~В~СЕ совпадает с стА1В~СО и, значит, йА1В~С~ = = т"тАВС (рис. 23). П Перпендикуляры. Мы говорим, что отрезок а перлендику,тярен отрезку Ь, если сами эти отрезки и. 1, тРеугольники, пеРпендикуляРы !аз или их продолжения пересекаются под прямым углом. В записи: а ! Ь.
Теорема !. Для всякого отрезка а и любой точки Л через нее проходит отрезок, перпендикулярный а Д о к а з а тел ь ство. Принципиально различаются два случая: а) точка Л лежит на каком-нибудь отрк'кс, содержащем а; б) это нс так. Рис. 23 Случа й б). Возьмем на а какую-либо точку В, и пусть ВС вЂ” один из отрезков, на которые В делит а.
Проесдсм отрезок ЛВ; возьмем угол АВС и от- Рис. 24 ложим от ВС равный ему угол А1ВС с другой стороны от отрезка ВС. На его стороне мы можем взять точку А! с А,В = АВ (рис. 24). Точки А и Л! лежат с разных сторон от а, поэтому отрезок АА! пересекает некоторый отрезок а', содержащий а, в какой-то точке О. Может случиться, 186 гхсть з. элементхтнкя геометигя что О совпадает с точкой В, так что отрезки АВ и А,В образуют один отрезок АА, Тогда углы, образуемые ими с отрезком ВС, смежные, а так как по построению они равны, то они прямые, так что АВ ! а. Пусть точка 0 отлична от В, так что имеются два треугольника АВО и А,ВР. У них ВА = ВАь сторона ВО общая [и так как отрезок раасн самому себе, то стороны ВО равны).
Ерохгс того, углы прн вершпнг В равны либо по построению, либо как смежныс построенным равным углам АВС и А,ВС. Поэтому треугольники АВО и А,ВО равны, и, стало быть, равны их углы О. А так как они смежные, то значит прямые, Таким образом, АА, ! а. С луча й а). Пусть, дчя простоты, точка А лежит на отрезке а, так что имеем на а отрезки АВ, АВь Пользуясь только что изложенным построением, построим где-нибудь прямой угол й. Отложим равный ему угол ВАС от отрезка АВ, от его конца А.
Он прямой, поскояьку равен прял мому углу. Следовательно, АС !. ! а. П Это построение как бы воспроизводит откладывание прямого угла с помощью угольника. с Для доказательства единствеив. ности перпендикуляра нам нужна Лемма (обратнаятеореме о сумме смежных углов). Если у двух углов одна сторона общая, а две другие расположены по разные стороны от нее, и в сумме углы составляют !80', то они смежнвге. Докажите это самостоятельно. П Теорема 2. Перпендикуляр, проРис 25 веденный из данной точки к дан- ному отрезку, единственный Доказательство. Допустим противное, и пусть отрезки АВ, АС перпендикулярны ВС.
Продолжим отрезок АВ по другую сторону от ВС на отрезок ВА' = АВ. Треугольник А'ВС равен схАВС. Поэтому нх углы С равны. Применяя предыдущую лемму, приходим к противоречию (рис. 25). П метРические сООтнОшения В тРеуГОльнике 1ат 5 2. Параллельность. Метрические соотношения в треугольнике В связи с аксиомой 1Ч, «о параллельных отрезкахь иы назвали параллельными равные отрезки АС, ВО, проведенные в одну сторону из концов какого- либо данного отрезка ЛВ перпендикулярно к нему. Аксиома утверждает, что в таком случае СО =АВ (рис.
!7). Лемма 1. Параллельные отрезки перпендикулярны также отрезку СО. Д о к а з а т е л ь с т в о. Проведя отрезок ЛО, получим два треугольника АВО и АСО (рис. 2б). У них Рис 27 Рис 2б АС = ВО по условию, АВ = СО по аксиоме, сторона ЛΠ— общая, Поэтому углы зтнх треугольников равны, в частности л. В = л.'С.
Но угол В по условию прямой. Следовательно, н угол С прямой, так что .-1С ) СО. Для ВО вывод тот же. П Таким образом, здесь все отрезки играют попарно одинаковую роль: противоположные равны и в общих концах взаимно перпендикулярны; короче, они образуют прямоугольник. Сумма углов треугольника. Вот еще одна пере- формулировка Ч постулата, Лемма 2. Сумма углов прямоугольного треугольника равна развернутому углу. Доказательство. Пусть АВС вЂ” треугольник с прямым углом А. Проведем отрезок ВО, равный АС, в ту же сторону от АВ под прямым углом к АВ (ряс. 27).
Получаем прямоугольник. Треугольники АВС н ОВС равны по трем сторонам. Так как онн составляют прямоугольник, то сумма всех их угада составляет четыре прямых угла. А значит, у одного треугольника сумма углов равна двум прямым. С) 188 иАсть е элементАРнАя ГеометРня Из доказанного очевидно вытекает Следствие.
У прямоугольного треугольника два угла острые, и их сумма равна прямому углу. П Лемма 3. Во вгяколг треугольнике два углаострые Если в треугольнике АВС углы А, В острыс, то основание высоты СН лежит на АВ. До к а з а тел ь с т во. Если е треугольнике один угол прямой, то деа другпсострые (предыдущее следствие). Допустпм, в треугольнике АВС угол В тупой. А и В А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
