1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Если )ч'ф АВ, то )А)У(+~ИВ~ чь ~АВ), и тогда также )А')У')+~)ч'В'~чь~А'В'~, т. е. ЛГ ФА'В'. 4. Образом отрезка является отрезок. Доказательство. Пусть конца отрезка АВ отобразились в точки А', В'. Тогда по предыдущему любая точка Х ен АВ отображается в точку Х' е= е А'В'. И если У' ~ А'В', то ввиду равенства ЛВ = = А'В' на отрезке АВ есть такая точка, У, что АУ = А'У'. Это точка отобразится на У'.
Таким образом, весь отрезок А'В' оказывается образом АВ. 5. Образом плоского треугольника служит плоский треугольник. Это следует из 4, поскольку треугольники заполняются отрезками, соединяющими вершину с точками противоположной стороны. 6. Образом луча служит луч и образом прямой— прямая. Это следует из 4, так как луч, как и прямая, представляется как объединение отрезков.
7. Образом плоскости служит плоскость, а полуплоскости — полуплоскосгь. Действительно, плоскость можно представить как объединение расширяющихся треугольников, а полуплоскость— как объединение расширяющихся треугольников с основаниями на прямой, ограничивающей полуплоскость. Поэтому сказанное следует из 5 и 6 (рис. 57). 8. Образы параллельнык прямьлх и плоскостей параллельны. Для прямых ссылаемся на п.
6. П.Ь. РАВЕНСТВО ФИГУР 223 О Образом тетраздра служит тетраэдр, образом пространства — пространство, образом полупросгранства — полупространсгво. Доказывается аналогично 5 и 7. $ 6. Равенство фигур Фигуры называются равными (или конгруэнтными), если между их точками существует такое взаимно однозначное соответствие, что отрезки, соединяющие соответственные точки, равны: если точкам А, В соответствуют А', В', то ЛВ = А'В'. То же определяют через наложение одной фигуры на другую. Иначе говоря: Фигура Р равна Р', если существует наложение фигуры Р на Р', короче: если можно Р наложить на Р. Согласно определению наложения, это значит, что каждой парс точек А, В фигуры Р соответствует такая пара А', В' в фигуре Р', что А'В' = ЛВ. Ввиду обратимости наложения каждой паре точек С', 0' из Р' соответствует такая пара точек С, 0 из Р, что С0 = С'0'.
Соответствие пар точек, стало быть, взаимно. И, следовательно, как фигура Р' равна Р, так н обратно; Р равна Р'. Таким образом, фигуры Р и Р' равны друг другу. Поэтому второе определение равенства фигур через наложение равносильно первому. Замечание. Однако логически эти определения существенно различны.
В первом обе фигуры играют одинаковую ролгк они равны друг другу; отношение их равенства симметрично. Во втором фигуры играют разную роль; в нем одна фигура Р отображается— налагается — на другую Р', и тогда говорится, что Р' равна Р. Но то, что верно также обратное: Р равна Р', доказывается. Другими словами, симметричность равенства не выражена в определении, а доказывается. Ввиду равносильности обоих определений равенства фигур можно дальше пользоваться любым из них.
И из свойств наложений следует: Две фигурьь равные третьей, равны друг другу. Каждая фигура, очевидно, равна сама себе, поскольку каждой ее точке А можно сопоставить ту же А. 224 чхсть 2. элвмвнткенля гвометеия В итоге нами получена Теорема 1. Отношение равенства фигур рефлексивно, симметрично и транзитивно, т, е, является отношением эквивалентности, П Равенство отрезков, углов и т. д. До данного здесь общего определения равенства фигур мы пользовались понятиями равенства отрезков, равенства углов и равенства треугольников.
Нужно выяснить отношение этих понятий равенства к общему определению. Начнем с равенства отрезков. Оно понимается у нас двояко. Во-первых, равенство отрезков введено в аксиоматике как основное отношение, оно тем самым определяется аксиомами, и по понятию не является равенством отрезков как фигур. Во-вторых, поскольку было доказано, что всякий отрезок является фигурой, то к отрезкам применимо понятие равенства фигур: можно говорить о равенстве отрезков в смысле равенства их как фигур; когда между их точками устанавяивается должное соответствие (при аксиоматически понимаемом равенстве отрезков ни о каком соответствии их точек нет речи). Однако оба понятия равенства оказываются равносильными.
Теорема 2. Два отрезка равны как фигуры тогда и только тогда, когда они равны в аксиоматическом смысле. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть отрезки АВ, С0 равны акспоматически. Между точками отрезка АВ и числами х из промежутка [О, (АМЙ имеется взаимно однозначное соответствие, сохраняющее порядок и расстояния (см. теорему Е 4.4). Если отрезок С0 равен АВ, т. е. )С0)=)АВ(, то для него есть такое же соответствие. Поэтому если мы сопоставим точкам М е= АВ такие точки Уеп С0, что ~АМ)=)СА'(, то и получим соответствие, при котором отрезкам ММ, соответствуют равные им отрезки Мйь Следовательно, равные отрезки АВ, С0 равны как фигуры.
Докажем обратное утверждение. !!. В РАВЕНСТВО ФИГУР Пусть отрезки АВ и СР равны как фигуры. Тогда, в частности, паре Л, В отвечает такая пара А', В'; что Л'В' = АВ. Если бы отрезок А'В' не совпадал с СР. то он был бы меньше СР. А тогда для пары СР не нашлось бы в отрезке АВ такой пары С!, Р!, что было бы С,Р, = СР! Отрезки АВ, СР не могли бы быть равными как фигуры. Следовательно, паре концов А, В необходимо соответствует пара С, Р, т. е.
ЛВ = СР, что и требовалось доказать. !з Поскольку равенство фигур можно определять наложением, то доказанную теорему можно сформулировать так: Отрезки накладываются один на другой тогда и только тогда, когда они равны (в аксиоматическог! смысле). Равенство углов. Угол, как ои был определен, не является фигурой, Но можно с ним сопоставить фигуру, фиксировав на его сторонах определенные отрезки, отложенные от вершины. Если у двух углов отложить на сторонах соответственно равные отрезки, В Ряс. 5а то их можно сравнивать как фигуры (рис. 58).
Это приводит к следующей теореме. Теорема 3. Пусть на сторонах двух углов О, О' отложены равные отрезки ОА = О'А', ОВ = О'В', так что получаются две фигуры — объединения этих отрезков ло два. Углы О, О' равны тогда и только тогда, когда равны эти фигуры. До каза тельство. Равенство углов определено равенством соответствующих поперечин, и у равных углов все соответственные поперечины равны. А если 3 А Д Алсасааараа.
и. Ю. Неааетасв ЧАСТЬ» ЭЛЕЛГЕИТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 226 вспомнить, какие поперечины называются соответственными, то становится очевидным, что равенство углов равносильно равенству фигур, составленных из равных отрезков на их сторонах. Р Теорема 4. Равенство треугольников, определенное по равенству соответственных сторон и углов, равносильно их равенству как фигур. Дока з а тел ьств о. По теореме 2 равенство сторон в аксиоматическом смысле равносильно их равенству как фигур, а по теореме 3 равенстно углов равносильно равенству соответствующих фигур. П Теорему 3 можно еще формулировать как теорему о наложимости. Теорема За. Углы равны тогда и только тогда, когда один накладывается на другой «с точностью до укорочения или удлинения сторон», т. е., иначе говоря, если взять ик стороны равными. П Аналогично выполняется теорема о треугольниках.
Далее, пользуясь доказанными теоремами и определением плоского треугольника (с внутренностью», нетрудно доказать, что плоские треугольники, ограниченные равными треугольниками, равны; так сказать, соответствие пар точек М»У = М'пг', устанавливаемое на границе, распространяется внутрь. % 7. Площадь и ее применения Обоснование измерения площади представляется еще более сложным, чем обоснование измерения длины отрезков.
Поэтому мы также откладываем это обоснование до раздела «Основания геометрии», а здесь примем существование площади как аксиому. То, что у каждого многоугольника есть определенная площадь, принимается в школьном изложении без всяких оговорок, как нечто само собой разумеющееся. Но если подходить более серьезно, то это нужно формулировать явно, в виде аксиомы, если мы оставляем это без доказательства, как существование длины.
Для формулировки аксиомы введем понятие многоугольной фигуры на плоскости. Определение. Многоугольной фигурой назовем объединение конечного числа многоугольных площадок. Будем гоноритьь что фигура Р составлена нз фигур Рь ..., Ры если она служит их объединением п.т. площадь и ев применения 227 н никакие две из них не имеют общих внутренних точек. Аксиома площади. Если некоторому квадрату Е отнесено число единица, то каждой многоугольной фигуре Р можно сопоставить положительное число— ее численную площадь 5(Р) в масштабе Е, — так, чтобы были выполнены условия: а) равньге фигуры имеют одинаковук площадь; б) если фигура Р составлена из фигнр Рп Рз, то ее площадь равна сумме их площадей.
Свойство б) называется аддитивностью. (Здесь, как и дальше, говоря «площадь», мы подразумеваем ее численное значение в каком-либо масштабе.) Обратим внимание на полную аналогию этой аксиомы с аксиомой длины 11ь 5 4 гл. !. Второе условие на длину в ней можно сформулировать так: б') Если отрезок а составлен из отрезков аь аь то его длина равна сумме их длин. Аналогично можно пересказать условие в аксиоме 111з о мере угла, 5 6 гл. 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
