1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 33
Текст из файла (страница 33)
П Теорема 11. Если принята аксиома о параллельных прямых, то выполняется аксиома параллельных отрезков: если отрезки АВ и В0 равны друг другу, лежат с одной сторонГИ от отрезка АВ и перпендикулярны ему, то С0 = АВ. Д о к а з а т ельство. Так как отрезки АС, В0 перпендикулярны АВ, то прямые ЛС, В0 параллельны (по доказанному). Поэтому накрест лежащие углы при точках А и 0 равны (рис.
4!). Следовательно, у треугольниковЛС0 и ВА0 равны углы А и 0 и заключающие их стороны: А0 общая и АС= В0. Следовательно, АВ = С0, что и требовалось доказать. П Таким образом, мы доказали, что при аксиоме параллельных прямых выполняется аксиома параллельных отрезков. А так как выше было доказано обратное, то аксиомы равносильны. Постулат Евклида утверждает: Если прямые а, Ь, проходя через концы отрезка ЛВ, образуют с ним с одной стороны углы, в сумме меньше 2й, то эти прямые пересекаются, причем с той же стороны от АВ. Оставим последнее уточнение — и без него постулат равносилен аксиоме параллельных.
Действительно, все четыре угла, какие образуют прямые а, Ь с отрезком ЛВ, составляют в сумме 4д, так что либо с обеих сторон от АВ суммы углов равны 2д, либо с одной стороны сумма меньше 2д. В первом случае прямые параллельны (по теореме 8), и, стало быть, во втором случае, если выполнена аксиома плеть е алемеитАРИАя ГеометРия параллельных, они пересекаются, т. с. выполнен постулат Нгклида. Если же выполнен этот постулат, то во втором случае прямые пересекаются. Это значит, что прямая Ь, проходящая через точку В и параллельная а, только одна — та, для которой сумма углов с одной стороны как раз ранна 2с(.
Значит, выполнена аксиома параллельных. Доказательство то~о, что при аксиоме параллельных выполняется постулат Евклида в полном объеме: с утверждением о том, с какой стороны пересекаются прямыс, мы оставляем читателю в качестве задачи.
Понятно, задача состоит в возможно более непосредственном доказательстве, потому что сели считать доказанной теорему о сумме углов треугольника, то утвер.кденпе, что прямые пересекаются с той стороны, где сумма углов меньше 2с(, становится очевидным. П й 3. Начала стереометрии: прямые и плоскости в пространстве Исходные факты, касающиеся прямых и плоскостей, изложены в ф 8, гл.
1. За ними следует рассмотрение взаимного расположения двух прямых, в частности, доказывается теорема: через точку вне данной прямой а проходит прямая, ей параллельная '), и притом только одна. Удобный способ дальнейшего изучения взаимного расположения прямых и плоскостей дает применение векторов. Проследим зто на основных примерах. Векторы и операции с ними (скалярное произведение в том числе1) были определены в гл.
1!1, ч. 1, отправляясь от направленных отрезков. Напомним: Два направленных отрезка АВ, СО имеют одно направление — сонаправлены, сслп прп продолжении они нс расходятся, т. е. каковы бы ни были налегающие на АВ и СО равные отрезки АВ, С1т', расстояние Мй ограничено: меньше некоторой константы с. Два направленных отрезка представляют один и тот же вектор (равны как векторы), если они сонаправлены и равны по длине.
ч) Прямые в пространстве иазываются параллельными, если оаи лежат в олиой плоскости и ие имеют общих точек. 11 3. ИАчАлА стеРеометРии 20! Были доказаны: Теорема 1. Два направленнь1х отрезка, сонаправленные с третьим, сонаправлень1. Теорема 2. Два направленных отрезка АВ, СА) сонаправлены тогда и только тогда, когда они либо лежат на параллельных прямых по однц сторону от прял1ой АС, либо лежат на одной прямой и один из лучей А В, СО содержит другой. Отсюда сразу выводится Теорема 3. Две прямые, параллельные третьей, параллельны. Доказательство. Пусть прямые а, Ь параллельны прямой с. Тогда, опираясь на теорему 2, можно, взяв на с направленный отрезок ССИ взять на а и Ь отрезки АА,, ВВН сонаправленные с ним. По теореме 1, они сонаправлены друг с другом. А стало быть, по теореме 2, они лежат на параллельных прямых, так что а!!Ь, что и требовалось доказать.
П Точно так же, как в гл. 1!! ч. 1, могут быть получены все результаты о векторах, которыми мы здесь будем пользоваться. Далее на основе угла между векторами можно определить угол между прямой и плоскостью. В частности, вводится понятие перпендикулярности. Перпендикуляры к плоскости. Теорема 4. Вектор, перпендикулярный к двум не коллинеарным векторам, лежащим в данной плоскости, перпендикулярен ко всякому вектору, лежащему в той же плоскости. Доказательство. Пусть а, Ь вЂ” два неколлинеарных вектора в плоскости а и вектор с им перпендикулярен, так что ас = Ьс = О.
Всякий вектор р в той же плоскости представляется как сумма векторов р1, р„ коллинеарных а и Ь, так что р,с = рчс = О. Поэтому Ср = С (р1 + рг) = С р1 + Срг = О, т. е. с 1 р, что и требовалось доказать. П Доказанная теорема очевидно равносильна следующей (в которой уже нет речи о векторах). Теорема 5. Прямая, перпендикулярная двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости, перпендикулярна всякой прямой, лежащей в этой 202 ЧАСТЬ 2. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ плоскости, и тем самым перпендикулярна этой плоскости. П Этот признак перпендикулярности позволяет доказать, что: (1) Через любую данную точку проходит плоскость, перпендикулярная данной прямой, и притом только одна. (2) Через всякую точку плоскости проходит прямая, перпендикулярная этой плоскости, и притом только одна.
Читатель либо вспомнит, либо сам найдет доказательства этих утверждений. (3) Прямая, параллельная прямой, перпендикулярной плоскости, перпендикулярна той же плоскости. Это можно вывести из того, что на параллельных прямых можно взять равные векторы и их скалярные произведения с векторами в плоскости равны, (4) Прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны. Выводится из (3). Ряс.
42 Рис. 43 Двугранный угол измеряется углом, образуемым лежащими на гранях отрезками, перпендикулярными ребру. Эти отрезки на каждой грани параллельны, и потому угол один и тот же, из какой точки ребра ни проведены отрезки (рис. 42). Равенство углов между отрезками, представляющими те же самые векторы, лежит в основе определения скалярного произведения. Три перпендикуляра.
Теорема 6. Пусть Л вЂ” точка вне плоскости и, и пусть прямая а и отрезок ВС лежат на а, причем С~а и ВС 1,4В (рис. 43). Возможны три перпендикулярности: п.к нкчклк стееаомвтэии а) АВ.) а, б) СА .1 а, в) СВ (. а. Утверждается, что если вьтолнены две из них, то выполняется и третья. Доказательство.
Пусть ачьб — вектор иа прямой а. Напишем скалярное произведение а АВ = а (С — СА) = а С — а СА. (1) Поэтому если два из трех скалярных произведений а- АВ, а. СВ, а СА равны нулю, то равно нулю и третье. А так как равенство нулю скалярного произведения равносильно взаимной перпеидикуляриости сомножителей, то получаем: (а) Если СА1 а и СВ1а, то АВ1а. А так как по условию еще АВ 3 ВС и ВС~ а, то выходит, что вектор АВ перпендикулярен двум векторам а и ВС, лежащим в плоскости а.
Значит, АВ ) а. (б) ЕслиАВЗ аиСА(.а,тоСВЗ а. (в) Если АВ ( а и СВ .1 а, то СА .1 а. 0 Случай (а) дает способ опускания перпеидикуляра из данной точки А иа плоскость а, выраженный следующей теоремой. В этом заключено и доказательство существования перпендикуляра, опускаемого Теорема 7. Пусть А — точка вне плоскости а и а— прямая в а. Опускаем на а перпендикул.чр АС и через С проводим в а прямую Ь ).
а, Перпендикуляр ЛВ, опущенный на Ь, будет перпендикулярен к а. П Случаи (б) и (в) дают следующую теорему (иазываемую теоремой о трех перпендикулярах). Теорема 8. Пусть из точки Л на плоскость сс опуи(ен перпендикуляр АВ, в плоскости а проведена прямая а и на ней взята точка С(ФВ), Утверждается, что АС ). а тогда и только тогда, когда ВС (. а (рис. 43).
0 Отрезок ВС представляет собой проекцию отрезка ЛС вЂ” наклонной АС вЂ” иа плоскость. Поэтому данная теорема кратко формулируется так: Теорема 8'. Прямая перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции этой наклонной. зйй ЧАСТЬ З. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ При а АВ = О из формулы (1) следует, что а АС=а. ВС. (2) Равенство (2) выражает даже больше: скалярное произведение единичного вектора а на какой-либо вектор Ь представляет собой проекции векторов СА, СВ на прямую а.
Поэтому равенством (2) выражается Теорема 9. Пусть АС вЂ” наклонная к данной плоскости, ВС вЂ” ее проекция на зту плоскость и а — - прямая в этой плоскости, проходящая через точку С. Тогда проекции отрезков АС, ВС на прямую а равны. П Параллельные плоскости — это плоскости, ие имеющие общих точек. Их можно охарактеризовать так: Плоскости параллельны тогда и только тогда, когда у них есть общий перпендикуляр, (Докажите.) Поэтому из существования перпендикуляра, опущенного на плоскость из данной точки, следует: через каждую точку, не лежащую на данной плоскости, проходит плоскость, ей параллельная. Далее известна Теорема 1О. Если плоскость сс содержит две пересекающиеся прямые, параллельные двум прямым в плоскости р, то айр.
Докажите ее разными способами, в частности, пользуясь перпендикулярами. Из доказанных теорем можно вывести теорему, связанную с определением угла между прямой и плоскостью. Теорема 11. Угол между наклонной к плоскости сз и ее проекцией на а — наименьший из всех углов, образуемых наклонной с прямыми, проходящими в а через конец наклонной '). Дока з а тел ь ство. Пусть длина наклонной АС равна единице.
Тогда длина ее проекции СР на прямую а, проходящую через С, равна косинусу угла р между АС и СР: СР = соь О, А длина проекции ВС ') То, что прямые прохозят чсОсз конец наклонной, иа самон деле не инеет значения. так как прямая, скрещивающаяся с данной, образует с ней, по определению, такой же угол, как пряная, ей параллельная. и.4. ФигуРы с анутРенними то'1ккми наклонной на плоскость а равна, косинусу угла у между ЛС и ВС (рис.'44). Итак, сов() = — СР, сову = ВС. Вместе с тем, по теореме 9, СР есть проекция отрезка ВС на прямую а.
Поэтому СР ( ВС, и, сле- Рис 44 довательно, сов б ( сову. А так как косинус — функция убывающая, то р Р у, что и требовалось доказать. П й 4. Фигуры с внутренними точками Общие понятия границы и внутренности фигуры (множества точек) относятся к топологии (см. часть 5). Здесь мы определим ик на плоскости и в пространстве, в поиятияк нашей аксиоматики планиметрии н стереометрии.
Роль, какую в планиметрин играет круг, в стереометрии играет шар. Определение. Точка Л считается грпничной для данной фигуры, если сколь угодно близко к ней есть как точки, принадлежащие фигуре, так и точки не принадлежащие ей, т. е, те и другие точки есть во всяком круге (шаре) с центром Л (рис. 45), Граничные точки фигуры образуют ее границу. Граничная точка может принадлежать фигуре, а может и нс принадлежать ей. Множество (фигура), не содержащее ни одной своей граничной точки, называется открытым, а содержащее всю свою границу — замкнутым. Точка фигуры, не являющейся ее граничной точкой, называется внутренней. Это, стало быть, такая 206 ° ГАСТЬ Е ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ точка, с центром в которой существует круг (шар), целиком содержащийся в фигуре (точки В, С на рис.
45). Внутренние точки фигуры образуют ее внутренность. О фигуре, содержащейся во внутренности фигуры г, говорят, что она содержится (лежит) внутри г". Точку называют внешней для фигуры, если с центром в ней есть круг (шар), нс содержащий точек фигуры (точка 0 на рис. 45). Это равносильно тому, что точка не принадлежит ни фигуре, ни ее границе. Рис. 46 Рис. 46 Замечание. Подчеркнем, что на плоскости граничные и внутренние точки определяются с помощью кругов, описываемых вокруг точки, а в пространстве — с помощью шаров.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
